函数极限习题与解析

函数与极限习题与解析（同济大学第六版高等数学）一、填空题1、设xxxflglg2)(，其定义域为。2、设)1ln()(xxf，其定义域为。3、设)3arcsin()(xxf，其定义域为。4、设)(xf的定义域是[0，1]，则)(sinxf的定义域为。5、设)(xfy的定义域是[0，2]，则)(2xfy的定义域为。6、432lim23xkxxx，则k=。7、函数xxysin有间断点，其中为其可去间断点。8、若当0x时，xxxf2sin)(，且0)(xxf在处连续，则)0(f。9、)21(lim222nnnnnnnn。10、函数)(xf在0x处连续是)(xf在0x连续的条件。11、352352)23)(1(limxxxxxx。12、3)21(limenknn，则k=。13、函数23122xxxy的间断点是。14、当x时，x1是比13xx的无穷小。15、当0x时，无穷小x11与x相比较是无穷小。16、函数xey1在x=0处是第类间断点。17、设113xxy，则x=1为y的间断点。18、已知33f，则当a为时，函数xxaxf3sin31sin)(在3x处连续。19、设0)1(02sin)(1xaxxxxxfx若)(lim0xfx存在，则a=。20、曲线2sin2xxxy水平渐近线方程是。21、114)(22xxxf的连续区间为。22、设0,cos0,)(xxxaxxf在0x连续，则常数a=。二、计算题1、求下列函数定义域（1）211xy；（2）xysin；（3）xey1；2、函数)(xf和)(xg是否相同？为什么？（1）xxgxxfln2)(,ln)(2；（2）2)(,)(xxgxxf；（3）xxxgxf22tansec)(,1)(；3、判定函数的奇偶性（1）)1(22xxy；（2）323xxy；（3）)1)(1(xxxy；4、求由所给函数构成的复合函数（1）22,sin,xvvuuy；（2）21,xuuy；（3）xveuuyvsin,,2；5、计算下列极限（1）)2141211(limnn；（2）2)1(321limnnn；（3）35lim22xxx；（4）112lim221xxxx；（5）)12)(11(lim2xxx；（6）2232)2(2limxxxx；（7）xxx1sinlim20；（8）xxxx131lim21；（9）)1(lim2xxxx；6、计算下列极限（1）xwxxsinlim0；（2）xxx5sin2sinlim0；（3）xxxcotlim0；（4）xxxx)1(lim；（5）1)11(limxxxx；（6）xxx10)1(lim；7、比较无穷小的阶（1）32220xxxxx与，时；（2）)1(21112xxx与，时；8、利用等价无穷小性质求极限（1）30sinsintanlimxxxx；（2）),()(sin)sin(lim0是正整数mnxxmnx；9、讨论函数的连续性。在11,31,1)(xxxxxxf10、利用函数的连续性求极限（1）)2cos2ln(lim6xx；（2）)(lim22xxxxx；（3）xxxsinlnlim0；（4）xxx2)11(lim；（5）)11(lim,)1(lim)(1tfnxxftnn求设；（6）)11ln(limxxxx；11、设函数0,0,)(xxaxexfx应当怎样选择a，使得)()(，成为在xf内的连续函数。12、证明方程135xx至少有一个根介于1和2之间。（B）1、设)(xf的定义域是[0，1]，求下列函数定义域（1）)(xefy（2）)(lnxfy2、设0,0,0)(0,,0)(2xxxxgxxoxxf求)]([,)]([,)]([,)]([xfgxgfxggxff3、利用极限准则证明：（1）111limnn（2）1]1[lim0xxx；（3）数列,222,22,2的极限存在；4、试比较当0x时，无穷小232xx与x的阶。5、求极限（1）)1(lim2xxxx；（2）1)1232(limxxxx；（3）30sintanlimxxxx；（4）)0,0,0()3(lim10cbacbaxxxxx；6、设0,0,1sin)(2xxaxxxxf要使),()(在xf内连续，应当怎样选择数a？7、设01,)1ln(0,)(11xxxexfx求)(xf的间断点，并说明间断点类型。（C）1、已知xxfexfx1)]([,)(2，且0)(x，求)(x并写出它的定义域。2、求下列极限：（1）、]lncos)1ln([coslimxxx；（2）、xxxxxcossin1lim0；（3）、求xxxx2sin3553lim2；（4）、已知9)(limxxaxax，求常数a。（5）、设)(xf在闭区间],[ba上连续，且bbfaaf)(,)(，证明：在开区间),(ba内至少存在一点，使)(f。第一章函数与极限习题解析（A）一、填空题（1）]2,1(（2）),1(（3）[2，4]（4）zkkxkx,)12(2（5）]2,2[（6）-3（7）0;,xzkkx（8）2（9）1（10）充分（11）21（12）23（13）x=1,x=2（14）高阶（15）同阶（16）二（17）可去（18）2（19）-ln2（20）y=-2（21）]2,1(]1,2[（22）1二、计算题1、（1）),1()1,1()1,(（2）),0[（3）),0()0,(2、（1）不同，定义域不同（2）不同，定义域、函数关系不同（3）不同，定义域、函数关系不同3、（1）偶函数（2）非奇非偶函数（3）奇函数4、（1）22)(sinxy（2）]1[2xy（3）][sin2xey5、（1）[2]（2）]21[（3）-9（4）0（5）2（6）（7）0（8）22（9）216、（1）w（2）52（3）1（4）1e（5）2e（6）1e7、（1）的低阶无穷小是3222xxxx（2）是同阶无穷小8、（1）21（2）nmnmnm,,1,09、不连续10、（1）0（2）1（3）0（4）2e（5）0（6）-211、a=1（B）1、（1）提示：由10xe解得：]0,(x（2）提示：由1ln0x解得：],1[ex2、提示：分成ox和0x两段求。)()]([xfxff，0)]([xgg，0)]([xgf,)()]([xgxfg4、（1）提示：nn11111（2）提示：xxxxxx1]1[)11(（3）提示：用数学归纳法证明：222na5、提示：xxxxxxx1312232令tx12（同阶）6、（1）提示：乘以xx12；21（2）提示：除以x2；e（3）提示：用等阶无穷小代换；21（4）提示：xxxxcba1)3(xcbacbaxxxxxxxxxcba3111111313111（3abc）7、提示：)0()(lim)(lim00fxfxfxx（0a）8、1x是第二类间断点，0x是第一类间断点（C）1、解：因为xexfx1)(2，故)1ln()(xx，再由0)1ln(x，得：11x，即0x。所以：)1ln()(xx，0x。2、解：原式=)cossin1(cossin1lim20xxxxxxxx=xxxxx20sinsin21lim=)sin(sinlim210xxxxx=03、解：因为当x时，xx2~2sin，则xxxx2sin3553lim2=xxxx23553lim2=xxxx35106lim22=564、解：因为：9=xxaxax)(lim=xxxaxa11lim=aaee=ae2所以92ae，3lna5、证明：令xxfxF)()(，)(xF在ba,上连续，且0)()(aafaF，0)()(bbfbF。由闭区间上连续函数的零点定理，在开区间),(ba内至少存在一点),(ba，使0)(F，即)(f。