高中数学必修2知识点与练习题

1/15高中数学必修2各章知识点总结第一章空间几何体一、柱、锥、台、球的结构特征二、空间几何体的三视图和直观图1、三视图：正视图---从前往后；侧视图---从左往右；俯视图---从上往下。2、画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等。3、直观图：斜二测画法。4、斜二测画法的步骤：(1)平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；(2)平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；(3)画法要写好。5、用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图二、空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积(1)、棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和(2)、圆柱的表面积S=2πl+πr2(3)、圆锥的表面积S=2πl+πr2(4)、圆台的表面积S=πrl+πr2+πRL+πR2(5)、球的表面积S=4πR22、空间几何体的体积(1)、柱体的体积：hSV底(2)、锥体的体积：hSV底31(3)、台体的体积：hSSSSV)31下下上上（(4)、球体的体积：334RV第二章直线与平面的位置关系一、空间点、直线、平面之间的位置关系1、平面含义：平面是无限延展的2、平面的画法及表示(1)、平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长。(2)、平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。3、三个公理：(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。2/15公理1作用：判断直线是否在平面内。(2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理2作用：确定一个平面的依据。(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理3作用：判定两个平面是否相交的依据二、空间中直线与直线之间的位置关系1、空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2、公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。4、注意点：(1)两条异面直线所成的角θ∈(0，90°)；(2)当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；(3)两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；(4)计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：(1)直线在平面内有无数个公共点(2)直线与平面相交有且只有一个公共点(3)直线在平面平行没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可表述为a不包含于α来表示。2、直线、平面及其他平行的判定(1)、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。(2)、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。(3)、判断两平面平行的方法：用定义、判定定理、垂直于同一条直线的两个平面平行。四、直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行。五、直线与平面垂直的判定1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂共面直线3/15直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意：(1)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；(2)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。六、平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形。2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β。3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。七、直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2、性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。第三章直线与方程一、倾斜角和斜率1、直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°。2、倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°（当直线l与x轴垂直时,α=90°）。3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα。注：⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直线的斜率公式：给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：KP1P2=(y2-y1)/(x2-x1)。二、两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行。注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立。即“如果k1=k2,那么一定有L1∥L2”是真命题；反之“如果L1∥L2，那么一定有k1=k2。”是假命题。2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即如果L1垂直于L2，那么K1K2=-1。三、直线的点斜式方程1、直线的点斜式方程：直线L经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，那么直线方程为y-y0=k(x-x0)。2、直线的斜截式方程：已知直线L的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，那么直线方程为y=kx+b。4/153、直线的两点式方程：已知两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）其中（x1≠x2，y1≠y2），那么直线方程为(y-y1)(x2-x1)=(y2-y1)(x-x1)。（分式形式是怎么写的？）4、直线的截距式方程：已知直线L与x轴的交点为A（a，0），与y轴的交点为B（0，b），其中ab≠0，那么直线方程为x/a+y/b=1。5、直线的一般式方程：关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0（A，B不同时为0）。四、直线的交点坐标与距离公式1、联立两直线方程，成为一个方程组，每个解就对应一个点，这些点就是两直线的交点。2、两点间的距离22122221PPxxyy。3、点到直线的距离：点),(00yxP到直线L：Ax+By+C=0的距离为：2200BACByAxd4、两平行线间的距离：已知两条平行线直线L1和L2的一般式方程为L1：Ax+By+C1=0，L2：Ax+By+C2=0，则L1与L2的距离为2221BACCd。第四章圆与方程一、圆的标准方程1、圆的标准方程：（x-a）2+（y-b）2=r2表示圆心为A(a，b)，半径为r的圆。2、点M(x0，y0)与圆（x-a）2+（y-b）2=r2的关系的判断方法：(1)（x-a）2+（y-b）2r2，点在圆外；(2)（x-a）2+（y-b）2=r2，点在圆上；(3)（x-a）2+（y-b）2r2，点在圆内。3、圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=04、圆的一般方程的特点：(1)x2和y2的系数相同，不等于0；(2)没有xy这样的二次项；(3)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，只要求出这三个系数，圆的方程就确定了；(4)与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。二、圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线l：0cbyax，圆C：022FEyDxyx，圆的半径为r，圆心)2,2(ED到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当rd时，直线l与圆C相离；（2）当rd时，直线l与圆C相切；（3）当rd时，直线l与圆C相交；2、圆与圆的位置关系设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：(1)当21rrl时，圆1C与圆2C相离；5/15(2)当21rrl时，圆1C与圆2C外切；(3)当||21rr21rrl时，圆1C与圆2C相交；(4)当||21rrl时，圆1C与圆2C内切；(5)当||21rrl时，圆1C与圆2C内含；三、直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系的步骤：(1)建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；(2)通过代数运算，解决代数问题；(3)将代数运算结果“翻译”成几何结论．四、空间直角坐标系1、任何一点M对应着唯一确定的有序实数组（x，y，z），x、y、z分别是P、Q、R在x、y、z轴上的坐标；2、有序实数组（x，，z），对应着空间直角坐标系中的唯一一点；3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组（x，y，z）来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M（x，y，z），x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。4、空间中任意一点P1（x1，y1，z1）到点P2（x2，y2，z2）之间的距离公式22122122121)()()(zzyyxxPP6/15第一章空间几何体习题一、选择题1、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（）A、1：2：3B、1：3：5C、1：2：4D、1：3：92、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（）A、23B、76C、45D、563、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2=（）A、1：3B、1:1C、2:1D、3:14、如果两个球的体积之比为8：27,那么两个球的表面积之比为()A、8:27B、2:3C、4:9D、2:95、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（cm），该几何体的表面积及体积为（）A、224cm，212cmB、215cm，212cmC、224cm，236cmD、以上都不正确二、填空题1、若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，则圆锥的体积是。2、一个半球的全面积为Q，一个圆柱与此半球等底等体积，则圆柱的全面积是。3、球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的倍。657/154、一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米。5、已知棱台的上下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为。三、解答题1、如图在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为√3的圆柱，求圆柱的表面积。2、如图，在四边形ABCD中，090DAB，0135ADC，5AB，22CD，2AD，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]