数理统计期末复习题1

2009期末复习题注：这份答案是在2009年最后一晚做出来的，时间比较紧，所以可能有些地方不严谨，有什么错误还请各位多包涵。处理一个问题有很多合理的办法，这份答案所列出的只不过代表个人的想法，仅供参考。这份答案算是送大家的新年礼物吧，预祝大家期末考试顺利，一年都有好运孟帅1.设随机变量X和Y相互独立,且都服从正态分布N(0,32),而921,,,XXX和921,,,YYY分别是来自总体X和Y的样本,则统计量U=292221921YYYXXX服从什么分布？为什么？解：分子分母同除以9得到服从N（0，1），服从X²（9）分布，因此U服从t（9）分布（课本92页）2．某大学来自A,B两市的新生中分别抽取10名和11名男生调查身高，测得他们的身高分别为cmx176，cmy172，样本方差分别为3.1121S，1.922S。不妨设两个城市的男生的身高分别服从正态分布),(21N和),(22N，求21的95％的置信区间,并请在0.05水平下判断两个城市的男生身高是否相等？解：但是未知，构造T=（111页）919211939iiiiXY9119iiX9213iiY222122121211XYSnn=。=10，=11，=11.3，=9.1，=176，=172。代入T表达式得到T=。T服从t（+-2）查附表7得到=2.093得到的置信区间为：（1.088，6.912）这个区间不包含0，可以直接判定在0.05水平下两城市男生身高不相等。如果想严谨一点就在进行假设检验：原假设：两城市男生身高相等；备择：两城市男生身高不等。检验统计量T=，和比较。如果T大于，拒绝原假设，否则接受。3．随机调查了某校200名沙眼患者，经用某种疗法治疗一定时期后治愈168人，试求总体治愈率的95%置信区间。解：样本率p=0.84，用大样本正态近似法求解，置信区间为：（，）（课本115页）S22112212112nSnSnn1n2n21S22SXY1n2n1241.391512219t1211XYSnn219t219t21pppun21pppunn=200，查附表4得=1.96095%置信区间为（0.789，0.891）4.假设从两个总体)1,0(~NX和)1,1(~NY等概率地抽取样本并进行分类，分类过程如下：如果样本值大于96.1则判定为总体Y，否则就判断为总体X，试问：将总体X错判为总体Y的概率是多少？将总体Y错判为总体X的概率是多少？解：P（总体X错判为总体Y）=P（X＞1.96），查附表4，=1.96故P（X＞1.96）=0.025P（总体Y错判为总体X）=P（Y≤1.96）=P（Y-1≤0.96），而Y-1服从N（0，1）查附表3得到Φ（0.96）=0.8315，故P（Y≤1.96）=0.83155.为测定某药的剂量x与血药浓度γ之间的关系，测得如下数据：剂量51015202530血药浓度15.231.746.758.976.982.8求γ关于x的回归方程，并检验方程的显著性(01.0)。解：求回归方程：可以用公式手算，2u2u61622166iiiiiXYXYXXaYX当然，考试时允许用计算器的，把上面的数据直接键入，很快便出结果了。回归方程：检验方程的显著性：原假设：无线性关系；备择：回归效果显著计算统计量，，（课本229-230页）剩下的就是狂按计算器。。F=343.88，查附表8得到=21.2，所以拒绝原假设，方程回归效果显著。当然，用r检验也可以，二者本质上是一样的，在此不再赘述。6．在诱发大白鼠鼻咽癌的试验中,一组用亚硝酸向鼻腔滴注(鼻注组),另一组在鼻注的基础上加维生素B12肌注(鼻注+B12),试验数据如下:发癌鼠数未发癌鼠数鼻注5219鼻注+B12393试问”鼻注”与”鼻注+B12”对大鼠诱发癌的作用是否有关联？用什么方法检验？假如上述数据列表中的第二格的数据变为6，该方2.7763.453x2UFnQ621iiU621iiiQ0.0114F法是否还适用？为什么？解：用X²检验。原假设：无关联；备择：有关联a=52，b=19，c=39，d=3，n=113计算统计量=5.287（课本166页）查附表6得到所以拒绝原假设。数据列表中的第二格的数据变为6，这个时候用X²检验就有点勉强了，四格表的数据画成柱形图时，成对角线斜坡状是最理想的，而此时出现了6和3两个很小的状态，正态性很差，因而不适合。此时应当用精确概率检验：a=52，b=6，c=39，d=3，n=100代入得P=0.244＞0.05，故不拒绝原假设，既无关。7：随机抽取8名健康者的血液，将其的血滤液放置不同时间（0，45m，90m，135m），测定血糖浓度，每个受试者有4个测定值。请问，应该用什么方法分析血糖在不同放置时间的变化？假如要分析各个时间点的差异，应该如何判定？为什么？受试放置时间（分）220.5nadbcnabacbdcd20.0513.841abacbdcdPnabcd者编号014529031354（1）95958983（2）95948884（3）1061059790（4）98979590（5）102989788（6）11211210194（7）1051039788（8）95929080解：时间为单因素，不同时间为不同水平。原假设：；备择：不全相等。=1833.96875，=890.38，=943.59=9.89，F服从于F（3，28）分布查附表8得到=2.95，因此拒绝原假设，即时间对血糖浓度有影响。既然时间对血糖浓度有影响，那么就要进行两两比较，以分析各123448211TijjiSSxxeSSASS41324AeSSFSS0.05328F个时间点的差异。本题中只有四个水平，用单纯的t检验当然是可以的，但不推荐。下面将以Q检验法为例：=101，=99.5，=94.25，=87.125R=max{-}=13.875=5.639==13.929在0.05水平，k=4，f=28下查q表（相当郁闷的是，表里没有28自由度的数据，只好用内插法了）q（4，24）=3.90，q（4，30）=3.84。得到q（4，28）=3.86q=13.929＞q（4，28）因此拒绝原假设。=3.848四个组的均值两两做差，绝对值大于的认为有显著性差异，发现从第二组到第三组就有显著差异了。（注：Q、S检验课本上没有细述，在第八章-方差检验的课件上）8：对一组胃炎病人先后服用两种药物，然后分别测定其最大排酸量（mmol/h），请问，应该用什么方法分析两种药的效果之间的差异。为什么？需要注意什么问题？1x2x3x4xixjx324eeSSS32eRqS443028304244302430qqqq42832TeDqSTD病例甲药乙药病例甲药乙药编号XY编号XY111.518.841214.5612.49212.0510.49139,468.04322.2622.281411.209.4443.111.781516.5314.1252.031.76168.056.6764.613.85174.543.8771.230.91189.227.9382.532.04196.084.9293.962.99208.657.52104.683.922113.9211.931111.769.932210.3614.68解：这是一组配对资料，可以考虑使用配对T检验（课本129页）。采用t检验首要数据考虑的正态性。当然，这一点一般是默许我们使用的。只有当数据波动特别明显是才考虑（第九题就不符合正态性）。配对T检验：设，D服从N（μ，σ²）原假设：μ=0；备择：μ≠0。=3.389t服从于t（22-1）分布。查附表7得到=2.080iiiDXY0.995455039.86114522DtSn0.05221t故拒绝原假设。采用符号检验或者秩检验也可以。例如符号检验，根据原始数据的大小定义+、-号：+、+、-、+、+、+、+、+、+、+、+、+、+、+、+、+、+、+、+、+、+、-。即使不计算也能看出来+太多了。S=min{}=2，在α=0.05，n=22情况下，查附表12得到=5，因而拒绝原假设。9：用两种方法测定同一批人血清样品中的黄体生成素（HCG-CH）含量（mg/L），试分析两法的效果，能否用固相法取代双抗体法。样品编号含量（mg/L）样品编号含量（mg/L）固相法双抗体法固相法双抗体法XYXY11.40.7571700150022.72.782400352034.11.3931003100428.013.7101184016680583.561.0111800016900610576.0121923018320解：这同样是配对资料的分析，但是和上一题不同，本体绝对不可以用T检验。数据的波动太大，要是这样的数据也能当做正态，那这个世界就和谐了。。可以考虑使用符号检验，wilcoxon符号秩检验。nns符号检验法：原假设：两种方法效果相同；备择：不相同。差值标记：+、0、+、+、+、+、+、-、0、-、+、+。差值为零的不计入。S=2，n=10，α=0.05。查附表12得到=1，S＞，所以接受原假设。符号秩检验：差值绝对值序列：0.65、2.8、14.3、22.5、29、200、910、1100、（-）1120、（-）4840对应的秩为1到10=1+2+3+4+5+6+7+8=36，=9+10=19T=19根据n=10，α=0.05查附表13得到=8，T＞，因而接受原假设。10：两组大鼠，一组为药物组、另一为空白对照组。两组大鼠在4个不同级别的压力(分别是20、40、60、80mmHg)下测量数据，所得数据为在不同压力作用下测量的计量资料(一只大鼠同时有四个不同的数据)。现要对两组大鼠的测量数据进行统计分析比较，以了解药物对不同压力下测量的数据有无影响。请问采用哪种统计分析方法？解：上课的时候老师说过10题和11题仅仅是提醒我们处理数据时要注意同质性原则，统计方法不作要求。老师给的方法是根据数据求出压力与数据的回归，来消除压力对ssTTTT于数据的影响，从而转化成用药与不用药的单因素分析。课本上讲到双因素方差分析时，有一种方法叫做“等重复双因素方差分析”，适用于这类问题，不过很繁琐，简单了解一下吧。11：假设测了一个细胞株在几个不同处理因素下的A指标，每组重复测量6次取均值。然后又测了这几个处理因素下的B指标，同样每组重复测量6次取均值。因为A指标受B指标的干扰，所以，要排除B的影响，最好比较A与B的比值。问题是，两者均数都算出来了，比值就只有一个，如何统计分析呢？是不是可以这么做：假设A指标检测结果是A1～A6，B指标检测结果是B1～B6,然后用A1/mean(B1+......+B6)，A2/mean(B1+.......+B6),A3/(B1+…+B6)依此类推，得到6个比值后，再用方差分析进行各处理组间的比较？解:这一题很让人费解啊，既然A受B的影响，那A1，A2……A6同时除以一个相同的数能有啥作用呢。当然，如果B指标的微小波动就会对A产生显著影响的情况下是可行的。我向一些高人请教，他们多数认为直接平均带来的误差太大，建议使用校正平均。我就简介一下这种做法：首先，既然可以通过比值来消除干扰，那么A和B就应该有很好的同向性，即B大A也大，这样A/B才能相对稳定，才符合重复试验的特征（也许有人会提出，把A和B大小排序，对应相除。咋一听是很让人兴奋地，不过请不要忘了，