高中数学必修二空间中的平行关系

第二课时辽宁师范大学王晓桐1.2.1平面的基本性质与推论P23-例1.38公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内，即直线在平面内。注：证明直线在平面内的依据P23-例1.39公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。(1)两个平面有公共点必有公共直线；(2)公共点必在公共直线上；注：1）确定两平面是否相交；2）证明三点共线的依据；3）证明三线共点的依据。P23-例1.40公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论1：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线,有且只有一个平面注：确定平面的方法。P23-例1.41共面直线的定义：空间中几条直线都在同一平面内。异面直线的定义：既不相交又不平行的直线。（不在任意一平面内）baabab异面直线画法：位置关系图示表示方法公共点个数两直线共面相交平行异面abAbaAαabAαba∥ba、b是异面直线一个没有没有①用定义（多用反证法），即证明两条直线既不相交又不平行；②判定定理：与一平面相交于一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线。P24-例1.42当点在同一平面内，当点不在同一平面内分别讨论。例1.43：空间中的四点可以确定几个平面？图形语言用文字语言表述；文字语言转化为符号语言。画图顺序：先画平面，再画点线。P24-例1.44证明三点共线常用方法：法1、找出两个平面，证明这三点都是这两个平面的公共点；法2、选择其中两点确定一条直线。然后证明另一点也在直线上。P24-例1.45一个平面能把空间分成几部分？二个平面能把空间分成几部分？.例1.46：三个平面能把空间分成几部分？证明几点共面问题：可先取不共线的三点确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内。证明空间几条直线共面问题：可先取两条相交或平行直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内。P24-例1.47课堂练习：P251.2.2空间中的平行关系平行于同一条直线的两条直线互相平行，符号表述为：a//c，b//ca//b.bacα例1.48：已知AA1是正方体ABCD-A1B1C1D1的一条棱，这个正方体中与AA1平行的棱共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条C定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。已知：如图所示，∠BAC和∠B1A1C1的边AB//A1B1，AC//A1C1，且射线AB与A1B1同向，射线AC与A1C1同向，求证：∠BAC=∠B1A1C1.证明：对于∠BAC和∠B1A1C1在同一个平面内的情形，在初中几何中已经证明，下面证明两个角不在同一平面内的情形。分别在∠BAC的两边和∠B1A1C1的两边上截取线段AD=A1D1和AE=A1E1.因为，所以AA1D1D是平行四边形，11//ADAD所以11//AADD同理可得11//AAEE所以DD1E1E是平行四边形。在△ADE和△A1D1E1中.AD=A1D1，AE=A1E1，DE=D1E1，于是△ADE≌△A1D1E1，所以∠BAC=∠B1A1C1.一组边的方向相同，而另一组边的方向相反，又如何？αβγ互补，互补,空间中任意的角通过平行移动，角度都不会改变。P26-例1.49（1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形；（2）四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；（3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；（4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线。如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，如下图中的两种空间四边形ABCD和ABOC.P26-例1.50空间直线与平面的位置关系有哪几种?直线a在平面内直线a与平面相交直线a与平面平行aaaa//a∩=AaA1、我们把直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，用符号表示为2、“直线与平面不相交”说明：“直线与平面没有公共点”说明：a／（1）文字语言：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（2）图形语言：（3）符号语言：aα，bα，a//b，a//α.baa在平面外b在平面内ab平行可以用判定定理将直线与平面间的平行关系，转化为直线间的平行问题。P26-例1.55AEFBDC证明：如图,连接BD,在△ABD中,因为E,F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD,BCD,平面EFBCD,平面BD因为又EDCC1A1B1ABD1F例1.53：如图，已知在三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中点.求证：AB1//平面DBC1B1BC1ACA1DP例1.54：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC与C1D1的中点.求证：EF//平面BDD1B1.C1D1B1A1CDABFEMNC1D1B1A1CDABFEMP26-例1.56问题1：命题“若直线a平行于平面α，则直线a平行于平面α内的一切直线．”对吗？abca那么直线会与平面内那些线平行呢？2ba问题：在上面的论述中平面的直线满足什么条件时可以与直线平行？aaa与平面的任何直线都没有公共点，过直线的某一个平面，若与平面相交，则直线就平行于这一条交线。ba,,//aabab已知:直线求证:证明：//aa与没有公共点b又因为在内ab与没有公共点ab又与都在平面内且没有公共点//ab直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和两平面的交线平行。ba//ba简记:线面平行,则线线平行。,,aab例1.57：（1）以下命题（其中a，b表示直线，表示平面）①若a∥b，b，则a∥②若a∥，b∥，则a∥b③若a∥b，b∥，则a∥④若a∥，b，则a∥b其中正确命题的个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个A(2)下列命题中正确的个数是（）①若直线上有无数个点不在平面α内，则②若直线与平面α平行，则与平面α内的任意一条直线平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行④若直线与平面α平行，则与平面α内的任意一条直线都没有公共点.llαl//lll（A）0（B）1（C）2（D）3B(3)、如图，在正方体ABCD——A1B1C1D1六个表面中，（Ⅰ）与AB平行的直线有：（Ⅱ）与AB平行的平面有：A1B1、CD、C1D1平面A1C1、平面D1CC1D1B1A1CDABP27-例1.57基本性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角相等.直线和平面平行的性质定理直线与平面平行的判定定理如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和两平面的交线平行。若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.两平面平行没有公共点有一条公共直线两平面相交α∥βα∩β=a位置关系公共点符号表示图形表示//////baPbaba面面平行线面平行一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行.abPβαab一个平面内两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行.要证面面平行，想线面平行P27-例1.58，例1.59//,,//abab已知平面，，，求证：//ab平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行baba////线线平行面面平行性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。已知两条直线和三个平行平面都相交，求证所截得的线段对应成比例．abABCDEFAA已知:求证:ABDEBCEF∥∥,b直线和分别交于点A、B、C和点D、E、F，aMP28-例1.60(1)下列结论正确的是（）A.若两个角相等，则这两个角的两边分别平行B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C.空间四边形的两条对角线可以相交D.空间四边形的两条对角线不相交D(2)下面三个命题,其中正确的个数是（）①三条相互平行的直线必共面；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形A.1个B.2个C.3个D.一个也不正确D(4)若空间四边形的对角线相等,则以它的四条边的中点为顶点的四边形是（）A.空间四边形B.菱形C.正方形D.梯形(3).空间两个角α、β,α与β的两边对应平行,且α＝600,则β等（）A.60°B.120°C.30°D.60°或120°DB6.如果OA∥O1A1,OB∥O1B1,那么∠AOB与∠A1O1B1()A.相等B.互补C.相等或互补D.以上答案都不对5.设AA1是正方体的一条棱，这个正方体中与AA1平行的棱共有＿＿＿条．3C7.如图，已知AA1,BB1,CC1,不共面且AA1∥BB1,BB1∥CC1,AA1=BB1,BB1=CC1.求证：△ABC≌△A1B1C1.AA1BB1CC1练习P29-30