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第一节曲线运动运动的合成与分解课堂互动讲练经典题型探究知能优化演练第一节曲线运动运动的合成与分解基础知识梳理基础知识梳理一、曲线运动1．运动特点(1)速度方向：质点在某点的速度，沿曲线上该点的______方向．(2)运动性质：做曲线运动的物体，速度的_____时刻改变，所以曲线运动一定是____运动，即必然具有_______．切线方向变速加速度2．曲线运动的条件(1)从动力学角度看：物体所受_____方向跟它的速度方向不在同一条直线上．(2)从运动学角度看：物体的________方向跟它的速度方向不在同一条直线上．特别提示：曲线运动一定是变速运动，至少速度的方向在时刻改变，而变速运动不一定是曲线运动，如匀变速直线运动．合力加速度思考感悟怎样判断一个物体是否做曲线运动？提示：看合外力(加速度)与速度方向是否在一条直线上．二、运动的合成与分解1．基本概念2．分解原则根据运动的________分解，也可采用_________．3．遵循的规律位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循________________．实际效果正交分解平行四边形定则(1)如果各分运动在同一直线上，需选取_______，与___________的量取“＋”号，与__________的量取“－”号，从而将矢量运算简化为_________．(2)两分运动不在同一直线上时，按照_______________进行合成，如图4－1－1所示．正方向正方向同向正方向反向代数运算平行四边形定则图4－1－14．合运动和分运动的关系(1)等时性：合运动与分运动经历的时间______．(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响．(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果．相等课堂互动讲练一、曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系1．合力方向与轨迹的关系物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向和速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向轨迹的“凹”侧．2．合力方向与速度方向的关系物体做曲线运动时，所受合力的方向与速度方向一定不在同一条直线上，这是判断物体是否做曲线运动的依据．3．合力方向与速度大小变化的关系合力沿切线方向的分力改变速度的大小，沿径向的分力改变速度的方向，如图4－1－2所示的两个情景．图4－1－2(1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体运动的速率将增大；(2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体运动的速率将减小；(3)当合力方向与速度方向垂直时，物体运动的速率不变．即时应用(即时突破，小试牛刀)1.(原创题)“嫦娥二号”卫星于2010年10月1日18时59分发射升空．如图4－1－3所示，“嫦娥二号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从M点到N点的飞行过程中，速度逐渐减小．在此过程中探月卫星所受合力的方向可能是()图4－1－3解析：选C.做曲线运动的物体所受合力的方向总是指向曲线凹侧，A、D错误；由于速度逐渐减小，故力F的方向与速度方向的夹角应大于90°，C正确．二、合运动的性质和轨迹的判定1．物体运动的性质由加速度决定，常见的类型有(1)a＝0：匀速直线运动或静止．(2)a恒定：性质为匀变速运动，分为：①v、a同向，匀加速直线运动；②v、a反向，匀减速直线运动；③v、a成一角度，匀变速曲线运动(轨迹在v、a之间，和速度v的方向相切，方向逐渐向a的方向接近，但不可能达到)．(3)a变化：性质为变加速运动．如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化．2．物体的运动轨迹由物体的速度和加速度的方向关系决定，如图4－1－4.(1)速度与加速度共线时，物体做直线运动．(2)速度与加速度不共线时，物体做曲线运动．图4－1－4特别提醒：匀变速曲线运动的特例是平抛运动，非匀变速曲线运动的特例是匀速圆周运动，非匀变速直线运动的特例是弹簧振子的振动，掌握这些运动具有非常重要的意义．即时应用(即时突破，小试牛刀)2.一物体运动规律是x＝3t＋3t2m，y＝4t＋4t2m，则下列说法中正确的是()A．物体在x轴和y轴方向上都是初速度为零的匀加速直线运动B．物体的合运动是初速度为5m/s、加速度为5m/s2的匀加速直线运动C．物体的合运动是初速度为5m/s、加速度为10m/s2的匀变速直线运动D．物体的合运动是加速度为10m/s2的曲线运动解析：选C.由x＝3t＋3t2和y＝4t＋4t2知物体在x、y方向上的初速度分别为v0x＝3m/s、v0y＝4m/s，加速度分别为ax＝6m/s2、ay＝8m/s2，所以合运动的初速度v0＝v20x＋v20y＝5m/s，加速度a＝a2x＋a2y＝10m/s2，v0、a与x轴的夹角相等，故C项正确．三、渡河问题1．船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．2．三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)．3．三种情景(1)过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝dv1(d为河宽)．(2)过河路径最短(v2v1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s短＝d.船头指向上游与河岸夹角为α，cosα＝v2v1.(3)过河路径最短(v2v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图4－1－5所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cosα＝v1v2，最短航程：s短＝dcosα＝v2v1d.图4－1－5特别提醒：(1)船的航行方向与船头指向一致(v1的方向)，是分速度方向，而船的航行方向是实际运动的方向，也就是合速度的方向．(2)小船过河的最短时间与水流速度无关．即时应用(即时突破，小试牛刀)3.(2011年成都模拟)河水的流速随离河岸的距离的变化关系如图4－1－6甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则()图4－1－6A．船渡河的最短时间是60sB．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直C．船在河水中航行的轨迹是一条直线D．船在河水中的最大速度是5m/s解析：选BD.当船头指向垂直于河岸时，船的渡河时间最短，其时间t＝dv＝3003s＝100s，A错、B对．因河水流速不均匀，所以船在河水中的航线是一条曲线，当船行驶至河中央时，船速最大，最大速度v＝42＋32m/s＝5m/s，C错、D对．经典题型探究对曲线运动的理解例1一个质点受两个互成锐角的恒力F1和F2作用，由静止开始运动，若运动过程中保持二力方向不变，但F1突然增大到F1＋ΔF，则质点以后()A．继续做匀变速直线运动B．在相等时间内速度的变化一定相等C．可能做匀速直线运动D．可能做变加速曲线运动【思路点拨】先判定是曲线运动还是直线运动，方法是看力的方向与速度方向是否在一条直线上；再判定是加速运动还是匀速运动，方法是看F合是否为零以及是否变化．【解析】F1、F2为恒力，物体从静止开始做匀加速直线运动，F1突变后仍为恒力，合力仍为恒力，但合力的方向与速度方向不再共线，所以物体将做匀变速曲线运动，故A错．由加速度的定义式a＝ΔvΔt知，在相等时间Δt内Δv＝aΔt必相等，故B对．做匀速直线运动的条件是F合＝0，所以物体不可能做匀速直线运动，故C错．由于F1突变后，F1＋ΔF和F2的合力仍为恒力，故加速度不可能变化，故D错．【答案】B【规律总结】对于质量一定的物体，我们应抓住加速度与合力两个关键因素，判断一个物体的运动轨迹是曲线还是直线，就是要看其速度方向与合力的方向是否在同一直线上．变式训练1(2011年浙江金华模拟)一质点在xOy平面内的运动轨迹如图4－1－7所示，下列判断正确的是()图4－1－7A．若在x方向始终匀速运动，则在y方向先减速后加速运动B．若在x方向始终匀速运动，则在y方向先加速后减速运动C．若在y方向始终匀速运动，则在x方向一直加速运动D．若在y方向始终匀速运动，则在x方向一直减速运动解析：选A.若在某一坐标轴方向上为匀速运动，因s＝vt.即s正比于时间t，则轴可看作时间轴．再根据图象分析另一坐标轴方向上的运动性质．可以看出，若x方向匀速，y方向位移的斜率是先减小后增大，故y方向先减速后加速，同理，若y方向匀速，x方向是先加速后减速．如图4－1－8所示，一个长直轻杆两端分别固定一个小球A和B，两球的质量均为m，两球半径忽略不计，杆AB的长度为l，现将杆AB竖直靠放在竖直墙上，轻轻振动小球B，使小球B在水平地面上由静止向右运动，求当A球沿墙下滑距离为时A、B两球的速度vA和vB的大小．(不计一切摩擦)“关联”速度的求解例2l2【思路点拨】解答本题时要注意两点：(1)A、B两球的实际运动是它们各自的合运动；(2)A、B两球沿杆方向的分速度相等．图4－1－8【解析】A、B两球速度的分解情况如图4－1－9所示，由题意知，θ＝30°，由运动的合成与分解得vAsinθ＝vBcosθ①又A、B组成的系统机械能守恒，所以mgl2＝12mv2A＋12mv2B②由①②解得vA＝123gl，vB＝12gl.图4－1－9【名师归纳】绳、杆等长度不变的物体，在运动过程中，其两端点的速度通常不一样，但是有联系的，称之为“关联”速度．关联速度的关系——沿杆(或绳)方向的速度分量大小相等．【答案】123gl12gl变式训练2如图4－1－10所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A的受力情况是()A．绳子的拉力大于A的重力B．绳子的拉力等于A的重力C．绳子的拉力小于A的重力D．拉力先大于重力，后变为小于重力图4－1－10解析：选A.车水平向右的速度(也就是绳子末端的运动速度)为合速度，它的两个分速度v1、v2如图所示，其中v2就是拉动绳子的速度，它等于A上升的速度．由图得，vA＝v2＝vcosθ小车匀速向右运动的过程中，θ逐渐变小，知vA逐渐变大，故A做加速运动，由A的受力及牛顿第二定律知绳的拉力大于A的重力．(满分样板13分)河宽l＝300m，水速u＝1m/s，船在静水中的速度v＝3m/s，欲分别按下列要求过河时，船头应与河岸成多大角度？过河时间是多少？(1)以最短时间过河；(2)以最小位移过河；(3)到达正对岸上游100m处．渡河问题分析与计算例3【思路点拨】渡河时间由垂直于河岸的速度大小决定，故欲要渡河时间最短，只有船头正对河岸；欲要位移最小，只有船的运动轨迹垂直于河岸．☞解题样板规范步骤，该得的分一分不丢！(1)以最短时间渡河时，船头应垂直于河岸航行，即与河岸成90°角．最短时间为t＝lv＝3003s＝100s．(2分)(2)以最小位移过河，船的实际航向应垂直河岸，即船头应指向上游河岸．设船头与上游河岸夹角为θ，有vcosθ＝u，(2分)θ＝arccosuv＝arccos13.(1分)sinθ＝1－cos2θ＝223(1分)渡河时间为t＝lvsinθ＝3003×sinθs≈106.4s．(2分)(3)设船头与上游河岸夹角为α，则有(vcosα－u)t＝x(2分)vtsinα＝l(2分)两式联立得：α＝53°，t＝125s．(1分)【答案】见解题样板【名师归纳】小船渡河问题的有关结论：(1)不论水流速度多大，船头垂直于河岸渡河，时间最短，tmin＝dv船，且这个时间与水流速度无关．(2)当v水v船时，合运动的速度可垂直于河岸，最短航程为河宽d.(3)当v水v船时，船不能垂直到达河对岸，但仍存在最短航程，当v船与v合垂直时，航程最短，最短航程为xmin＝v水v船d.(d为河宽)变式训练3图4－1－11如图4－1－11所示，一条小船位于200m宽的河正中A点处，从这里向下游1003m处有一危险区，当时水流速度为4m/s，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是()A．43/3m/sB．83/3m/sC．2m/sD．4m/s解析：选C.水流速度是定值，只要保证合速度方向指向对岸危险区上游即可，但对应最小值应为刚好指向对岸危险区边缘，如图所示．tanθ＝1001003＝33，所以θ＝30°，则v船min＝v水sin30°