高中数学圆锥曲线经典题型.doc

1高中数学圆锥曲线经典题型椭圆一、选择题：1.已知椭圆方程22143xy,双曲线22221(0,0)xyabab的焦点是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.32．双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为12,ll，点P在第一象限内且在1l上，若2l⊥PF1，2l//PF2，则双曲线的离心率是（）A．5B．2C．3D．2【答案】B【解析】双曲线的左焦点1(,0)Fc，右焦点2(,0)Fc，渐近线1:blyxa，2:blyxa，因为点P在第一象限内且在1l上，所以设000(,),0Pxyx，因为2l⊥PF1，2l//PF2，所以12PFPF，即1212OPFFc，即22200xyc，又00byxa，代入得22200()bxxca，解得00,xayb，即(,)Pab。所以1PFbkac，2l的斜率为ba，因为2l⊥PF1，所以()1bbaca，即2222()baacaacca，所以2220caca，所以220ee，解得2e，所以双曲线的离心率2e，所以选B.3．已知双曲线0,012222babyax的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线xy342的焦点重合，则该双曲线的离心率等于A．2B．3C．2D．2324.抛物线24yx上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是A.78B.1516C.34D.05.抛物线212yx的准线与双曲线22193xy的两渐近线围成的三角形的面积为A.3B.23C.2D.33【答案】D【解析】抛物线212yx的准线为3x，双曲线22193xy的两渐近线为33yx和33yx，令3x，分别解得123,3yy，所以三角形的低为3(3)23，高为3，所以三角形的面积为1233332，选D.6.过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于BA,两点,它们到直线2x的距离之和等于5,则这样的直线A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在37.已知双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线均与22:650Cxyx相切，则该双曲线离心率等于A．355B．62C．32D．558.已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别为)0,(),0,21cFcF（，若椭圆上存在点P使1221sinsinFPFcFPFa，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A.（0，）12B.（122，）C.（0，22）D.（12，1）49.过椭圆22221xyab(0ab)的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若1260FPF，则椭圆的离心率为（）A．22B．33C．12D．13二、填空题：10.若圆C以抛物线24yx的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆的标准方程是；511.设F是抛物线C1：24yx的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：22221(0,0)xyabab＞＞的一条渐近线的一个公共点，且AFx轴，则双曲线的离心率为【答案】5【解析】抛物线的焦点为(1,0)F.双曲线的渐近线为byxa，不妨取byxa，因为AFx，所以1Ax，所以2Ay，不妨取(1,2)A，又因为点(1,2)A也在byxa上，所以2ba，即2ba，所以22224baca，即225ca，所以25e，即5e，所以双曲线的离心率为5。12.已知双曲线的方程为221169xy，则双曲线的离心率是.13.若焦点在x轴上的椭圆1222myx的离心率为21，则m=.【答案】23【解析】因为焦点在x轴上。所以02m，所以222222,,2abmcabm。椭圆的离心率为12e，所以2221242cmea，解得32m。14.已知点P是抛物线24yx上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是（4，a），则当||4a时，||||PAPM的最小值是。6三、解答题：15.(本小题满分13分)已知椭圆22221(0)xyabab过点0,1,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N,各点均不重合且满足12,PMMQPNNQ（1）求椭圆的标准方程；（2）若123，试证明：直线l过定点并求此定点.7(2)由题意设),(),,(),0,(),,0(22110yxNyxMxQmP，设l方程为)(mytx，由MQPM1知),(),(110111yxxmyx∴111ymy，由题意01，∴111ym-----------------7分同理由2PNNQ知221my∵321，∴0)(2121yymyy（*）------8分联立)(3322mytxyx得032)3(22222mtymtyt∴需0)3)(3(4422242mtttm（**）且有33,32222212221tmtyytmtyy（***）-------10分（***）代入（*）得023222mtmmt，∴1)(2mt，由题意0mt，∴1mt(满足（**）)，----12分得l方程为1tyx,过定点(1,0),即P为定点.---------------13分16.（本大题满分13分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线60xy相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点。（1）求椭圆C的方程；（2）求OBOA的取值范围；（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点。(2)解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为(4)ykx8由22(4)143ykxyx得：2222(43)3264120kxkxk4分由2222(32)4(43)(6412)0kkk得：214k设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则221212223264124343kkxxxxkk，①6分∴22212121212(4)(4)4()16yykxkxkxxkxxk17．若椭圆1E:2222111xyab和椭圆2E:2222221xyab满足2211(0)abmmab,则称这两个椭圆相似，m是相似比.(Ⅰ)求过(2,6)且与椭圆22142xy相似的椭圆的方程；(Ⅱ)设过原点的一条射线l分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于A、B点（点A在线段OB上）.①若P是线段AB上的一点，若OA，OP，OB成等比数列，求P点的轨迹方程;②求OAOB的最大值和最小值.9(Ⅱ)①当射线l的斜率不存在时(0,2),(0,22)AB,设点P坐标P(0,0)y,则204y,02y.即P(0,2).………………5分当射线l的斜率存在时，设其方程ykx,P(,)xy由11(,)Axy,22(,)Bxy则112211142ykxxy得2122212412412xkkyk2221||12kOAk同理2241||12kOBk………………………7分又点P在l上，则ykx，且由2222222222228(1)8(1)8()12212ykxyxxyykxyx,即所求方程是22184xy.又(0,2)适合方程,故所求椭圆的方程是22184xy.………………9分②由①可知,当l的斜率不存在时，||||2224OAOB,当l的斜率存在时,2228(1)4||||41212kOAOBkk,104||||8OAOB,………………11分综上,||||OAOB的最大值是8,最小值是4.………………12分18.（本小题满分12分）已知长方形ABCD，22AB，BC=1。以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy.（Ⅰ）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点P（0，2）的直线l交（Ⅰ）中椭圆于M，N两点，是否存在直线l，使得弦MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。（Ⅱ）由题意直线的斜率存在，可设直线l的方程为)0(2kkxy.设M，N两点的坐标分别为),(),,(2211yxyx.联立方程：42222yxkxy消去y整理得，048)21(22kxxk有221221214,218kxxkkxx………………7分11若以MN为直径的圆恰好过原点，则ONOM，所以02121yyxx，…………8分所以，0)2)(2(2121kxkxxx，即04)(2)121212xxkxxk（所以，04211621)1(42222kkkk即0214822kk，……………………9分得2,22kk.……………………10分所以直线l的方程为22xy，或22xy.………………11分所在存在过P（0，2）的直线l：22xy使得以弦MN为直径的圆恰好过原点。…12分19.（本小题满分12分）如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A。（1）求实数b的值；（11）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【解析】（I）由24yxbxy得2440xxb()因为直线l与抛物线C相切,所以2(4)4(4)0b,解得1b………………4分12双曲线题组一双曲线的定义及标准方程1.(2010·汕头一模)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为()A．x2－y2＝1B．x2－y2＝2C．x2－y2＝2D．x2－y2＝12解析：由题意，设双曲线方程为x2a2－y2a2＝1(a0)，则c＝2a，渐近线y＝x，∴|2a|2＝2，∴a2＝2.∴双曲线方程为x2－y2＝2.答案：B2．已知双曲线的两个焦点为F1(－10，0)、F2(10，0)，M是此双曲线上的一点，且满足1MF·2MF＝0，|1MF|·|2MF|＝2，则该双曲线的方程是()A.x29－y2＝1B．x2－y29＝1C.x23－y27＝1D.x27－y23＝1解析：∵1MF·2MF＝0，∴1MF⊥2MF，∴MF1⊥MF2，∴|MF1|2＋|MF2|2＝40，∴(|MF1|－|MF2|)2＝|MF1|2－2|MF1|·|MF2|＋|MF2|2＝40－2×2＝36，∴||MF1|－|MF2||＝6＝2a，a＝3，又c＝10，∴b2＝c2－a2＝1，∴双曲线方程为x29－y2＝1.答案：A题组二双曲线的几何性质3.(2009·宁夏、海南高考)双曲线x24－y212＝1的焦点到渐近线的距离为()A．23B．2C.3D．1解析：双曲线x24－y212＝1的焦点为(4,0)或(－4,0)．渐近线方程为y＝3x或y＝－3x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d＝|43＋0|3＋1＝23.答案：A134．(2010·普宁模拟)已知离心率为e的曲线x2a2－y27＝1，其右焦点与抛物线y2＝16x的焦点重合，则e的值为()A.34B.42323C.43D.234解析：抛物线焦点坐标为(4,0)，则a2＋7＝16，∴a2＝9，∴e＝ca＝43.答案：C5．(2009·江西高考)设F1和F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为()A.32B．2C.52D．3解析：|PO||F1O|＝tan60°，2b