互反判断矩阵-理论

理论互反判断矩阵是决策者针对方案集给出的关于两两方案比较的一种偏好信息形式，具体描述如下。记方案中n个元素的集合为Ω={1,2,3···,n}。假设一个有限的方案集为X={}，其中表示第i个决策方案。决策者对某准则H，对方案集X中的任意两个方案和的优劣进行比较和判断。当决策者完成对方案集X中的n个元素的两两比较，就得到如下形式的判断矩阵：i|xiixjxix互反判断矩阵的描述212212111212nnnnnnaaaaaaaaa1xnx2xnx1x2xH定义设决策者针对方案集X给出两两方案比较好的偏好信息形式，它由判断矩阵来表示，即A=。其中，元素表示方案对方案的相对重要程度。一般地，采用Saaty提出的1~9标度法表示，如下表所示，即。ijaixjxnnija（）ijaija{1/91/8，，1/2，1，29}1~9标度法标度含义1第i个因素与第j个因素的影响相同3第i个因素与第j个因素的影响稍强5第i个因素与第j个因素的影响强9第i个因素与第j个因素的影响绝对的强7第i个因素与第j个因素的影响明显的强2，4，6，8第i个因素与第j个因素的影响介于上述两个相邻影响之间若矩阵A有如下性质：①非负性，即②互反性，即。则称A为互反判断矩阵。ija1/,1,,jiiiaaijija0,,;ij互反判断矩阵的一致性关于互反判断矩阵的一致性定义主要包括完全一致性、满意一致性和弱一致性。(1)完全一致性定义对于互反判断矩阵A=，若对，均有则称A具有完全一致性。nnija（）ikkjijaa=a,,,ijki,j,k性质1完全一致性互反判断矩阵A具有如下性质：（1）是完全一致性互反判断矩阵；（2）A的各行成比例，即；（3）A的最大特征值为，其余n-1个特征值均为零；（4）A的任一列都是对应于特征值n的特征向量。性质2若互反判断矩阵A=，具有完全一致性对于成立，则（1）当时，若则必有；（2）当时，若则必有；TA()1rankAnnnija（）i,j,k19ijajk及aika1/91ijajk及aika证明：（1）当时，由给定条件，有（2）当时，由给定条件，有定理n阶互反判断矩阵A=的最大特值，当且仅当时，A是完全一致性互反判断矩阵。19;ikijjkaaann.ikijjkaaa1/91nnija（）(2)满意一致性定在判断矩阵的构造中，一般并不要求判断矩阵具有完全一致性，这是由客观事实的复杂性与人类认识的多样性所决定的。但是要求判断矩阵有大体的一致性却是应该的，出现甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙比甲的情况一般是违反常识的。而且，当判断矩阵偏离一致性过大时，得到的排序权向量作为决策依据讲出现某些问题。因此，需要进行一致性检测，其步骤如下：1.计算一致性指标CI由于连续的依赖于，比n大的越多，A的不一致性就越严重，用最大的特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其中不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而，可以用数值的大小来衡量A的不一致程度。互反判断矩阵的一致性指标定义为ijamaxnmax1nCIn当CI=0时，互反判断矩阵具有完全一致性；CI越大，一致性程度越差。2.计算平均随机一致性指标平均随机一致性指标，是指同阶随机判断矩阵的一致性指标的平均值。其计算过程如下：首先，随机构造500个同阶互反判断矩阵其次，计算一致性指标最后，计算平均随机一致性指标RI，其中，12500,,,;AAA12500,,;CICICI12500125005005001nCICICIRInSatty给出各界互反判断矩阵的平均随机一致性指标RI，见下表。n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.513.计算一致性比例CRCICRRISatty认为当CR0.1时，互反判断矩阵具有可接受的一致性程度，或称互反判断矩阵具有满意一致性。运用AHP法进行决策时，需要经历以下4个步骤：1、建立系统的递阶层次结构；2、构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵）3、针对某一个标准，计算各备选元素的权重；4、计算当前一层元素关于总目标的排序权重。5、进行一致性检验。层次分析法的一般步骤