第二讲----二次函数的顶点式

1第二讲二次函数的顶点式知识点1二次函数四种顶点式的性质1.二次函数基本形式：2yax的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。2.2yaxc的性质：上加下减。3.2yaxh的性质：左加右减。4.2yaxhk的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0．0a向下00，y轴0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值c．0a向下0c，y轴0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值c．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，X=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．0a向下0h，X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．0a向下hk，X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k．2知识点2二次函数四种顶点式的平移规律1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；⑵保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向上(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22.平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．例题:1．抛物线y＝2(x＋3)2的开口；顶点坐标为_____________；对称轴是_________；当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．2．抛物线y＝m(x＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4(x－4)2，则m＝__________，n＝___________．3．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为________．4．根据右图发现解决下列问题：⑴如图所示二次函数的图象中，分别对应的是：①2axy；②2bxy；③2cxy；④2dxy，则dcba、、、的大小关系是（）A．dcbaB．cdbaC．dcabD．cdab⑵在同坐标系中，图象与223yx的图象关于x轴对称的函数为（）A．232yxB．2yxC．223yxD．232yx5、已知二次函数kxy2)1(3的图象上有三个点A(1,2y)，B(2,2y)，C(3,5y)，则321,,yyy的大小关系为（）A.321yyyB.312yyyC.213yyyD.123yyy36、抛物线22xy向下平移1个单位长度再向右平移2个单位长度得到抛物线7、抛物线22xy是由另一条抛物线先向上平移1个单位长度再向右平移2个单位长度得到,则原抛物线为.8、对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状大小_________，只是_________不同．9、已知抛物线kmxay2)(中，21||a，最高点的坐标是（25,1），求这条抛物线．10、已知),(ba是抛物线2xy上的一点．甲同学说：“点),(ba一定也在2xy的图象上”．乙同学说：“我不但知道点),(ba在抛物线2xy上，而且我还知道点),(ba也一定在2xy的图象上”．你认为甲、乙两同学的说法正确吗？请发表你的看法．提升练习:1、填表开口方向顶点对称轴y＝x2＋1y＝2(x－3)2y＝－(x＋5)2－42、若A),413(1y、B),1(2y、C),35(3y为二次函数9)2(2xy的图象上的三点，则1y、2y、3y的大小关系是（）A．1y＜2y＜3yB．3y＜2y＜1yC．3y＜1y＜2yD．2y＜1y＜3y3、抛物线2)1(xy沿y轴方向向上或向下平移后，经过点（3，0），则所得抛物线的解析式为．4、已知抛物线),,0()(2是常数nmanmxay开口向下，顶点在第二象限，则a0，m0，n0（填“”“=”、“”）．45、y＝6x2＋3与y＝6(x－1)2＋10的____________相同，而__________不同．6、若直线3yxm经过第一、三、四象限，则抛物线2()1yxm的顶点必在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7、如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？写出函数关系式及t的取值范围。8．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝21x2相同的解析式为（）A．y＝21(x－2)2＋3B．y＝21(x＋2)2－3C．y＝21(x＋2)2＋3D．y＝－21(x＋2)2＋39．抛物线y＝－3(x＋4)2＋1中，当x＝_______时，y有最________值是________．10．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（）ABCD11．将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．12．若抛物线y＝ax2＋k的顶点在直线y＝－2上，且x＝1时，y＝－3，求a、k的值．13．若抛物线y＝a(x－1)2＋k上有一点A（3，5），则点A关于对称轴的对称点A′的坐标为______________．14.抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单位，得抛物线y＝x2－2x＋1，求：b与c的值。15、已知二次函数212xy，（1）当32x时，求函数的最值.（2）当30x时，求函数的最值.516、已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线2xy都相同，对称轴与抛物线2)2(xy相同，且顶点的纵坐标为－1．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求这条抛物线与1xy的两交点坐标及这两点的距离．17、如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线213.55yx运行，然后准确落入篮框内．已知篮框的中心离地面的距离为3.05米．（1）球在空中运行的最大高度为多少米？（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少？18、已知抛物线y=a（x-t-1）2+t2(a,t是常数,a≠0,t≠0)的顶点A.⑴判断点A否在抛物线y=x2-2x+1上,为什么?⑵如果抛物线y=a（x-t-1）2+t2经过点B(B为抛物线y=x2-2x+1的顶点)①求a的值;②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.xyO3.05米O619、如图所示，抛物线2)(mxy的顶点为A，直线l：mxy33与y轴的交点为B，其中0m.（1）写出抛物线对称轴及顶点A的坐标（用含m的代数式表示）；（2）证明点A在直线l上，并求出OAB的度数；（3）动点Q在抛物线对称轴上，问在对称轴左侧的抛物线上是否存在点P，使以P、Q、A为顶点的三角形与OAB全等？若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，说明理由.AyxOl