相似理论

第五部分相似理论一、相似概念二、相似第一定理三、相似第二定理四、相似第三定理2按科学研究是研究量与量间的规律性。方法首先有数学方法用此工具分析被研究对象建立微分方程式，给出边界条件求出量间的规律。虽是强有力的方法，但对复杂的对象常需简化后歪曲实际带来误差。有时对复杂的对象即使建立了微分方程也无法解出，有时甚至难以建立相应的微分方程。这时常采用另一种方法直接实验法对被研究对象直接进行实验，以求出量间的规律是常用的有效方法。此法有局限性，实验结果只适用和实验条件完全相同的对象上，对重要的、大型的、复杂的设备常要求在设计制造之前。研究掌握它的某些量间的规律这时直接实验法就将受到限制，由于实验条件的限制，对研究对象进行直接实验是相当困难的，这时另一种实验研究方法模型实验方法（极为有效的方法）3模型实验方法是以相似理论为根据，建立模型。通过模型实验得到某些量间的规律然后在推广到实验对象上。特点：由于运用相似的原理和采用模型，实验结果可以推广应用到与之相似的所有对象，并能研究直接实验无法进行的对象及在装备设计制造前要求研究的对象。相似理论是近百年来科学中的一个新领域。以相似理论为基础的模型实验方法。已在固体力学、流体力学、热学及电磁学等领域得到广泛的应用。相似理论是探明大型复杂设备、复杂物理化学过程内部规律的有力手段。掌握初步的相似理论知识已成为其实验研究能力的必要组成部分。4一、相似概念两个相似现象其参数互成比例。（1）几何相似几何学中相似图形就是几何相似就是空间相似，如三角形相似，两三角形对应的边长互成比例，且比例相等。'''312123llllClll5（2）时间相似是指对应的时间间隔互成一定的比例。（3）力相似(动力相似)是两个系统中，在对应点和对应时刻，所受的力或成一定的比例。如a物，b物各点受力F，动力相似：maFmbaCmmabaCaaFbbaabaCamamFF..amFCCC静力相似：FbabaCFFFF22111212....aaantbbbntllClll6（4）应力相似所谓应力相似(应力场相似)，是两个系统中，在对应的时刻，对应点上应力方向一致而大小互成一定的比例。或者说是应力场的几何相似，即FbababaC552211(a物体，b物体各点应力）此外，还有温度场相似、速度场相似、压力场相似、电磁场相似等。这些都是基场的几何相似。可见：相似的现象→自然发生在空间和时间相似的系统中。7二、相似第一定理(也可称相似正定理)定理告诉我们：凡彼此相似的想象都具有什么样的性质？相似第一定律：凡彼此相似的现象，必定具有数值相同的相似准则。或者说：两相似现象必有相同的相似准则。举例说明：以简单的相似三角形为例。两个三角形相似：对应边长必互成比例，且比值相等。即133312221111CllCllCllbababa131211CCC13C11C12C称为相似倍数。同一三角形两边之比→在相似三角形间具有什么特点？同一三角形某两边之比间数值都相同的这一比例称之为相似准则。由此可知：凡彼此相似的三角代入，。或8相似准则：把在各相似三角形形，必定具有数值相同的相似准则。相似三角形的相似准则→就是同一三角形的某两个边长之比。此外，同一三角形的两边长之比有三个，如：12aall13aall23aall==其中独立只有两个所以，相似三角形的相似准则有两个。相似准则给我们带来方便，如三角形A的边相当高，不能直接量出高度，已知三角形B与A相似，可以用三角形B求出相似准则（相似三角形中相似准则数值相同）如，三角形A中，B中的结果可推广到A，以及与B相似的一切三角形。举例以运动相似为例加以说明运动相似是两个系统中对应点在对应时刻速度互成一定比例。任何系统运动的瞬时速度都可用微分方程描述。，在A系统中方为：，在B系统中方程为由于两个系统相似，则各个对应量互成比例9即：相似倍数转换形成→更明确表示，，，，即所以，称为相似指标，标志两个运动系统是否相似。进一步转换是相互联系的。，整理后得，称为相似准则（综合量）。带来方便，在模型系统中测量三个量，从而获得相似准则，然后推广到原型中→得到原型中三者之间的关系。10再举动力相似为例由相似概念知：动力相似是两个系统在对应点和对应时刻，所受的力互成一定的比例。由牛顿第二定律：任何物体受力运动必须如下微分方程aaaabbbbdvAFmdtdvFmdvdtBFmdt在系统中方程为在系统中方程为由于两个系统相似，则各个对应量互成比例。bFaFCFbmamCmbvavCvbtatCt111FtmvCCCC进行相似转换：得到相似准则称为牛顿准则。结论：凡彼此相似的受力运动，必定具有数值相同的相似准则（牛顿准则Ne）特点：12三、相似第二定理。（相似逆定理）解决的问题：满足什么条件，现象才能相似。也就是模型实验必须遵守哪些条件，模型中所出现的现象才能与实物（原型）中的现象相似。相似第二定理：凡具有同一特性的现象，当单值条件彼此相似，且由单值条件的物理量所组成的相似准则在数值上相等，则这些现象必定相似。简要说明：以简单的三角形为例,两三角形，如果具有对应的边长互成比例，且比值相等的条件，即：1111Cllab1222Cllab1333Cllab131211CCC由几何相似知，两个三角形必定相似。现已知两个三角形的相似准则数值相等，则这两个三角形必定相似。2121112121aabbaalClCllll1211CC133132123232aabbaalClCllll1312CC131211CCC三角形的相似准则数值相等是三角形相似的充分而必要的条件。具有这一条件的两个三角形必相似。对应的高成比例且比值相等，对应的角相等。再以运动为例：当已知两个运动的相似准则数值相等，即：bbbaaaltwltw则1ltwabababCCCllttww设一运动方程：bbbdtdlw，对应是labClltabCttwabCww代入得：atalawtCdlCdWCaaalwtdtdlWCCCaaadtdlW即14所以当时，表明两个运动能用文字上完全相同的方程表示。若这两个运动的单值条件相似，则得到的解也是互为相似的，即这两个运动是彼此相似的运动。综上所述，可得相似第二定理所述的结论：凡具有同一特性的现象，当单值条件彼此相似，且由单值条件的物理量所组成的相似准则在数值相等时，则这些现象必定相似。这是做模型实验必须遵守的条件或法则，也称模型法。四、相似第三定理。（也称定理）定理告诉我们如何整理实验结果。使在模型上所得到的这一实验结果能推广到与之相似的实验上去。相似第三定理：当一现象由几个物理量的函数关系来表示，且这些物理量中含有m种基本量纲时，则能得到（n-m）个相似准则，描述这现象的函数关系式，可表示成（n-m）个相似准则间的函数关系式。15（一）量纲的概念长度单位可用“米”，“厘米”等都属是长度，以[L]表示；时间的单位可用“秒”，“小时”等都是时间，以[T]表示；力的单位可用“达因”、“牛顿”都属力，用[F]表示。质量[M]。量纲：这样一些由物理量单位按其种类抽象的量，称之为量纲，比如速度的量纲是由速度与长度、时间的关系式：，决定为[]，在方程中作为独立变数，可以直接测量的量，称为基本量。由、决定的量称为导出量，由速度的量纲[]可见，它明确地表示导出量和基本量纲、间的关系。量纲能反映表征现象的物理量间的关系。取力、长度和时间作为基本量这种单位制称工程单位制。在物理中取质量、长度和时间作为基本量称为绝对单位制。量纲齐次原则（即固次和谐），物理方程式中，各项的量纲必须相同，因为不同量纲的物理量是不能相加减的。这是任何完善正确的物理方程式所必然具备的性质。16LFTM/22/TMLF机械量纲表L、F、T长度力F面积力矩FL体积应力截面模量质量惯性矩密度速度比重加速度刚度角速度阻尼系数角加速度转动惯量角度1功FL应变1功率频率运动粘度动力粘度17(二)对相似第三定理举例说明如图，有一质量，仅受一个弹性恢复力作用而运动，对这一运动进行分析可知：该物理现象中用下列物理量表征：速度v，加速度a，质量m，位移x，时间t，和引起恢复力的弹性元件的刚性系数k。描述这一物理现象规律的方程式：....①，这一函数可以展开为如下形式的幂级数：0222222111111fnendncnbnanfedcbafedcbakatxmNkatxmBkatxmA....②根据物理方程式→量纲齐次原则，这一级数的各项量纲必都相同，用级数中任意一项将上列级数逐项除一下，那么级数→转换为由无量纲组成的形式：1801111111121212121212ffeeddccbbaaffeeddccbbaannnnnnkatxmANkatxmAB....③式中每个无量纲的项→都称为项。一般项可写成如下形式：katxm若设法能知道的各种可能取到的数值，则③式中各项的具体形式便可知。利用项无量纲的特性，对项中各物理量的量纲进行分析：12121FLLTTLLFTLT...⑤...④22TLF...⑥⑥式为量纲等价式。因项无量纲，则式中各量纲等价项的指数必为零。19由此得到下列联立线性方程组为：02200...⑦式中，这里有三个方程式，而却有6个未知数，为求出它们的值，必须先对三个未知数给出三个数值→然后用三个方程式解出另外三个未知数。22...⑧，解出，代入④式可确定出一个项→(第一项)，。再给定，，解出确定第二个项→项，。给定。，解出确定第三个项，。根据⑧给定20表试算项试算次数10-10201210-1100300-12104101-3-205011-4-1-16-3-121117-3011208-1-0.51000.5..................21从表中可以看出：物理量仅出现在中，仅出现在中，仅出现在中，由此得出结论→，，是三个独立的项→而所有其它可能的项都能用这三项适当组合而得，都与这三项相关。例如：5311422aktmxatxktm821mkxtxmkt.....此例独立的项数为三个，由上面分析知，方程组⑧右端三种未知数分别等于1的可能组合为三种→与右端未知数的种类数相等→这个种类数等于物理量个数6减去方程式的个数3，方程的个数等于物理量中包含的基本量纲由此得出结论：独立项数3是由物理量个数6减去它包含的基本量纲个数3的结果→，，数3。22现已知道③式中各项的可能形式，它们都是独立项，，，经各种组合而成，由此③式可表示为，和的函数，而③式就是②式。可知：描述现象各物理量间关系的方程式可表示成，，的函数，即....⑨。由于相似准则的主要属性是无量纲，而项是无量纲的，因此项就是相似准则。对相似第三定理的证明略去。由于相似准则的主要属性是无量纲，而项是无量纲的，因此项就是相似准则。第三定理也称为定理。根据相似第三定理可以通过实验建立相似准则间的函数关系，然后将这一准则关系式推广到实物中。23四、以图为例说明。解决的问题：1.怎样用相似第三定理获得模型实验应遵守的条件。2.怎样用定理将实验结果推广到实物中去。由相似第二定理可知，模型若与原理相似必须相似准则→相等。即即，如果希望时间相似倍数为1，即，位移相似倍数为，代入上式得：aaxxaxxkmmk可见模型的弹性元件刚度系数应由式决定。2425•在工业生产中为提交产品的产量或质量。寻找最佳工况。在试验中，用来衡量试验效果的质量指标称为试验指