二次函数定义教学设计

1第二十二章二次函数22.1.1《二次函数》教学设计一、教材分析：《二次函数》是义务教育课程标准试验教科书《数学》（人教版）九年级上册第二十二章，这章是在学生学习了正比例函数与一次函数，对于函数已经有所认识，从一次函数和反比例函数的学习大家已经知道学习函数大致包括以下内容：1．通过具体的事例认识这种函数；2．探索这种函数的图像和性质；3．利用这种函数解决实际问题；4．探索这种函数与相应方程等的关系。本章“二次函数”的学习也是从以上几个方面展开。首先让学生认识二次函数，掌握二次函数的图像和性质，然后让学生探索二次函数与一元二次方程的关系，从而得出用二次函数的图像求一元二次方程的方法。最后让学生运用二次函数的图像和性质解决一些实际问题。二、学情分析：学生对函数的相关知识已经很陌生，第一课时应对上学段学的一次函数和正比例函数的知识做一个回顾，让学生重温学习函数应该从以下四个内容入手：认识函数；研究图像及其性质；利用函数解决实际问题；函数与相应方程的关系。再通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系，并能利用尝试求值的方法解决实际问题。三、教学目标：㈠知识技能：1．探索并归纳二次函数的定义；2．能够表示简单变量之间的二次函数关系。㈡过程方法：1．感悟新旧知识间的关系，让学生更深刻地体会数学中的类比思想方法；2．经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；3．能够利用尝试求值的方法解决实际问题，进一步体会数学与生活的联系，增强用数学意识。㈢情感态度：1．把数学问题和实际问题相联系，从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；2．使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用；3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思2维的过程，培养大家的合作意识。四、教学重点、难点：㈠教学重点：1．经历探索和表示二次函数关系的过程，获得二次函数的定义。2．能够表示简单变量之间的二次函数关系。㈡教学难点：经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。五、教学方法：教师引导——自主探究——合作交流。六、教具、学具：教学课件七、教学媒体：计算机、实物投影。八、教学过程：教师引导及问题设计学生学习活动设计意图活动1：温故知新，引出课题。教师投影出问题：⑴对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗?⑵那些函数的定义是什么，大家还记得吗?⑶能把学过的函数定义及一般形式回忆一下吗?⑷学习这些函数的时候，大家还记得我们从哪几个方面探究的吗?小结：很好，从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式．那么二次函数的一般形式究竟是什么呢?本节课我们将揭开它神秘的面纱．师生行为：教师提出问题，指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。教师重点关注：学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来，对于一些概括性较强的问题，教师要进行适当引导。小组探究整理结果：⑴学过正比例函数，一次函数。⑵在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。⑶一次函数y=kx+b（其中k、b是常数，且k≠0），当b=0时，正比例函数y＝kx（k是不为0的常数）⑷定义、函数的一般形式、函数的图像和性质、函数在实际问题中的应用、函数与方程与不等式的关系等。由复习回顾旧知识入手，通过回顾已经学过的函数的相关知识，对要探究的新的函数有个明确的方向，让学生由旧知识中寻找新知识的生长点，符合认识新事物的规律，由浅入深，由表及里，逐渐深化。活动2：合作学习，探索新知：㈠出示思考问题形成初步感悟：1．正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为x，表面积为y，则y学生思考问题，列出关系式。⑴正方体的六个面是全等的形，每个面由现实中的实际问题入手给学生创设熟悉的问题情境，通过问题3关于x的关系式是什么？2．有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。比赛的场次数m与球队数n有什么关系？3．某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？4．问题⑴、⑵中有哪些变量?其中哪些是自变量?大家根据刚才的分析，判断一下式子中的m是否是n的函数?若是函数，与原来学过的函数相同吗？问题⑶呢？5．观察上面的三个函数，从解析式看有什么共同点？师生行为：教师在大屏幕上逐一提出问题。㈡教师引导开展合作学习活动：1、先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式。2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。⑴y=6x2⑵nnnnm21211212⑶y=20(1+x)2=20x2+40x+20上述三个函数解析式具有哪些共同特征？（让学生发表意见，提出看法。）教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式。板书：我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数(quadraticfuncion)，其中x是自变量，称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项。注意：切不可忽视a≠0。的面积是，则y关于x的关系式是。⑵每个队要与其他个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是比赛，所以比赛的场次数m=。⑶这种产品的原产量是20t，一年后产量是t，再经过一年后的产量则是t，即两年后的产量为y=。⑷问题1、2、3让学生独立思考完成师生共同订正，问题4、5小组讨论完成，教师做适当的引导，点拨，得出问题结论。学生小组合作交流。学生发表自己的见解，总结归纳二次函数的定义。的解决，为得出二次函数的定义做好铺垫，并让学生感受到身边的数学，激发学生学习数学的好奇心和求知欲。学生通过分析、交流，探求二次函数的概念，加深对概念的理解，为解决问题打下基础。通过归纳、分析，使学生明白二次函数的特征，理解其解析式的特点。经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。使学生深刻理解：看一个函数是不是二次函数的关键是看二次项的系数是否为0；还要看最高次数是不是2。4活动3：应用迁移，巩固提高：㈠做一做：1、下列函数中，哪些是二次函数？⑴y=－x2⑵y=x+x1⑶y=2x2－x－1⑷y=x(1－x)⑸y=(x+3)²－x²⑹y=3(x-1)²+1⑺s=3-2t²⑻v=10πr²2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：⑴12xy⑵12732xxy⑶)1(2xxy3、若函数mmxmy2)1(2为二次函数，则m的值为。㈡实际问题中的二次函数：1、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm),四边形EFGH的面积为y(cm2)，求：(1)y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围。(2)当x分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH的面积，并列表表示。2、用20米的篱笆围一个矩形的花圃，设连墙的一边为x，矩形的面积为y，求：(1)写出y关于x的函数关系式。(2)当x=3时，矩形的面积为多少？3、书本P29的练习共两题。学生独立完成练习，集体点评，提出并归纳注意的细则：⑴整式与分式区别对待；⑵要先展开合并再判断；⑶系数要带符号。学生独立思考，自主解决，然后交流成果。三条练习的设计，由浅入深，层层递进，在复习旧知的同时获得解决新问题的经验，进一步内化新知、突破难点。问题⑴学生独立思考后写出答案，师生共同评价；问题⑵学生独立思考后同桌交流，指名口答结果，教师强调正确解题思路。教师重点关注：学生能否准确用二次函数表示变量之间关系；学生解题时候暴露的共性问题作针对性的点评，注重培养学生正确的思路和方法，积累解题经验。学生在独立完成练习的过程中加深对概念的理解。这是三条二次函数的实际应用问题，通过解答，提高学生分析问题、解决问题的能力。整个探究过程都是让学生自己去探索，在探索中发现新知，在交流中归纳新知，把学习的主动权交给学生，增强学生创造的信心，体验到成功的快乐。ABEFCGDH5活动4：总结反思，拓展升华：1、反思本节课的收获。2、反思二次函数与一次函数有哪些异同？与正比例函数又有哪些异同？3、课外作业：A组：依题意写出相应的函数关系式，再化成一般形式并指出其中a、b、c的值。⑴一个矩形的长是宽的2倍，写出这个矩形的面积s关于宽x的函数解析式；⑵某种商品的价格是2元，准备进行再次降价。如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率x的变化而变化，写出y与x之间的函数关系式。B组：如果函数y=（k+2）xk²－2是y关于x的二次函数，求k的值是多少？学生稍加思考后充分发表自己的见解。学生谈本节课的收获和学习体会，并进行质疑，师生交流归纳，解惑。要求全部同学都完成A组作业，B组作业提供给学有余力和敢于挑战自己的同学作为研讨和探索。加深学生对知识的理解，促进学生对所学知识的反思。把作业分为必做题和选做题两种。必做题较基础，可以发现和弥补课堂学习的遗漏和不足；备选题则仅供学有余力的学生选用。九、板书设计：22.1.1二次函数1、概念：我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。2、列函数关系式的依据⑴图形面积，⑵规律问题，⑶增长率，⑷销售利润，⑸学科相关等。引入例子相应关系式⑴y=6x2a=,b=,c=.⑵nnnnm21211212a=,b=,c=.⑶y=20(1+x)2即y=20x2+40x+20a=,b=,c=.投影幕十、教学反思：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上。二次函数第一课时，教材中安排的内容不多，但学生对函数的知识已经生疏，接受起来不会很顺利。由此，我的设计是从温故知新开始，通过温故知新，引出课题、创设情境、探究新知、例题学习、内化新知、练习反馈、巩固新知等几个数学活动，引导学生用类比的思想，用已有的知识经验归纳总结出新知、内化新知、巩固应用新知的。活动中也注意了学生的知识与实际问题的联系，使学生充分体会数学源于生活又服务于生活。