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电子科学与工程学院4.有限长单位脉冲响应滤波器的设计方法张哲电子科学与工程学院电子科学与工程学院概述FIR数字滤波器的差分方程描述对应的系统函数电子科学与工程学院FIR数字滤波器的优点很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号产生相位失真可得到多带幅频特性；极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题；任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时，转变为因果序列，所以因果性总是满足；无反馈运算，运算误差小。电子科学与工程学院FIR数字滤波器的缺点因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的阶数为代价；无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。电子科学与工程学院线性相位FIR数字滤波器的特性线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的线性函数：系统的群时延为：FIR滤波器的DTFT为：有：∑∑得到：线性相位FIR数字滤波器的特性电子科学与工程学院另一种情况满足：：除了上述的线性相位外，还有一附加的相位：利用类似的关系，可以得出新的解答为：电子科学与工程学院4.1线性相位特性()wjwp20p)1(--N()wjwp20p)5.0(--N2p-h(n)偶对称h(n)奇对称电子科学与工程学院线性相位FIR滤波器的幅度特性1.偶对称，为奇数得到：适合所有类型的滤波器电子科学与工程学院证明电子科学与工程学院证明令，则令则：电子科学与工程学院线性相位FIR滤波器的幅度特性2.偶对称，为偶数不适合做高通和带阻滤波器电子科学与工程学院线性相位FIR滤波器的幅度特性3.奇对称，为奇数只适合做带通滤波器电子科学与工程学院线性相位FIR滤波器的幅度特性4.奇对称，为偶数只适合做高通、带通滤波器电子科学与工程学院4.1例题,,，求幅度函数解为奇数并且满足偶对称关系电子科学与工程学院例题电子科学与工程学院4.1小结四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于的对称性，而与的值无关。幅度特性取决于。设计FIR数字滤波器时，在保证对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。注意：当用表示时，当为奇对称时，其相频特性中还应加一个固定相移。电子科学与工程学院4.1线性相位FIR滤波器的零点特性电子科学与工程学院零点特性的分析电子科学与工程学院4.2FIR滤波器的设计思路：如果希望得到的滤波器的理想频率响应为，那么FIR滤波器的设计就在于寻找一个传递函数去逼近，逼近方法有三种窗口设计法（时域逼近）频率采样法（频域逼近）最优化设计（等波纹逼近）电子科学与工程学院4.2窗口设计法（时域）时间窗口设计法是从单位脉冲响应序列着手，使逼近理想的单位脉冲响应序列[问题]：理想频响是分段恒定，在边界频率处有突变点，所以，这样得到的理想单位脉冲响应往往都是无限长序列，而且是非因果的[窗函数]：电子科学与工程学院4.2设计步骤用有限长的来逼近无限长的，即截取中最重要的一段。时域：频域：电子科学与工程学院4.2分析线性相位理想低通滤波器：是无限长非因果序列电子科学与工程学院分析⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==-p)()()(电子科学与工程学院4.2矩形窗设计法用一个矩形窗和相乘矩形窗的频谱：电子科学与工程学院矩形窗设计法电子科学与工程学院4.2FIR滤波器的幅频特性理想频响也可以写成幅度函数和相位函数：幅度函数为：两个信号时域的乘积对应于频域卷积：电子科学与工程学院4.2FIR滤波器的幅频特性以幅度函数和相位函数来表示：实际FIR滤波器的幅度函数为正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积电子科学与工程学院4.2矩形窗的卷积过程电子科学与工程学院4.2窗口函数对理想特性的影响改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），取决于的旁瓣增加，过渡带宽减小，肩峰值不变电子科学与工程学院4.2窗函数满足2项要求窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中，这样就可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性电子科学与工程学院4.2几种常用的窗函数矩形窗汉宁窗（升余弦窗）汉明窗（改进的升余弦窗）布莱克曼窗（三阶升余弦窗）凯塞窗电子科学与工程学院4.2汉宁窗窗口序列：频谱：电子科学与工程学院汉宁窗电子科学与工程学院4.2汉明窗窗口序列是对汉宁窗的改进，在主瓣宽度（对应第一零点的宽度）相同的情况下，旁瓣进一步减小，可使99.96%的能量集中在窗谱的主瓣内电子科学与工程学院4.2布莱克曼窗窗口序列增加一个二次谐波余弦分量，可进一步降低旁瓣，但主瓣宽度进一步增加，为。增加可减少过渡带电子科学与工程学院4.2四种窗函数的序列包络电子科学与工程学院4.2四种窗函数频谱的比较电子科学与工程学院4.2四种窗函数综合比较窗函数主瓣宽度过渡带宽旁瓣峰值衰减(dB)阻带最小衰减(dB)矩形4π/N1.8π/N-13-21汉宁8π/N6.2π/N-31-44汉明8π/N6.6π/N-41-53布莱克曼12π/N11π/N-57-74电子科学与工程学院4.2凯塞窗窗口序列参数可自由选择，决定主瓣宽度与旁瓣衰减。越大，窗越窄，其频谱的主瓣变宽，旁瓣变小。一般取电子科学与工程学院凯塞窗电子科学与工程学院4.2窗口法的计算窗口法设计中主要的计算工作是计算及，然后将它们相乘得到当很复杂时，不能直接计算，可用IDFT近似计算IDTFT当时，电子科学与工程学院4.2窗口法的特点优点：设计简单，当M很大时利用IDFT近似计算IDTFT，所以窗口法可以设计任意频率特性的滤波器缺点：通带和阻带的边界频率不易控制，长度N也不易一次决定，往往要反复几次才能求得满意的结果电子科学与工程学院4.3频率采样法基本思想：使所设计的FIR数字滤波器的频率特性在某些离散频率点上的值准确地等于所需滤波器在这些频率点处的值，在其它频率处的特性则有较好的逼近()()wpwjnhNIDFTNNkjdjdeHnhkHeHeHd→──→─=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛───→─)(2)()(不同于点点频率取样确定内插公式电子科学与工程学院4.3频率采样法的图示电子科学与工程学院4.3设计方法确定,计算h(n)计算电子科学与工程学院4.3约束条件具有线性相位的FIR滤波器，其单位脉冲响应是实序列，且满足，即对的约束例如，要设计第一类线性相位FIR滤波器，即N为奇数，h(n)偶对称幅度函数应具有偶对称性电子科学与工程学院4.3约束条件令则必须满足偶对称性：而必须取为：结论：要满足幅度与相位的约束条件电子科学与工程学院4.3逼近误差设计方法：或由上述设计过程得到的与的逼近程度，以及与的关系？电子科学与工程学院4.3内插公式令，则：单位圆上的频响为：电子科学与工程学院4.3的特性为内插函数令，，则：电子科学与工程学院4.3内插公式表明在每个采样点上，逼近误差为零，频响严格地与理想频响的采样值相等在采样点之间，频响由各采样点的内插函数延伸迭加而形成，因而有一定的逼近误差，误差大小与理想频率响应的曲线形状有关，理想特性平滑，则误差小；反之，误差大。在理想频率响应的不连续点附近，会产生肩峰和波纹。增大，则采样点变密，逼近误差减小。电子科学与工程学院4.3图例电子科学与工程学院4.3例题设计一个FIR数字LP滤波器，其理想特性为采样点数，要求线性相位。电子科学与工程学院解答将代入内插公式，求电子科学与工程学院解答考虑到时，而其它时，,令，则电子科学与工程学院过渡采样点不同的三个FIR滤波器设计实例电子科学与工程学院4.3增大阻带衰减三种方法加宽过渡带宽，以牺牲过渡带换取阻带衰减的增加过渡带的优化设计增大N电子科学与工程学院4.3小结频率采样设计法优点：直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便；适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几个非零值。典型应用：用一串窄带滤波器组成多卜勒雷达接收机，覆盖不同的频段，多卜勒频偏可反映被测目标的运动速度；缺点：截止频率难以控制。因频率取样点都局限在的整数倍点上，所以在指定通带和阻带截止频率时，这种方法受到限制，比较死板。充分加大，可以接近任何给定的频率，但计算量和复杂性增加。电子科学与工程学院4.4FIR数字滤波器的最优化设计窗口法和频率采样法，这两种方法设计出的滤波器的频率特性都是在不同意义上对给定理想频率特性的逼近最优化设计要求在某种准则下设计滤波器各参数，以获取最优的结果最优化设计一般需要大量的计算，所以一般需要依靠计算机进行辅助设计电子科学与工程学院4.4常用的最优化设计的准则最小均方误差准则最大误差最小化准则电子科学与工程学院4.4均方误差最小化准则若以表示逼近误差，则那么均方误差为均方误差最小准则就是选择一组时域采样值，以使均方误差电子科学与工程学院4.4均方误差最小化准则采用有限项的逼近理想的，所以其逼近误差为：如果采用矩形窗其他均方误差为电子科学与工程学院4.4最大误差最小化准则也称最佳一致逼近准则表示为优点：可保证局部频率点的性能也是最优的，误差分布均匀，在相同指标下，可用最少的阶数达到最佳化电子科学与工程学院4.4低通滤波器分析假设滤波器的对称于，且为奇数，此时，。令，滤波器的频率响应为对于零相位要求：电子科学与工程学院4.4低通滤波器的误差分配电子科学与工程学院4.4切比雪夫最佳一致逼近用等波动逼近法设计滤波器需要确定五个参数：、、、、在通带内以最大误差逼近1，在阻带内以最大误差逼近零常用的两种逼近方法给定、、，以和为变量。缺点：边界频率不能精确确定给定、和，以和为变量，通过迭代运算，使逼近误差和最小，并确定——切比雪夫最佳一致逼近，特点：能准确地指定通带和阻带边界频率电子科学与工程学院4.4等波动逼近的低通滤波器ωpωr电子科学与工程学院4.4误差函数定义逼近误差函数为所设计的滤波器与理想滤波器的幅频特性在通带和阻带内的误差值是已知的权函数，在不同频带可取不同的值所要设计的滤波器的幅频特性理想滤波器的幅频特性电子科学与工程学院4.4低通滤波器的计算希望在固定的情况下逼近一个低通滤波器，这时有代入之前的低通滤波器误差函数：切比雪夫逼近问题变为，寻求一组系数使逼近误差的最大值达到最小，即电子科学与工程学院4.4交替定理（最佳逼近定理）令表示闭区间的任意闭子集，为了使在F上唯一最佳地逼近于，其充分必要条件是误差函数在F上至少应有次“交替”即其中，且包含在F中电子科学与工程学院4.4IIR与FIR数字滤器的比较FIRIIR设计方法一般无解析的设计公式，要借助计算机程序完成利用AF的成果，可简单、有效地完成设计设计结果可得到幅频特性(可以多带)和线性相位(最大优点)只能得到幅频特性，相频特性未知(一大缺点)，如需要线性相位，须用全通网络校准，但增加滤波器阶数和复杂性稳定性极点全部在原点(永远稳定)无稳定性问题有稳定性问题阶数高低结构非递归递归系统运算误差一般无反馈，运算误差小有反馈，由于运算中的四舍五入产生极限环快速算法可用FFT实现，减少运算量无快速运算方法