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概率论与数理统计模拟试题一一、填空题（每题4分，解题步骤仅供参考，考试时直接写结果即可）1.若，，是三事件，且，，，那么，，都发生的概率为，而三件事件中至少有一个发生的概率为。【参考答案】：2.若，，是三事件，事件，，中不多于两个发生的情况用，，的运算关系表示为或。【参考答案】:或3.一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，那么在同一时刻，恰有2个设备被使用的概率是。【参考答案】：=0.07294.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球。以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数。求。【参考答案】：5.设随机变量的概率密度为，常数k应取值为。【参考答案】：由，得6.泊松分布的分布律为，其期望值为，方差值为。【参考答案】期望值为，方差值为7.设随机变量的概率密度为，那么。【参考答案】：8.设总体是来自的样本，那么。【参考答案】：9.随机取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002那么总体均值的矩估计值=。【参考答案】：10.设总体是来自X的样本，那么。【参考答案】因为，故有1.若和是两事件，且，，那么满足的条件下取到最大值，最大值为。【参考答案】：；0.62.若，，是三事件，事件，，中不多于一个发生的情况用，，的运算关系表示为或。【参考答案】:或或或3.一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，那么在同一时刻，至少有3个设备被使用的概率是。【参考答案】：=0.008564.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球。以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数。求。【参考答案】：5.设随机变量的概率密度为，那么。【参考答案】：由6.正态分布的密度函数为，其期望值为，方差值为。【参考答案】期望值为，方差值为6.设随机变量的概率密度为，那么。【参考答案】：8.设总体是来自的样本，那么。【参考答案】：9.随机取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002那么方差矩估计值=。【参考答案】10.设总体是来自X的样本，那么。【参考答案】因为，故有7.若和是两事件，且，，那么满足的条件下取到最小值，最小值为。【参考答案】：；0.38.若，，是三事件，事件，，中至少有两个发生的情况用，，的运算关系表示为或。【参考答案】:或9.一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，那么在同一时刻，至多有3个设备被使用的概率是。【参考答案】：10.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球。以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数。求。【参考答案】：5.设随机变量的概率密度为，那么。【参考答案】：6.均匀分布的密度函数为，其期望值为，方差值为。【参考答案】期望值为，方差值为7.设随机变量的概率密度为，那么。【参考答案】：8.设总体是来自的样本，那么。【参考答案】：9.随机取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002那么样本方差=。【参考答案】10.设总体是来自X的样本，那么。【参考答案】因为，故有二、简答题（每题10分，答案仅供参考，考试时只写结果不写步骤不得分）1.一个学生连续参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为，若第一次及格则第二次及格的概率也为；若第一次不及格则第二次及格的概率为。如果至少有一次及格则他能够取得某种资格，求他取得该资格的概率。【参考答案】假设E表示事件“一学生连续参加一门课程的两次考试”表示事件“第次考试及格”，A表示“他能取得某种资格”依题意，因为，且有已知条件：故2.设K在（0，5）服从均匀分布，求的方程有实根的概率。【参考答案】的二次方程有实根的充要条件是它的判别式即解得由假设K在区间（0,5）上服从均匀分布，其概率密度为故这一二次方程有实根的概率为3.设二维随机变量（X,Y）的概率密度为求边缘概率密度。【参考答案】（X,Y）的概率密度在区域外取零值。如图有4.设随机变量(X,Y)具有概率密度为，求【参考答案】只在区域上不为零。故有1xyy=xxyy=x1-1y=-x5.求总体的容量分别为10,15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。【参考答案】将总体的容量分别为10和15的两独立样本的均值分别记作，则，从而即故所求概率为6.设总体X具有分布律其中为未知参数。已知取得了样本值。试求的矩估计值和最大似然估计值。【参考答案】（1）解得因此得的矩估计值为这里()=()=，所以的矩估计值为（2）由给定的样本值，得似然函数为那么ln令得的最大似然估计值为1.一个学生连续参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为，若第一次及格则第二次及格的概率也为；若第一次不及格则第二次及格的概率为。如果已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。【参考答案】假设E表示事件“一学生连续参加一门课程的两次考试”表示事件“第次考试及格”，A表示“他能取得某种资格”依题意要求的是)，已知条件：故2.设某一河流每年的最高洪水水位（单位：米）X的概率密度为今要修建能防御百年一遇洪水（即）的河堤，问：河堤应修多高（河堤高度起点和洪水水位起点相同）【参考答案】设河堤高度为，则应有，由所以河堤应修10米高。3.设随机变量（X,Y）的概率密度为(1)试确定常数；(2)求边缘概率密度。【参考答案】(1)由得：(2)4.设X为随机变量，C是常数，证明。（提示：因为）上式表明当时取到最小值。）【参考答案】等号仅当时成立。5.在总体中随机抽一容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率。【参考答案】，因为总体，所以，故6.设总体X具有分布律其中为未知参数。已知取得了样本值。试求的矩估计值和最大似然估计值。【参考答案】（1）解得因此得的矩估计值为这里()=()=，所以的矩估计值为（2）由给定的样本值，得似然函数为那么ln令得的最大似然估计值为7.根据资料表明，某一个三口之家，患某种传染病的概率有以下规律：求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。【参考答案】：假设A表示事件“孩子得病”B表示事件“母亲得病”C表示事件“父亲得病”按题意要求的是已知由乘法定理：8.随机变量X的概率密度函数为，求：(1)的值；（2）；(3)【参考答案】（1）根据得(2）当时，当时，当时，故（3）9.设随机变量（X,Y）的概率密度为求条件概率密度。【参考答案】如图当时当时xyy=x1-1y=-x也可写成因此当时，当时，10.设长方形的高（以m计）X~U(0,2)，已知长方形的周长（以m计）为20。求长方形面积A的数学期望和方差。【参考答案】长方形的高为X，周长为20，所以它的面积A为X~U(0,2)，X的概率密度为所以11.已知，求证：【参考答案】因为，故可写成的形式，其中，且Z和Y相互独立。于是在中，且和相互独立，按分布的定义知12.设总体X具有分布律其中为未知参数。已知取得了样本值。试求的矩估计值和最大似然估计值。【参考答案】（1）解得因此得的矩估计值为这里()=()=，所以的矩估计值为（2）由给定的样本值，得似然函数为那么ln令得的最大似然估计值为