第二章1-单自由度系统无阻尼自由振动

单自由度振动系统单自由度定义只有一个自由度的振动系统，称为单自由度振动系统，简称单自由度系统。自由度：指完整描述一个振动系统时间特性所需的最少的独立坐标数，在理论力学中用广义坐标数。几种单自由度系统的示例SθOJθOSO隔离体受力分析kx()xtmk2-1无阻尼自由振动自由振动：系统在初始激励下，或外加激励消失后的一种振动形态。系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象，是一种理想条件，实际的系统都有阻尼。如果现实世界没有阻止运动能力的话，整个世界将处于无休止的振动中。振动系统微分方程步骤以系统的静平衡位置为坐标原点，以水平向右为轴正向，建立如图所示的坐标系设在某一瞬时t,质量沿坐标方向有一位移x，画出质量此时的隔离体受力图。图形O隔离体受力分析kx()xtmk建立系统的微分方程根据牛顿第二定律（Newtonsecondlaw）建立系统的微分方程。mxF方程化简对于无阻尼自由振动，我们有因此，原方程改写为：Fkx0mxkx确定微分方程的初始条件在t=0时，初始位移为，初始速度为则方程的初始条件为：0x0x0(0)xx0(0)xx和完整形式单自由度无阻尼自由振动的运动微分方程为：000(0)(0)mxkxxxxx改写令，则上式可以写为nkm002000xxxxxxn，求解系统微分方程上节得到的为质量m的位移x随时间t变化的二阶、常系数、齐次常微分方程。根据微分方程的理论，可知该微分方程组的通解为：12cossincos()nnnxAtAtAt积分常数的确定这里的A，是任意常数，由微分方程的初始条件，即运动的初始条件确定对通解两端求导12sincosnnnnxAtAt代入初始条件当时，从而得到0t0102(0)(0)nxxAxxA0102nxAxA三角公式推导根据三角函数公式令：2212121222221212cossin(cossin)nnnnAAxAtAtAAttAAAA12212cosAAA22212sinAAA2212121222221212cossin(cossin)nnnnAAxAtAtAAttAAAA22221212(coscossinsin)cos()nnnxAAttAAt幅值和相角的确定由前面推导22220120nxAAAx00arctannxx初始条件和相角取值的关系00cossinnxAxA000000000,00,20,0,230,0,230,0,22xxxxxxxx结论1单自由度无阻尼自由振动为简谐振动——位移可以表示为时间的简谐函数（正弦或余弦）结论2响应满足叠加原理系统在初始位移单独作用下的自由振动，此时，系统在初始速度单独作用下的自由振动，此时，0x00x10cosnxxt0x00x02sinnnxxt系统总响应振动系统总的响应=上述两部分响应之和叠加性是线性系统的重要特征0120cossinnnnxxxxxtt数字特征——振幅，振动物体离开静平衡位置的最大位移——圆频率——振动周期，旋转矢量转动一周（），振动物体的位移值也就重复一次，振动周期：振动重复一次所需要的时间间隔——振动频率，单位时间内完成的振动的次数AnT2f1fT固有特性可见，上述三个量都由振动系统的参数确定，而与初始条件无关，是系统的固有特性，因而又称作：固有圆频率、固有周期和固有频率系统的初始条件只决定振动的振幅和初相位nkm22nmTk1122nkfTm系统参数对振动特性的影响振系的质量越大，弹簧越软，则固有频率越低，周期越长；质量越小，弹簧越硬，则固有频率越高，周期越短，这个结论对复杂的振动系统也同样的适用,,,,mkfTmkfT分析弹簧悬挂物体的垂直振动以振子的平衡位置为坐标原点，建立如图所示的坐标系，弹簧的自有长度为，当物体从平衡位置离开时，弹簧的伸长为，则物体的隔离体受力如图所示：0lsx简图ssFxksmgkO0lsxxmk微分方程和求解可以写出系统的微分方程由于所以，上式得化简结果仍然是：()smxmgkxsmgk0mxkx结果因此，系统的固有频率仍然是：由代入上式：得到：12kfmssmgmgkk12sgf结论由弹簧的静变形可以计算出系统的固有频率在写微分方程的时候，可以以物体的静平衡位置为坐标原点，而不必考虑物体重力造成的弹簧静变形作业1θOSSθOJ如图所示单摆，摆线长为，求其微分方程和固有频率l如图所示的物理摆，悬挂点和质心的距离为S，对O点转动惯量为J，求其微分方程和固有频率能量法原理在阻尼可以略去不计的条件下，振动系统自由振动时的机械能（动能+势能）保持常值。对上式两端求导，可得TUconst0dTUdt自由振动系统性质对一个振动系统，如在动能最大时，取势能为零，则在动能为零时，势能取最大值。mmTU常见物体的动能计算1.质点或平动刚体2.定轴转动的刚体3.平面运动的刚体212Tmv212TJ221122ccTmvJ常见物体的势能计算1.拉伸弹簧2.扭转弹簧3.刚体的重力势能2012xUkxdxkx2012xUKdKcUmgzK为抗扭弹簧系数势能参考点的选取势能是一个参考值，和其具体值的大小和参考点选取有关在使用时，要注意，势能基准值的选取，应使振动系统在动能最大时，势能为零。0dTUdt例一如图的系统，使其偏转角后放手，求系统的微分方程和固有频率KθJ例一解选取圆盘的扭转角为广义坐标，箭头方向为正向，平衡位置为转角零点，建立如图所示的广义坐标系统的动能系统的势能212TJ212UK由系统机械能守恒得：由于是方程的平凡解，两边除，并令：方程化简为：22110022dJKJKdt0JJnKJ20n例二（兼作业2）系统如图，杆和弹簧的质量不计，在静平衡时水平，求其系统的微分方程和固有频率（提示：取静平衡位置为坐标原点，可不考虑重力势能，当偏角很小时，弹簧的伸长，圆球的位移和速度可以表示为：）,,allθmak能量法的优点从上面的分析可以看出，用机械能守恒求解比较方便，而且比较规范，对照大家以前的学过的Lagrange方程，大家可以看出，实际就是无约束系统Lagrange方程在保守力场下的形式。0dTUdt等值质量在前面的讨论中，都假定了弹性元件的质量远远小于振动系统的集中质量，因而可以简化为一个集中质量。上文所讨论的例子的弹簧也都是有一个螺旋或扭转弹簧的例子。下面看几个稍微复杂的例子，并说明等值质量的意义。例三如右图，弹簧在静平衡位置长度为，单位长度的质量为，求系统的固有频率。l基本假设假设系统的变形是线性的，即当弹簧下段的位移为的时候，在距离弹簧上端的截面振幅为，假定系统的速度分布也满足线性要求（在端点处显然成立）设质量块的位移为，速度为，0xu0uxlxx弹簧的动能则在距离上端点距离为，长度为的长度微元的动能为：则整个弹簧的动能：udu212sudEduxl220111223lsuTxdulxl总动能质量块的动能：总动能：212mTmx2221111123223smTTTlxmxmlx系统微分方程系统的势能：由：微分方程：固有频率：212Ukx0dTUdt103mlxkx3nklm等值质量称为本系统弹性元件的等值质量3l例四如图所示，悬臂梁的线密度为，端点处有集中质量，求系统的固有频率。静平衡位置m杆刚度的确定由材料力学可知，在静载荷作用下，悬臂梁的挠度为：P3333PlEIkEIl假设截面处的挠度为假定在自由振动中，各点的位移和速度仍然按照此比例。23332lxxl系统的动能梁的动能：质量块的动能：系统总动能：22323013133222140lblxxTydxlyl212mTmy21332140bmTTTlmy系统的方程系统的势能：根据：系统微分方程：固有频率：22311322EIUkyyl0dTUdt33330140EIlmyyl3333140nEIlml结论可见，悬臂梁的质量对振动系统的固有频率的影响相当于在自由端加上梁的等值质量，此值稍小于全梁质量的思考：梁自重造成梁端部的位移，会不会影响本题的精度。33140l14等值刚度弹簧的并联若使刚度为，的两根弹簧的下端都伸长，所需要的力所以，并联弹簧的等值刚度为1k2ks1212Pkskskks12kk推论个弹簧并联后的等值刚度，可用数学归纳法证明。n1niikk弹簧的串联如图所示，两个弹簧串联，在端点处作用力，两个弹簧分别伸长和，则下端点的位移：P11Psk22Psk121211sssPkk串联弹簧的等值刚度121212111Pkkkskkkkn推论，对于个串联弹簧的等值刚度111niikk思考题判断下面的弹簧的串并联情况abcdJJ判断下面的弹簧的串并联情况