简单的逻辑连接词

在数学中常常要使用逻辑联结词“或”、“且”、“非”，它们与日常生活中这些词语所表达的含义和用法是不尽相同的，下面我们就分别介绍数学中使用联结词“或”、“且”、“非”联结命题时的含义与用法。为了叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，…表示命题。一般的，用逻辑联结词“且”把命题p和q连接起来，就得到一个新命题，读作“p且q”，记作p∧q.思考下面三个命题间有什么关系？（1）12能被3整除；（2）12能被4整除；（3）12能被3整除能被4整除。且且注：逻辑联结词“且”与日常用语中的“并且”、“及”、“和”相当；在日常用语中常用“且”连接两个语句。表明前后两者同时兼有，同时满足.1.3.1且（and）命题(3)是由命题(1)(2)使用联结词“且”联结得到的新命题.例1将下列命题用“且”联结成新命题（1）p:平行四边形的对角线互相平分，q:平行四边形的对角线相等；（2）p:菱形的对角线互相垂直，q:菱形的对角线互相平分；（3）p:35是15的倍数，q:35是7的倍数。解：p∧q:平行四边形的对角线互相平分且相等。解：p∧q:菱形的对角线互相垂直且平分。解：p∧q:35是15的倍数且是7的倍数。1：命题p:函数是奇函数；命题q:函数在定义域内是增函数；命题p∧q:函数是奇函数且在定义域内是增函数。3yx3yx3yx2：命题p:三角形三条中线相等；命题q：三角形三条中线交于一点；命题p∧q：三角形三条中线相等且交于一点。3：命题p:相似三角形的面积相等；命题q：相似三角形的周长相等；命题p∧q：相似三角形的面积相等且周长相等。真假练习：判断下列命题的真假。真真假假真假假填空：一般地，我们规定:当p，q都是真命题时，p∧q是；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是.一句话概括：全真为真,一假必假.真命题假命题命题p∧q的真假判断方法：pqp∧q真真真假假真假假假假假真探究：逻辑联结词“且”的含义与集合中学过的哪个概念的意义相同呢？对“且”的理解，可联想到集合中“交集”的概念．A∩B=｛x︱x∈A且x∈B｝中的“且”，是指“x∈A”、“x∈B”这两个条件都要满足的意思活动探究符号“∧”与“∩”开口都是向下我们可以从串联电路理解联结词“且”的含义。若开关p,q的闭合与断开分别对应命题p,q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p∧q的真与假。pqspq全真为真,一假必假.例1将下列命题用“且”联结成新命题，并判断它们的真假。（1）p:平行四边形的对角线互相平分，q:平行四边形的对角线相等；（2）p:菱形的对角线互相垂直，q:菱形的对角线互相平分；（3）p:35是15的倍数，q:35是7的倍数。解：p∧q:平行四边形的对角线互相平分且相等。解：p∧q:菱形的对角线互相垂直且平分。解：p∧q:35是15的倍数且是7的倍数。假命题假命题真命题例2用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断它们的真假：（1）1是奇数，是素数；（2）23都是素数。既又和解：1是奇数且1是素数是假命题解：2是素数且3是素数是真命题思考下列三个命题间有什么关系？（1）27是7的倍数；（2）27是9的倍数；（3）27是7的倍数是9的倍数。或一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题，读作“p或q”，记作p∨q。1.3.2或(or)命题(3)是由命题(1)(2)使用联结词“或”联结得到的新命题.4：命题p:函数是奇函数；命题q:函数在定义域内是减函数；3yx3yx6：命题p:三边对应成比例的两个三角形相似；命题q：三角对应相等的两个三角形相似；5：命题p:相似三角形的面积相等；命题q：相似三角形的周长相等；真假真假假假真真真命题p∨q:函数是奇函数或在定义域内是减函数。3yx命题p∨q：相似三角形的面积相等或周长相等。命题p∨q:三边对应成比例或三角对应相等的两个三角形相似练习.用逻辑联结词“或”改写下列命题，并判断它们的真假：一般地，我们规定:当p，q两个命题中有个命题是真命题时,p∨q是命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是命题.一真必真,全假为假.一真假命题p∨q的真假判断方法：pqp∨q真真真假假真假假假真真真一句话概括：探究：逻辑联结词“或”的含义与集合中学过的哪个概念的意义相同呢？对“或”的理解，可联想到集合中“并集”的概念．A∪B=｛x︱x∈A或x∈B｝中的“或”，它是指“x∈A”、“x∈B”中至少一个是成立的，即x∈A且xB；也可以xA且x∈B；也可以x∈A且x∈B．活动探究符号“∨”与“∪”开口都是向上我们可以从并联电路理解联结词“或”的含义。若开关p,q的闭合与断开分别对应命题p,q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p∨q的真与假。pqs一真必真,全假为假.例3：判断下列命题的真假：（1）2≤2；（2）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；（3）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.解：（1）p：2=2；q：22∵p是真命题，∴p∨q是真命题.（3）p：周长相等的两个三角形全等；q：面积相等的两个三角形全等.∵命题p、q都是假命题，∴p∨q是假命题.（2）p：集合A是A∩B的子集；q：集合A是A∪B的子集∵q是真命题，∴p∨q是真命题.例4已知命题p：能被5整除的整数的个位数一定为5；命题q：能被5整除的整数的个位数一定为0，则p∨q:_______________有些同学把命题p∨q表述为：“能被5整除的整数的个位数一定为5或0”，这是不对的。这一点可以从命题的真假性方面判断出来：命题p、q都是假命题，所以命题p∨q也是假命题，而命题“能被5整除的整数的个位数一定为5或0”是一个真命题。事实上，命题p∨q正确的表述为：“能被5整除的整数的个位数一定为5或一定为0”。p∧q是.pqp∧qp∨q真真真真真假假真假真假真假假假假判断复合命题真假的步骤：⑴把复合命题写成两个简单命题，并确定复合命题的构成形式；⑵判断简单命题的真假；⑶利用真值表判断复合命题的真假。如果p∧q为真命题,那么p∨q一定是真命题吗?反之,如果p∨q为真命题,那么p∧q一定是真命题吗?总结思考p∧q为真命题p∨q是真命题p∨q是真命题p∧q为真命题例5：设p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负根,q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p或q为真,p且q为假,求m的取值范围.解：若方程x2+mx+1=0有两个不等的负根0m04mΔ则22即p:m2若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根则∆=16(m-2)2-160,即1m33m1:p或q为真,则p,q至少一个为真,又p且q为假,则p,q至少一个为假p,q一真一假,p真q假或者p假q真3或m1,m2m3m12m或2m3或1m练习.设命题p:实数x满足,命题q：实数x满足，若p且q为真，则实数x的取值范围为.2430xx13x260xx一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作p读作“非p”或“p的否定”若p是真命题,则¬p必是假命题;若p是假命题,则¬p必是真命题.pp3、“非”（not）例6写出下列命题的否定，并判断它们的真假：(1)p:y=sinx是周期函数;(2)p:32;(3)p:空集是集合A的子集.解:(1)¬p:y=sinx不是周期函数.命题p是真命题,¬p是假命题.(2)¬p:3≥2.命题p是假命题，¬p是真命题.(3)¬p:空集不是集合A的子集.命题p是真命题，¬p是假命题.命题的否定须注意的几个方面:(1)“≥”的意义是“＞或＝”．(2)“非”命题对常见的几个正面词语的否定.或=是都是至多有一个至少有一个任意的所有的且≠≤不是不都是至少有两个没有一个某个某些命题的否定与否命题写出下列命题的否定形式和否命题（1）若abc=0,则abc中至少有一个为0.（2）等腰三角形有两个内角相等。（3）自然数的平方是正数。1.命题“方程的解是”中，使用逻辑词的情况是（）A.没有使用逻辑联结词B.使用了逻辑联结词“或”C.使用了逻辑联结词“且”D.使用了逻辑联结词“或”与“且”1x1xB练习2.在下列命题中（1）命题“不等式没有实数解”；（2）命题“－1是偶数或奇数”；（3）命题“既属于集合，也属于集合”；（4）命题“”其中，真命题为_____________.0|2|x2BAAUQR（2）（4）3.命题p：“不等式的解集为”；命题q：“不等式的解集为”，则（）A．p真q假B．p假q真C．命题“p且q”为真D．命题“p或q”为假01xx}10|{xxx或42x}2|{xxD4.在一次模拟射击游戏中，小李连续射击了两次，设命题p：“第一次射击中靶”，命题q：“第二次射击中靶”，试用，p、q及逻辑联结词“或”“且”“非”表示下列命题：（1）两次射击均中靶；（2）两次射击至少有一次中靶.p∧qp∨q小结1.数学上，“且”与“或”叫做逻辑联结词，不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题称为复合命题.2.若p∧q为真，则p∨q为真，反之不成立.