五种迭代法解非线性方程

1题目:用五种迭代法解非线性方程学生姓名：崔敬轩学号：2015210458专业班级：电气工程7班指导教师：王承竞2015年11月7日21二分法1.1迭代思想零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)·f(b)0），那么在开区间（a,b）内至少有一点ξ，使fξ=0[1]（1-1）二分法通过以下方式利用这一思想：若f(a)f(b)0，则计算c=，并进行检验，若f(a)f(c)0，则f(x)在[a,c]内有零点；若f(a)f(c)0（即f(c)f(b)0），则f(x)在[c,b]内有零点。这样，将b或a代换成c，就得到了包含f(x)的零点的一个新的区间[a,b]，按一定条件，重复这个过程，便可以得到较为接近真实解r的近似解c值。[2]1.2算法误差|cn-x*|≤(bn-an)=(bn-1-an-1)=···=(b0-a0)ε（1-2）⇒2ε⇒n[lnε]-1（1-3）式（1-2）说明二分法求解误差与迭代次数n和初始迭代区间端点a、b有关，迭代次数越多，初始迭代区间越小，误差越小。式（1-3）说明迭代次数需大于某数值才能获得较为准确的解。1.3优点、缺点1.3.1优点①理论简单，编程容易；②能够比较准确地求解规定精度的数值解；③对函数的光滑性要求低，区间指数缩减。1.3.2缺点①局部收敛速度慢，特别是收敛区间为[0,1]；②不能解决重根问题，不方便解决同一收敛区间多个根的问题。31.4基于Matlab的数值试验1.4.1计算平台：①CPU（2.50GHz）、②RAM（4.00GB）、③OS（Windows7旗舰版）1.4.2参数设置：编写的m文件可在程序初始化运行时键入自变量限界δ、函数值限界ε以及最大迭代步数M，在数值试验过程中，将δ赋值为0.0001，ε赋值为0.0001，M赋值为100。1.4.3计算结果（程序代码详见附录Ⅰ）非线性方程210x4324100xxx2220xxxxeetan0xx计算结果0.9999851.9999699.9999620.046875迭代步数1616174计算时间0.078001s0.140401s0.140401s0.109201s（1）210x（2）4324100xxx[3]（3）2220xxxxee[4]4（4）tan0xx[5]1.4.4分析改进①对210x进行分析，发现经试验得到的解只有一个1x，而对另一个解1x试验并没有求得，这是因为试验中输入的区间为[0,10]，但即使将区间扩大至将两解都包含在内，仍然无法求到负根，这是由于算法本身决定的；②对4324100xxx进行分析，发现迭代结果为2x，而将结果回带到原方程函数43()2410fxxxx，发现(2)180f，而迭代次数16100M，经43(2*4*10)solvexxx演算，发现线性方程的4个解均为复数，推测试验解2x的得出可能是程序只考虑了()fx的4次项和3次项，而未对低次项进行考虑并且定义域区间为[2,2]也可能在一定程度上制约了方程求解的结果；③对2220xxxxee进行分析，发现试验解10x回带后，得8(10)4.856110f，这基本可以判断为计算错误，经2(2**()(2*))solvexxexpxexpx演算，2220xxxxee的解为0,1lambertw，即0.5671，再观察实验输入的自定义区间[0,10]并不包含真实5解，所以出现了这个错误，说明自定义的区间[,]ab的确定直接关系到解的好坏，而在预先不知道真实解得情况，这个区间难于确定，只能通过扩大[,]ab的范围来减少这个问题的出现频率，但自定义区间[,]ab长度的增加势必会增加迭代次数M和计算时间t，那么平衡[,]ab和M的关系就变得很重要了，在此之前，只能通过大区间、多迭代来在一定程度上防止迭代错误的出现；④对tan0xx进行分析，试验结果0.05x，因为考虑到tan0xx存在无穷多解，所以在试验中，所取定义域区间为[0,1.5]，但所得的解只为接近于0的解，原则上在[0,1.5]上还应有另一个解，在经solve('tanx-x')演算后，只得到0x的解，没有得到期望的无穷多个解，这可能是Matlab自身默认设置决定的。62牛顿法2.1迭代思想过非线性函数曲线f(x)上点（x,f(x)）作曲线f(x)的切线交x轴于点x，然后再由(x,f(x))作f(x)的切线，如此不断作线性处理，逼近真实解。解高阶非线性方程f(x)=0，设根为r，则f(r)=0，因不好直接解出r，故令靠近r的x与一个差量h和的形式（x+h）替换，则f(r)=f(x+h)，而f(x+h)=f(x)+f(x)h+o(h)≈f(x)+f(x)（2-1）⇒r=x+h≈x-()()⇒x=x−()()（2-2）2.2算法误差（收敛速度、精度变化）x=x−f(x)f′(x)x−r=x−r−f(x)f′(x)=f′(x)(x−r)−f(x)f′(x)0=f(r)=f(x)+f′(x)(r−x)+12f′′(ξ)(r−x)f′(x)(x−r)−f(x)=12f′′(ξ)(r−x)x−r=12f′′(ξ)(r−x)f′（x) ,f∈Ce=x−r=′′(ξ)′（)e≈′′()′（)e, e=Ce（2-3）由式（2-3）可知，牛顿法不仅局部收敛速度快，而且随着收敛的进行，精度会逐渐提高。2.3优点、缺点2.3.1优点①局部二阶收敛，收敛速度快2.3.2缺点①只应用在局部收敛情况下；②要求f′(x)存在且不等于0。72.4基于Matlab的数值试验2.4.1计算平台：①CPU（2.50GHz）、②RAM（4.00GB）、③OS（Windows7旗舰版）2.4.2参数设置：编写的m文件可在程序初始化运行时键入自变量限界δ、函数值限界ε以及最大迭代步数M，在数值试验过程中，将δ赋值为0.0001，ε赋值为0.0001，M赋值为100。2.4.3计算结果（程序代码详见附录Ⅰ）非线性方程210x4324100xxx2220xxxxeetan0xx计算结果1.000005-3.067794-0.5626770.048168迭代步数51002611计算时间1.185608s0.296402s0.124801s0.093601s（1）210x（2）4324100xxx（3）2220xxxxee8（4）tan0xx2.4.4分析改进①对210x进行分析，发现试验解为1x，而对另一个解1x试验并没有求得，这是因为算法在求得一个解后会停止运算，同样的牛顿法也不能解决重根问题；②对4324100xxx进行分析，发现迭代结果为3x，而(3)290f，依然没有得到真实解，这是因为迭代次数M已经达到上限100次，如果提高迭代上限，则应该可以得到更接近于0的解；③对2220xxxxee进行分析，发现试验解0.5627x与经2(2**()(2*))solvexxexpxexpx演算得到的解0.5671x一致，满足要求；④对tan0xx进行分析，试验结果0.05x，与真实解0x基本一致，满足要求。93简易牛顿法3.1迭代思想与牛顿法类似，区别在于当分f(x)在x处导数不存在时，找一个数x代替f′(x)中的x，即找一个斜率稍小一点的切线，代替斜率不存在点的切线。迭代公式为：x=x−()′()（3-1）3.2算法误差收敛速度慢，精度几乎没有提高，甚至可能因为误差累加导致误差变大。3.3优点、缺点优点：解决了牛顿法可能存在导数不存在点的情况；缺点：收敛速度太慢。3.4基于Matlab的数值试验3.4.1计算平台：①CPU（2.50GHz）、②RAM（4.00GB）、③OS（Windows7旗舰版）3.4.2参数设置：编写的m文件可在程序初始化运行时键入自变量限界δ、函数值限界ε以及最大迭代步数M，在数值试验过程中，将δ赋值为0.0001，ε赋值为0.0001，M赋值为100。3.4.3计算结果（程序代码详见附录Ⅰ）非线性方程210x4324100xxx2220xxxxeetan0xx计算结果1.0008182.577127.6726370.918798迭代步数69100100100计算时间1.279208s0.265202s0.265202s0.156001s10（1）210x（2）4324100xxx（3）2220xxxxee（4）tan0xx3.4.4分析改进①对210x进行分析，发现试验解为1x，但与Newton的5次迭代即得到结果相比，简易Newton用了69次迭代，而这只是解了一个最简单的方程，说11明简易Newton法收敛速度太慢，除Newton法中遇到导数'()0fx的情况才考虑使用；②对4324100xxx、2220xxxxee及tan0xx进行分析，发现迭代次数M均达到迭代上限100，因此对于简易Newton法应极大地增加迭代上限，猜测这个上限或许达到610、710等级。124割线法4.1迭代思想类似牛顿法，但与牛顿法作切线的方式不同是作割线，无限逼近。迭代公式为x=x−()()f(x)（4-1)4.2算法误差收敛情况为局部超收敛，收敛速度慢于牛顿法，而快于简易牛顿法。4.3优点、缺点优点：收敛速度快；缺点：两个相接近的数相减作分母。4.4基于Matlab的数值试验4.4.1计算平台：①CPU（2.50GHz）、②RAM（4.00GB）、③OS（Windows7旗舰版）4.4.2参数设置：编写的m文件可在程序初始化运行时键入自变量限界δ、函数值限界ε以及最大迭代步数M，在数值试验过程中，将δ赋值为0.0001，ε赋值为0.0001，M赋值为100。4.4.3计算结果（程序代码详见附录Ⅰ）非线性方程210x4324100xxx2220xxxxeetan0xx计算结果0.997825-1.319151-10.0000000.078644迭代步数92104计算时间1.107607s0.187201s0.140401s0.078001s13（1）210x（2）4324100xxx（3）2220xxxxee（4）tan0xx144.4.4分析改进①对210x进行分析，发现试验解为1x，满足要求，收敛速度与Newton法相近；②对4324100xxx进行分析，发现迭代结果为1.3x，而(1.3)12.050f，但与Newton法的试验解3x相比，更接近使函数43()2410fxxxx为0，且迭代次数为21次（Newton法超过迭代上限）；③对2220xxxxee进行分析，发现试验解10x，而解算次数为0次，考虑到割线法中割线不动点010x，第一个变动点110x，应该能够得到真实解，或靠近真实解0.5671x的近似解，但没有，甚至在解方程的时候没有进行迭代，试算(10)100f，与0相去甚远，再检查割线法的Matlab程序，发现在进入循环之前，2102000()(10)1020yfxfee2102011()(10)(10)20100yfxfee10211101010()1010010()()100xxxxfxfxfx而运算程序中循环判断条件21&&2&&whileabsxxdelt