第5讲不确定性多属性决策方法

第五讲：《决策理论与方法》之：多属性决策方法不确定性多属性决策方法一、区间数的基本概念二、区间数多属性决策的线性规划方法三、区间数多属性决策的目标规划方法四、区间数多属性决策的TOPSIS方法五、三端点区间数判断矩阵的排序方法六、基于模糊线性规划的多属性决策方法随着社会、经济的发展，人门所考虑问题的复条性、不确定性以及人类思维的模糊性在不断增强。在实际决决过程中，决策信息有时以区间数形式来表达。本讲将介绍区间型正理想点、区间型负理想点等概念．区间数之间比较的可能度公式以及可能度公式之间的关系，并且分别介绍基于可能度、基于投影模型、逼近正理想点的多属性决策方法．关于多属性决策决策问题例1：假期旅游，是去风光绮丽的杭州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林。确定一个旅游目的地，或把3个目的地进行排序即为决策。其中可供选择的旅游目的地“杭州”，“北戴河”，“桂林”称为方案，或备选方案。你会根据诸如景色、费用、居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较哪三个候选地点。因素目的地景色费用居住饮食旅途杭州北戴河桂林其中，“景色”，“费用”，“居住”，“饮食”，“旅途”称为因素，也称为属性，指标等。这种决策问题称为多属性决策(multipleattributedecisionmaking)问题或称之为有限个方案的多目标决策。多属性决策是现代决策科学的一个重要组成部分，它的理论和方法在工程设计、经济、管理和军事等诸多领域中有着广泛的应用，如：投资决策、项目评估、维修服务、武器系统性能评定、工厂选址、投标招标．产业部门发展排序和经济效益综合评价等．多属性决策的实质是利用已有的决策信息通过一定的方式对一组(有限个)备选方案进行排序或择优．它主要由两部分组成：(l)获取决策信息．决策信息一般包括两个方面的内容：属性权重和属性值(属性值主要有三种形式：实数、区间数和语言)．其中，属性权重的确定是多数性决策中的一个重要研究内容；(2)通过一定的方式对决策信息进行集结并对方案进行排序和择优．一、区间数的基本概念（一）区间数定义设R为实数域，称闭区间ULxx,为区间数，用x~表示。其中，为Lx区间数的下确界，Ux为区间数的上确界，ULULxxRxx,,。下列符号用来表示一个具有区间数的多指标决策问题的集和量：mSSSS,,2,1：为m个备选方案的集合2m。3,,2,1QQQQ：为n个指标的集合2n，假设这些指标是加性独立的。w~Tn：为用区间数形式表示的指标权重向量，其中，jwUjLjww,，0,0,,1,11UjLjjnjUjnjLj。一般地，w~由决策者给出。nmijaA~~：表示具有区间数的决策矩阵，其中ija~UijLijaa,表示方案iS对应于指标jQ的一个结果基于可能度的多属性决策方法（二）区间数的运算法则设a~[ULaa,]和b~[ULbb,]为任意两个正闭区间数，关于区间数的运算法则可由下列式子给出：ba~~UULLbaba,；UULLbababa,~~；a~b~=LUULbaba,；ak~ULkaka,，0k；a~1LUaa1,1。（三）区间数大小比较记[,]{|}LULUaaaxaxa，称a为一个区间数。特别地，若LUaa，则a退化为一个实数。定义1：当,ab均为实数时，称1,()0,abpabab1为ab的可能度。相应地，ba的可能度定义为1,()0,bapbaba2定义2：当,ab同时为区间数或者有一个为区间数时，设[,]LUaaa，[,]LUbbb且记(),(),ULULlaaalbbb则称()max1max,0,0()()ULbapablalb3为ab的可能度。类似地，称()max1max,0,0()()ULabpbalalb4为ba的可能度。()Pabp设，则记的次序关系为,abpab例设，，求。()Pab[2,3]a[1,6]b解1,al5,bl2,La6,Ub所以，0.33.ab()max{1max(,0),0}ULabbaPabll62max{1max(,0),0}max{1max(,0),0}15ULabball21max{1,0}33定义3当,ab至少有一个为区间数时，且记为的可能度。ab,ULalaa,ULblbb则称max{0,max(,0)}()ULababllbaPabll（5）例设，，求。()Pab[2,3]a[1,6]b解1,al5,bl2,La6,Ub所以，0.33abmax{0,15max(62,0)}1153max{0,max(,0)}()ULababllbaPabll定义4当,ab至少有一个为区间数时，且记()min{max(,0),1}ULababPabll（6）为的可能度。ab,ULalaa,ULblbb则称定义5当,ab至少有一个为区间数时，且记min{,max(,0)}()ULababllabPabll（7）为的可能度。ab,ULalaa,ULblbb则称可以证明，以上几个定义是等价的。例设，，求。()Pab[2,3]a[1,6]b解1,al5,bl3,Ua1,Lbmin{,max(,0)}()ULababllabPabllmin{15,max(31,0)}1153所以，0.33ab根据上述几种定义，可以证明下列结论均成立。定理1设，，则[,]LUaaa[,]LUbbb0()1Pab（1）（2）()1Pab当且仅当ULba（3）()0Pab当且仅当ULab（4）（互补性）()()1PabPba特别地，()1/2.Paa（5）()1/2Pab当且仅当.ULULaabb特别地，()1/2Pab.ULULaabb（6）（传递性）对于3个区间数若,,,abc当且仅当()1/2Pbc()1/2Pab且则()1/2Pac定义6设摸糊判断矩阵，若有则称矩阵B是模糊互补判断矩阵()ijnnBb1,0.5,ijjiiibbb例0.50.40.60.20.60.50.30.80.40.70.50.10.80.20.90.5B为模糊互补判断矩阵。定理2设模糊互补判断矩阵对矩阵B(),ijnnBb按行求和得1niijjbb1,2,,in则可依据的序关系对区间ib(1,2,,)in[,]LUiiiaaa(1,2,,)in进行排序。1()[0.1888,0.1972],zw2()[0.2068,0.2198],zw3()[0.1988,0.2070],zw4()[0.1874,0.1970],zw5()[0.1874,0.1962].zw例比较下列5个区间大小解：由可能度矩阵()min{max(,0),1}ULababPabll0.5000.54440.569810.50.99061110.00940.5110.4556000.50.52170.4302000.47830.5P对于矩阵P按行求和：51iijjpp1,2,,5i0.5000.54440.569810.50.99061110.00940.5110.4556000.50.52170.4302000.47830.5P11.6142,p2,4.4906p3,3.5094p4,1.4773p51.4085.p231450.990610.54440.5217()()()()()zwzwzwzwzw由11.6142,p2,4.4906p3,3.5094p4,1.4773p51.4085.p得到:结论：对于给定的一组区间数[,],1,2,,.LUaaain用区间数比较的可能度公式对其进行两两比较，得到相应的可能度(),,1,2,,,ijpaaijn，简记为,,1,2,,,ijpijn建立如下可能度矩阵111212122212nnnnnnpppppppppp。该矩阵包含了所有方案相互比较的全部可能度信息。因此，对区间数进行排序的问题就转化为求解可能度矩阵的排序向量问题。由于可能度矩阵p中元素,,1,2,,ijpijn满足01,1,,1,2,,ijijjipppijn。因此，矩阵p是一个模糊互补判断矩阵。采用模糊互补判断矩阵的排序理论进行排序，即112,1,2,,(1)nijjinpwinnn得到可能度矩阵p的排序向量12(,,,)Tn，并利用(1,2,,)iwin对区间数(1,2,,)iain进行排序。区间数决策方法步骤1对于某一多属性决策问题，属性的权重完全确知(即为实数)。对于方案，按属性进行测度，得到关于的属性值(这里)．从而构成决策矩阵．最常见的属性类型为效益型和成本型．设分别表示效益型、成本型的下标集．为了消除不同物理量纲对决策结果的影响，可用下列公式将决策矩阵转化为规范化矩阵，其中ixjuixjuija[,]LUijijijaaa()ijnnAa12,IIA()ijnnRr[,].LUijijijrrr2121/()/()nLLUijijijinUULijijijiraaraa11,2,,,injI2121(1/)/(1/)(1/)/(1/)nLULijijijinULUijijijiraaraa21,2,,,injI注：属性一般有效益型、成本型、固定型、偏离型、区间型、偏离区间型等，其中效益型属性是指属性值越大越好的属性，成本型属性是指属性值越小越好的属性，固定型属性是指属性值越接近某个固定值越好的属性，偏离型属性是指属性值越偏离某个固定值越好的属性．区间型属性是指属性值越接近某个固定区间(包括落入该区间)越好的属性，偏离区间型属性是指属性值越偏离某个固定区间越好的属性。为了消除不同物理量纲对决策结果的影响，决策时可按下列公式对决策矩阵A进行规范化处理：ij12[,]jjqq12[,]jjqqmaxijijijiaraiN若属性值为效益型，则令：或：minmaxminijijiijijijiiaaraaiNiN若属性值为成本型，则令：或：maxmaxminijijiijijijiiaaraaiNminijiijijara1max||ijjijijjiaraiN若属性值为固定型，则令：min||||max||min||ijjiijijjijjijjiiaraaaiN若属性值为偏离型，则令：12121212max(,)1[,]max(min,max)1[,]jjijijjjijjjijijijiijjijqaaqaqqqaaqraqqiN若属性值为区间型，则令：12121212max(,)[,]max(min,max)0[,]jjijijjjijjjijijijiijjijqaaqaqqqaaqraqqiN若属性值为偏离区间型，则令：•步骤2利用WAA(weightedaveragingoperator)算子对各方案的属性值进行集结．求得其综合属性值ix(1,2,,)in()iz(1,2,,)in1()mijijjzr步骤3：利用区间数比较的可能度公式(4.2)，算出各方案综合属性值之间的可能度并建立可能度矩阵()iz(1,2,,)in(