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毕业设计（论文）报告纸共32页第1页┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊第一章引言排队论是起源于二十世纪的一门学问，昀初是丹麦数学家尔兰氏在利用数学方法研究电话作业时所发展出来的一套关于随机过程方面的理论。上世纪九十年Gelenbe提出了负顾客的排队模型。近代排队论应用范围极广，它适用于一切服务系统，简单地来说，排队论所讨论的是一个系统对一个群体提供某种服务时，该群体占用此服务系统时所呈现的状态。排队论(queuingtheory)也称随机服务系统理论。随机服务系统是指对随机发生的需求提供服务的系统。在现实世界中存在很多排队现象，如商店购物、餐馆就餐、轮船进港、病人候诊、银行存取款、机器等待维修、电话等待转接、计算机数据等待处理等。这些现象都具有3个共同特点：（1）有请求服务的人和物，称之为“顾客”。（2）有为顾客提供服务的人和物，称之为“服务台”。（3）顾客到来的时刻及需要服务的时间均是随机的。排队论的主要任务是，建立数学模型描述排队系统的概率规律性，研究诸如顾客平均的排队时间，排队顾客的平均数，服务台平均接待的顾客等数量规律，为系统的昀优设计和昀优控制提供决策依据。本文所模拟的是在带有正负顾客的两阶并联系统的运作情形，即到达的正负顾客中，负顾客的到达不接受服务且抵消一个正顾客，而正顾客需要接受两层服务，在接受完第一层服务台的服务后需要到第二层服务台再接受服务，两层服务完毕后方可离开。利用MATLAB软件对该模型的平均队长进行模拟仿真，得到模拟值，做出结论。┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊毕业设计（论文）报告纸第二章概述2.1排队系统概述2.1.1基本的排队系统1、单服务台的排队系统，其图解表示如图1所示。服务台队列.…顾客到达正在接受服务的顾客服务完离去图1单服务台的排队系统2、多服务台的排队系统，其图解表示如图2、3、4和5所示。服务台1服务台2服务台c队列…顾客到达服务完离去图2多服务台的排队系统服务台1服务台2服务台c顾客到达队列2…队列1…队列c…服务完离去服务完离去图3多服务台的并联排队系统服务台1队列.…顾客到达服务台2队列.…离去图4多服务台的串联排队系统共32页第2页┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊毕业设计（论文）报告纸.的串并排队系统此外，还有串并混合、网络但从决定排队系统进程的主要因素看，它主要由三部分顾客到达服务规则离去图6基本的排队系统1.输入过程是顾客按怎样的规律到达。它首先包括顾客总体数，是有限的还是无限的指服务机构从队列中选取顾客进行服务的顺序。可以分为损失制、等待制果顾客到达排队系统时，所有服务台都已被先来的顾客占用,服务共32页第3页顾客到达图5多服务台等排队系统。2.1.2排队系统的基本组成部分尽管排队系统是各种各样的，组成：输入过程、排队规则和服务机构。输入过程就，其次应说明顾客到达的方式，是成批到达(每批数量是随机的还是确定性的)还是单个到达,昀后应说明相继到达的顾客之间的时间间隔的分布是什么。2.排队规则排队规则是、混合制三大类。(1)损失制：这是指如那么他们就自动离开系统永不再来。典型的例子是，如电话拨号后出现忙音，顾客不愿等待而自动挂断电话，如果再打，就需要重新拨号，这种服务规则成为损失制。(2)等待制：指当顾客来到系统时，所有服务台都不空，顾客加入排队行列等待。等待制中，服务台在选择顾客进行服务时，通常有如下四种规则：1)先到先服务(FCFS)，按顾客到达的先后顺序对顾客进行服务，这是昀普遍的情形。2)后到先服务(LCFS)，仓库中存放的钢材，后存放上去的先被拿走，就属于这种情况。3)随机服务(RAND)，即当服务台空闲时，不按照排队序列而随意指定某个顾客去接受服务，如电话交换台接通呼叫电话就是一例。4)优先权服务(PR)，如老人、儿童先排队机构服务机构窗口2窗口4顾客源窗口1窗口3┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊毕业设计（论文）报告纸进车站；危重病人先就诊；遇到重要数据需要处理计算机立即中断其它数据的处理等，均属于此种服务规则。(3)混合制：这是等待制和损失制相结合的一种服务规则，一般是指允许排队，但又不允许队列无限长下去。具体来说，大致有三种：1)对长有限，当排队等待服务顾客人数超过规定数量时，后来的顾客就自动离去，另求服务。如水库的库容、旅馆的床位等都是有限的。2)等待时间有限，即顾客在系统中的等待时间不超过某一给定的长度T，当等待时间超过T时，顾客自动离开，不再回来。如易损坏的电子元件的库存问题，超过一定库存时间就被自动认为失效。3)逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。不难看出，损失制和等待制可看成是混合制的特殊情形，若记c为系统中服务台的个数，当K=c时，混合制即为损失制，当K=∞时，混合制即成为等待制。3.服务机构服务机构主要是指服务台的数目，多个服务台进行服务时，服务的方式是并联还是串联；服务时间服从什么分布等。2.1.3排队系统的符号表示为了方便描述排队系统，我们通常使用Kendall记号：A/B/C/D/E/F，其含义分别为：A——表示顾客相继到达间隔时间的概率分布B——表示服务时间的概率分布C——表示并列的服务台个数D——表示排队系统中顾客容量限额E——表示顾客源限额F——表示服务规则例如：///MMc∞表示输入过程是Poisson流，服务时间服从负指数分布，系统有c个服务台平行服务(0)，系统容量为无穷，本文所讨论的就是c=2的情形,但有两层服务台。c≤∞2.1.4排队系统的主要数量指标1．队长与等待队长队长是指在系统中的顾客数(包括正在接受服务的顾客)，而等待队长是指系统中排队等待的顾客数，它们都是随机变量，是顾客和服务机构双方都十分关心的数量指标，应确定它们的分布及有关矩(至少是期望平均值)。显然，队长等于等待队长加上正在被服务的顾客数。2．等待时间和逗留时间共32页第4页┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊毕业设计（论文）报告纸顾客的等待时间是指从顾客进入系统的时刻起直到开始接受服务为止这段时间，而逗留时间是顾客在系统的等待时间与服务时间之和，在假定到达与服务是彼此独立的条件下，等待时间与服务时间是相互独立的。等待时间与逗留时间是顾客昀关心的数量指标，应用中关心的是统计平衡下他们的分布及期望平均值。3．系统的闲期与忙期从顾客到达空闲的系统，服务立即开始，知道系统再次变为空闲，这段时间是系统连续繁忙的时间，我们称为系统的忙期，它反映了系统中服务员的工作强度。与忙期对应的是系统的闲期，即系统连续保持空闲的时间长度。在排队系统中，统计平衡下忙期与闲期是交替出现的。而忙期循环是指相邻的两次忙期开始的间隔时间，显然它等于当前的忙期长度与闲期长度之和。2.2几个重要的概率分布2.2.1定长分布（单点分布）定义1设随机变量X以概率1取常数，即a{}PXa1==，则称X服从定长分布。它的概率分布函数为0,,(){}1,.taFtPXtta⎧=≤=⎨≥⎩(1)2.2.2负指数分布定义2随机变量T的分布函数如果是1,()0,0tTetFttλ−⎧0−≥=⎨⎩(2)那么称T服从负指数分布，其密度函数为：(3),0()0,0tTetfttλλ−⎧≥=⎨⎩数学期望、方差、标准差分别为：211(),(),()ETVarTTδ1λλλ===负指数分布有重要的应用，常用它作为各种“寿命”分布的近似。例如，无线电元器件的寿命、动物的寿命、电话问题中的通话时间等。排队论中的服务时间和顾客到达间隔时间都常常假定服从负指数分布。负指数分布有几个重要性质：性质1：当顾客的到达过程是参数为λ的Poisson过程时，则顾客相继到达的间隔时间T必服从负指数分布。共32页第5页┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊毕业设计（论文）报告纸性质2：负指数分布就有“无记忆性”，或者说Markov性，即对任意，有0,0ttΔ{|}{PTttTtPTt+ΔΔ=}.这表明一个顾客到达所需时间与过去一个顾客到达所需时间tΔ无关。性质3：设随机变量相互独立且服从参数分别为12,,,nTTT12,,,nμμμT的负指数分布，令，则随机变量U也服从参数为12min{,,,}nUTT=1niiμ=∑的负指数分布。2.3泊松过程(Poisson流)设为在时间区间[0内到达排队系统的顾客数，令表示在时间区间内有个顾客到达的概率，即：()Nt,)t(0t)12(,)kPtt12[,)tt(0)k≥1221(,){()()}kPttPNtNtk=−=(4)当(1)满足如下三个条件，我们称顾客的到达形成Poisson过程：(ⅰ)无后效性。在内到达k个顾客的概率与时间之前到达的顾客数无关12[,)tt1t(ⅱ)平稳性。对于充分小的tΔ，在时间区间[,)ttt+Δ内有一个顾客到达的概率与t无关，而与时间区间长度有关（成正比），即：tΔ1(,){()()1}()PtttPNttNttotλ+Δ=+Δ−==Δ+Δ(5)其中，0λ为常数，成为概率强度，它表示单位时间内有一个顾客到达的概率。(ⅲ)普通性。在充分小的时间内至多只能有一个顾客到达。也就是说对于充分小的，在时间区间[,内有两个或两个以上顾客到达的概率极小，以至于可以忽略，即：tΔ)ttt+Δ2(,)()kkPtttot∞=+Δ=Δ∑(6)由条件(ⅱ)和(ⅲ)，易得在区间[,)ttt+Δ内没有顾客到达的概率为：01(,)1(,)1()PtttPttttotλ+Δ=−+Δ=−Δ+Δ(7)将时间区间[0分为[0和[,,)tt+Δ,)t)ttt+Δ。若顾客到达数k分别出现在这两个区间上，那么会有三种情况(A)、(B)、(C)，如下页表1所示：共32页第6页┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊毕业设计（论文）报告纸表1泊松过程表[0,)t[,)ttt+Δ[0,)tt+Δ情况顾客到达数概率顾客到达数概率顾客到达数概率（A）k()kPt01(tot)λ−Δ+Δk()(1())kPttotλ−Δ+Δ（B）1k−1()kPt−1()totλΔ+Δk1()(())kPttotλ−Δ+Δ2k−2()kPt−2()otΔk()otΔ（C）00()Ptk()otΔk()otΔ在时间区间[0内到达个顾客应是(A)、(B)、(C)三种情况之一，所以有,)tt+Δk1()()(1)()(kkkPttPttPttot)λλ−+Δ=−Δ+⋅Δ+Δ(8)移项得：1()()()()()kkkkPttPtotPtPtttλλ−+Δ−Δ=−++ΔΔ(9)令，得微分方程：0tΔ→1()()()kkkdPtPtPtdtλλ−=−+(10)加入初始条件：1()()(),1(0)0kkkkdPtPtPtkdtPλλ−⎧=−+⎪⎨⎪=⎩≥(11)当时，不会出现情况(B)、(C)，所以得微分方程0k=000()()(0)1dPtPtdtPλ⎧=−⎪⎨⎪=⎩(12)解微分方程(9)，易得：0()tPteλ−=(13)然后在(8)两边同乘积分因子teλ，并移项得：共32页第7页┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊毕业设计（论文）报告纸11()()()()()tttkkkttkkdPteePtePdtdePtePtdtλλλλλλλλ−−+=⎡⎤=⎣⎦t10()()ttkkePtePdλλωλωω−=∫(14)依次代入得：1,2,,k=当：1k=1000()()tttePtePdeedtλλωλωλωλωωλωλ−==∫∫=1()tPtteλλ−=当：2k=221001()()()2tttePtePdeedtλλωλωλωλωωλλωωλ−===∫∫22()()2!ttPteλλ−=所以：()(),0,0,1,2,!ktktPtetkkλλ−==(15)(