八年级数学经典难题(答案+解析)

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初二数学经典难题一、解答题(共10小题,满分100分)1.(10分)已知:如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=15°.求证:△PBC是正三角形.(初二)2.(10分)已知:如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F.求证:∠DEN=∠F.3.(10分)如图,分别以△ABC的边AC、BC为一边,在△ABC外作正方形ACDE和CBFG,点P是EF的中点,求证:点P到AB的距离是AB的一半.4.(10分)设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA.求证:∠PAB=∠PCB.5.(10分)P为正方形ABCD内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长.6.(10分)一个圆柱形容器的容积为V立方米,开始用一根小水管向容器内注水,水面高度达到容器高度一半后,改用一根口径为小水管2倍的大水管注水.向容器中注满水的全过程共用时间t分.求两根水管各自注水的速度.7.(10分)(2009•郴州)如图1,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(﹣2,﹣1),且P(﹣1,﹣2)为双曲线上的一点,Q为坐标平面上一动点,PA垂直于x轴,QB垂直于y轴,垂足分别是A、B.(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式;(2)当点Q在直线MO上运动时,直线MO上是否存在这样的点Q,使得△OBQ与△OAP面积相等?如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由;(3)如图2,当点Q在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ,求平行四边形OPCQ周长的最小值.8.(10分)(2008•海南)如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在线段BC上,且PE=PB.(1)求证:①PE=PD;②PE⊥PD;(2)设AP=x,△PBE的面积为y.①求出y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;②当x取何值时,y取得最大值,并求出这个最大值.9.(10分)(2010•河南)如图,直线y=k1x+b与反比例函数(x>0)的图象交于A(1,6),B(a,3)两点.(1)求k1、k2的值.(2)直接写出时x的取值范围;(3)如图,等腰梯形OBCD中,BC∥OD,OB=CD,OD边在x轴上,过点C作CE⊥OD于点E,CE和反比例函数的图象交于点P,当梯形OBCD的面积为12时,请判断PC和PE的大小关系,并说明理由.10.(10分)(2007•福州)如图,已知直线y=x与双曲线交于A,B两点,且点A的横坐标为4.(1)求k的值;(2)若双曲线上一点C的纵坐标为8,求△AOC的面积;(3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P,Q两点(P点在第一象限),若由点A,B,P,Q为顶点组成的四边形面积为24,求点P的坐标.初二数学经典难题参考答案与试题解析一、解答题(共10小题,满分100分)1.(10分)已知:如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=15°.求证:△PBC是正三角形.(初二)考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;等边三角形的判定。1097743专题:证明题。分析:在正方形内做△DGC与△ADP全等,根据全等三角形的性质求出△PDG为等边,三角形,根据SAS证出△DGC≌△PGC,推出DC=PC,推出PB=DC=PC,根据等边三角形的判定求出即可.解答:证明:∵正方形ABCD,∴AB=CD,∠BAD=∠CDA=90°,∵∠PAD=∠PDA=15°,∴PA=PD,∠PAB=∠PDC=75°,在正方形内做△DGC与△ADP全等,∴DP=DG,∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°,∴∠PDG=90°﹣15°﹣15°=60°,∴△PDG为等边三角形(有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形),∴DP=DG=PG,∵∠DGC=180°﹣15°﹣15°=150°,∴∠PGC=360°﹣150°﹣60°=150°=∠DGC,在△DGC和△PGC中,∴△DGC≌△PGC,∴PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG=15°,同理PB=AB=DC=PC,∠PCB=90°﹣15°﹣15°=60°,∴△PBC是正三角形.点评:本题考查了正方形的性质,等边三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定等知识点的应用,关键是正确作出辅助线,又是难点,题型较好,但有一定的难度,对学生提出了较高的要求.2.(10分)已知:如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F.求证:∠DEN=∠F.考点:三角形中位线定理。1097743专题:证明题。分析:连接AC,作GN∥AD交AC于G,连接MG,根据中位线定理证明MG∥BC,且GM=BC,根据AD=BC证明GM=GN,可得∠GNM=∠GMN,根据平行线性质可得:∠GMF=∠F,∠GNM=∠DEN从而得出∠DEN=∠F.解答:证明:连接AC,作GN∥AD交AC于G,连接MG.∵N是CD的中点,且NG∥AD,∴NG=AD,G是AC的中点,又∴M是AB的中点,∴MG∥BC,且MG=BC.∵AD=BC,∴NG=GM,△GNM为等腰三角形,∴∠GNM=∠GMN,∵GM∥BF,∴∠GMF=∠F,∵GN∥AD,∴∠GNM=∠DEN,∴∠DEN=∠F.点评:此题主要考查平行线性质,以及三角形中位线定理,关键是证明△GNM为等腰三角形.3.(10分)如图,分别以△ABC的边AC、BC为一边,在△ABC外作正方形ACDE和CBFG,点P是EF的中点,求证:点P到AB的距离是AB的一半.考点:梯形中位线定理;全等三角形的判定与性质。1097743专题:证明题。分析:分别过E,F,C,P作AB的垂线,垂足依次为R,S,T,Q,则PQ=(ER+FS),易证Rt△AER≌Rt△CAT,则ER=AT,FS=BT,ER+FS=AT+BT=AB,即可得证.解答:解:分别过E,F,C,P作AB的垂线,垂足依次为R,S,T,Q,则ER∥PQ∥FS,∵P是EF的中点,∴Q为RS的中点,∴PQ为梯形EFSR的中位线,∴PQ=(ER+FS),∵AE=AC(正方形的边长相等),∠AER=∠CAT(同角的余角相等),∠R=∠ATC=90°,∴Rt△AER≌Rt△CAT(AAS),同理Rt△BFS≌Rt△CBT,∴ER=AT,FS=BT,∴ER+FS=AT+BT=AB,∴PQ=AB.点评:此题综合考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定以及正方形的性质等知识点,辅助线的作法很关键.4.(10分)设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA.求证:∠PAB=∠PCB.考点:四点共圆;平行四边形的性质。1097743专题:证明题。分析:根据已知作过P点平行于AD的直线,并选一点E,使PE=AD=BC,利用AD∥EP,AD∥BC,进而得出∠ABP=∠ADP=∠AEP,得出AEBP共圆,即可得出答案.解答:证明:作过P点平行于AD的直线,并选一点E,使PE=AD=BC,∵AD∥EP,AD∥BC.∴四边形AEPD是平行四边形,四边形PEBC是平行四边形,∴AE∥DP,BE∥PC,∴∠ABP=∠ADP=∠AEP,∴AEBP共圆(一边所对两角相等).∴∠BAP=∠BEP=∠BCP,∴∠PAB=∠PCB.点评:此题主要考查了四点共圆的性质以及平行四边形的性质,熟练利用四点共圆的性质得出是解题关键.5.(10分)P为正方形ABCD内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长.考点:正方形的性质;勾股定理;等腰直角三角形;旋转的性质。1097743专题:综合题。分析:把△ABP顺时针旋转90°得到△BEC,根据勾股定理得到PE=2a,再根据勾股定理逆定理证明△PEC是直角三角形,从而得到∠BEC=135°,过点C作CF⊥BE于点F,△CEF是等腰直角三角形,然后再根据勾股定理求出BC的长度,即可得到正方形的边长.解答:解:如图所示,把△ABP顺时针旋转90°得到△BEC,∴△APB≌△CEB,∴BE=PB=2a,∴PE==2a,在△PEC中,PC2=PE2+CE2=9a2,∴△PEC是直角三角形,∴∠PEC=90°,∴∠BEC=45°+90°=135°,过点C作CF⊥BE于点F,则△CEF是等腰直角三角形,∴CF=EF=CE=a,在Rt△BFC中,BC===a,即正方形的边长为a.点评:本题考查了正方形的性质,旋转变化的性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理以及逆定理的应用,作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键.6.(10分)一个圆柱形容器的容积为V立方米,开始用一根小水管向容器内注水,水面高度达到容器高度一半后,改用一根口径为小水管2倍的大水管注水.向容器中注满水的全过程共用时间t分.求两根水管各自注水的速度.考点:分式方程的应用。1097743分析:设小水管进水速度为x,则大水管进水速度为4x,一个圆柱形容器的容积为V立方米,开始用一根小水管向容器内注水,水面高度达到容器高度一半后,改用一根口径为小水管2倍的大水管注水.向容器中注满水的全过程共用时间t分可列方程求解.解答:解:设小水管进水速度为x立方米/分,则大水管进水速度为4x立方米/分.由题意得:解之得:经检验得:是原方程解.∴小口径水管速度为立方米/分,大口径水管速度为立方米/分.点评:本题考查理解题意的能力,设出速度以时间做为等量关系列方程求解.7.(10分)(2009•郴州)如图1,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(﹣2,﹣1),且P(﹣1,﹣2)为双曲线上的一点,Q为坐标平面上一动点,PA垂直于x轴,QB垂直于y轴,垂足分别是A、B.(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式;(2)当点Q在直线MO上运动时,直线MO上是否存在这样的点Q,使得△OBQ与△OAP面积相等?如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由;(3)如图2,当点Q在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ,求平行四边形OPCQ周长的最小值.考点:反比例函数综合题。1097743专题:压轴题。分析:(1)正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(﹣2,﹣1),设出正比例函数和反比例函数的解析式,运用待定系数法可求它们解析式;(2)因为P(﹣1,﹣2)为双曲线Y=上的一点,所以△OBQ、△OAP面积为1,依据反比例函数的图象和性质,点Q在双曲线上,即符合条件的点存在,是正比例函数和反比例函数的图象的交点;(3)因为四边形OPCQ是平行四边形,所以OP=CQ,OQ=PC,而点P(﹣1,﹣2)是定点,所以OP的长也是定长,所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值.解答:解:(1)设正比例函数解析式为y=kx,将点M(﹣2,﹣1)坐标代入得k=,所以正比例函数解析式为y=x,同样可得,反比例函数解析式为;(2)当点Q在直线OM上运动时,设点Q的坐标为Q(m,m),于是S△OBQ=|OB×BQ|=×m×m=m2,而S△OAP=|(﹣1)×(﹣2)|=1,所以有,m2=1,解得m=±2,所以点Q的坐标为Q1(2,1)和Q2(﹣2,﹣1);(3)因为四边形OPCQ是平行四边形,所以OP=CQ,OQ=PC,而点P(﹣1,﹣2)是定点,所以OP的长也是定长,所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值,(8分)因为点Q在第一象限中双曲线上,所以可设点Q的坐标为Q(n,),由勾股定理可得OQ2=n2+=(n﹣)2+4,所以当(n﹣)2=0即n﹣=0时,OQ2有最小值4,又因为OQ为正值,所以OQ与OQ2同时取得最小值,所以OQ有最小值2,由勾股定理得OP=,所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2(OP+OQ)=2(+2)=2+4.(10分)点评:此题难度稍大,考查一次函数反比例函数二次函数的图形和性质,综合性比较强.要注意对各个知识点的灵活应用.8.(10分)(2008•海南)如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合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