用几何画板优化线性规划问题

1用几何画板优化线性规划问题线性规划问题是高中数学重要知识，也是往后学习优化问题的基础。线性规划求最优解问题一般会推广到非线性函数，在线性规划问题中主要有两种类型，一类为目标函数为线性函数，另一类为目标函数为非线性规划。前者为教学重点，后者为教学难点，针对这两大类型利用几何画板辅助并优化教学，演示寻找线性规划最优解问题的动态过程，数形结合，突破教学重难点。1.目标函数为线性函数例1求2zxy的最大值和最小值，使式中的,xy满足约束条件45210370270xyxyxy(1)制作过程①绘制可行域单击【绘图】|【绘制新函数】，绘制函数214,5yx73yx和72yx图像，这三个图像的两交点A,B,C；选中点A,B,C单击【构造】｜【三角形内部】，填充可行域。②绘制目标函数在x轴上任取自由点D，选中点D和x轴，单击【构造】|【垂线】，做出垂线，在垂线上任取点F，选中点F，单击【度量】｜【纵坐标】，比将其标签改为Z,同理，绘制函数,2xyz得到目标函数。效果如图1.图122.目标函数为非线性函数例2设动点坐标(,)xy满足(1)(4)0,,3,xyxyx则22xy的最小值为(1)制作过程①绘制可行域单击【绘图】|【绘制新函数】，绘制函数y=x+1和y=4-x，绘制点A（3,0），过点A做x轴垂线，得到函数x=3.函数x=3分别与函数y=x+1和y=4-x交于点B，C,在函数y=x+1和y=4-x右侧分别取点E，F，选中点B，C，E，F，单击【构造】|【四边形内部】，得到可行域。②绘制目标函数在x轴上任取自由点G，单击【度量】｜【横坐标】，将其标签改为Z，绘制函数2yzx图像，得到上半圆，在半圆任取点H，双击x轴，将x轴标记成镜面，选中点H，单击【变换】|【反射】，得到点H'，选中点H和点H'，单击【构造】|【轨迹】，得到下半圆，两半圆合起则为目标函数22zxy。效果如图2.图2例3实数,xy满足不等式0,4,220,yxyxy11ywx的取值范围。(1)制作过程①绘制可行域3单击【绘图】|【绘制新函数】，绘制函数y=x-4和y=2x-2，分别于x轴交于点A，D，构造线段AD。在函数y=x-4和y=2x-2右侧分别取点G，H，选中点A，D，G，H，单击【构造】|【四边形内部】，得到可行域。②绘制目标函数在x轴上任取自由点E，单击【度量】｜【横坐标】，将其标签改为w，绘制函数y=w(x+1)+1图像,即目标函数.效果如图3.图3小结反思利用几何画板构造参数的功能，如例1，将Z构造成可以改变的参数，左右拖动点Z，观察目标函数在可行域内的变化，直观得到目标函数的最大值与最小值。例2，目标函数22zxy可以看作在可行域内单位圆半径平方的最小值。构造参数z为半径平方，拖动点z，改变圆的半径，动态观察在可行域内，半径的最小值即目标函数的最小值。例3，目标函数可以看作是点(1,1)和可行域内的点(,)xy的斜率的取值范围，构造参数w，上下拖动点w,目标函数的斜率随着改变，可以动态观察点(1,1)和可行域内的点(,)xy的斜率取值情况，可知目标函数的斜率的取值范围为1,2。利用线性规划求解最优解问题，一般涉及线性函数与非线性函数为目标函数的最优解问题。对于目标函数为线性函数的几何意义是将函数看成纵截距的最值问题（最大值或最小值），对于目标函数为非线性函数的几何意义是利用两点间距离公式，或是两点间斜率的范围。