2005-2009考研数学(二)历年真题集锦[1]

硕博考研年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数3sinxxfxnx的可去间断点的个数，则（D）A1.B2.C3.D无穷多个.（2）当0x时，sinfxxax与2ln1gxxbx是等价无穷小，则（）A11,6ab.B11,6ab.C11,6ab.D11,6ab.（3）设函数,zfxy的全微分为dzxdxydy，则点0,0（D）A不是,fxy的连续点.B不是,fxy的极值点.C是,fxy的极大值点.D是,fxy的极小值点.（4）设函数,fxy连续，则222411,,yxydxfxydydyfxydx（）A2411,xdxfxydy.B241,xxdxfxydy.C2411,ydyfxydx.D.221,ydyfxydx（5）若fx不变号，且曲线yfx在点1,1上的曲率圆为222xy，则fx在区间1,2内（）A有极值点，无零点.B无极值点，有零点.C有极值点，有零点.D无极值点，无零点.（6）设函数yfx在区间1,3上的图形为：硕博考研则函数0xFxftdt的图形为（D）A.B.C.D.（7）设A、B均为2阶矩阵，**AB，分别为A、B的伴随矩阵。若A=2B=3，，则分块矩阵00AB的伴随矩阵为（）A.**0320BAB.**02B3A0()fx023x1-2-11()fx023x1-11()fx023x1-2-11()fx023x1-2-111()fx-2023x-1O硕博考研C.**03A2B0D.**02A3B0（8）设AP，均为3阶矩阵，TP为P的转置矩阵，且T100PAP=010002，若P=Q=+1231223（，，），（，，），则QAQT为（）A.210110002B.110120002C.200010002D.100020002二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)uteduytt在（0，0）处的切线方程为（10）已知+1kxedx,则k（11）n1limesin0xnxdx（12）设()yyx是由方程xy1yex确定的隐函数，则2x=0dy=dx2（13）函数2xyx在区间01，上的最小值为(14)设，为3维列向量，T为的转置，若矩阵T相似于200000000，则T=硕博考研三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限401cosln(1tan)limsinxxxxx（16）（本题满分10分）计算不定积分1ln(1)xdxx(0)x（17）（本题满分10分）设,,zfxyxyxy，其中f具有2阶连续偏导数，求dz与2zxy（18）（本题满分10分）设非负函数yyx0x满足微分方程20xyy，当曲线yyx过原点时，其与直线1x及0y围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。（19）（本题满分10分）求二重积分Dxydxdy，其中22,112,Dxyxyyx（20）（本题满分12分）设()yyx是区间-（，）内过-22（，）的光滑曲线，当-0x时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x时，函数()yx满足0yyx。求()yx的表达式（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数fx在,ab上连续，在,ab可导，则存在,ab，使得fbfafba（Ⅱ）证明：若函数fx在0x处连续，在0,0内可导，且0limxfxA，则0f存在，且0fA。硕博考研（22）（本题满分11分）设111111042A，1112（Ⅰ）求满足22131,AA的所有向量23,（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,，证明：123,,线性无关。（23）（本题满分11分）设二次型2221231231323,,122fxxxaxaxaxxxxx（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f的规范形为2212yy，求a的值。硕博考研年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设2()(1)(2)fxxxx，则'()fx的零点个数为（）A0B1.C2D3（2）曲线方程为()yfx函数在区间[0,]a上有连续导数，则定积分0()atafxdx（）A曲边梯形ABOD面积.B梯形ABOD面积.C曲边三角形ACD面积.D三角形ACD面积.（3）在下列微分方程中，以123cos2sin2xyCeCxCx（123,,CCC为任意常数）为通解的是（）A''''''440yyyyB''''''440yyyyC''''''440yyyyD''''''440yyyy（5）设函数()fx在(,)内单调有界，nx为数列，下列命题正确的是（）A若nx收敛，则()nfx收敛.B若nx单调，则()nfx收敛.C若()nfx收敛，则nx收敛.D若()nfx单调，则nx收敛.硕博考研（6）设函数f连续，若2222()(,)uvDfxyFuvdxdyxy，其中区域uvD为图中阴影部分，则FuA2()vfuB2()vfuuC()vfuD()vfuu（7）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵.若30A，则（）AEA不可逆，EA不可逆.BEA不可逆，EA可逆.CEA可逆，EA可逆.DEA可逆，EA不可逆.（8）设1221A，则在实数域上与A合同的矩阵为（）A2112.B2112.C2112.D1221.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）已知函数()fx连续，且201cos[()]lim1(1)()xxxfxefx，则(0)____f.（10）微分方程2()0xyxedxxdy的通解是____y.（11）曲线sinlnxyyxx在点0,1处的切线方程为.（12）曲线23(5)yxx的拐点坐标为______.（13）设xyyzx，则(1,2)____zx.硕博考研（14）设3阶矩阵A的特征值为2,3,.若行列式248A，则___.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）求极限40sinsinsinsinlimxxxxx.(16)（本题满分10分）设函数()yyx由参数方程20()ln(1)txxtyudu确定，其中()xt是初值问题0200xtdxtedtx的解.求22yx.(17)（本题满分9分）求积分120arcsin1xxdxx.(18)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxydxdy其中{(,)02,02}Dxyxy(19)（本题满分11分）设()fx是区间0,上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f.对任意的0,t，直线0,xxt，曲线()yfx以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()fx的表达式.(20)（本题满分11分）(1)证明积分中值定理：若函数()fx在闭区间[,]ab上连续，则至少存在一点[,]ab，使得()()()bafxdxfba(2)若函数()x具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()xdx，证明至少存在一点(1,3),()0使得（21）（本题满分11分）求函数222uxyz在约束条件22zxy和4xyz下的最大值与最小值.硕博考研（22）（本题满分12分）设矩阵2221212nnaaaAaa，现矩阵A满足方程AXB，其中1,,TnXxx，1,0,,0B，（1）求证1nAna；（2）a为何值，方程组有唯一解，并求1x；（3）a为何值，方程组有无穷多解，并求通解.（23）（本题满分10分）设A为3阶矩阵，12,为A的分别属于特征值1,1特征向量，向量3满足323A，（1）证明123,,线性无关；（2）令123,,P，求1PAP.硕博考研年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x时，与x等价的无穷小量是（A）1ex（B）1ln1xx（C）11x（D）1cosx[]（2）函数1(ee)tan()eexxxfxx在,上的第一类间断点是x[]（A）0（B）1（C）2（D）2（3）如图，连续函数()yfx在区间3,2,2,3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间2,0,0,2的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()dxFxftt，则下列结论正确的是：（A）3(3)(2)4FF(B)5(3)(2)4FF（C）3(3)(2)4FF（D）5(3)(2)4FF[]（4）设函数()fx在0x处连续，下列命题错误的是：硕博考研（A）若0()limxfxx存在，则(0)0f（B）若0()()limxfxfxx存在，则(0)0f.（C）若0()limxfxx存在，则(0)0f（D）若0()()limxfxfxx存在，则(0)0f.[]（5）曲线1ln1exyx的渐近线的条数为（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.[]（6）设函数()fx在(0,)上具有二阶导数，且()0fx，令()nufn，则下列结论正确的是：(A)若12uu，则