应用图形的旋转巧解“难题”

1应用图形的旋转巧解“难题”图形旋转的实质是图形的全等，而图形的全等中有对应边相等、对应角相等的性质，通过旋转，可以得到一些新的特殊图形、特殊关系，利用这些图形和关系，能巧妙地解决一些“难题”。下面通过例子说明利用旋转解题的一些思路方法，希望能为同学们学习、运用旋转更好地解决问题提供帮助。一、正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔAPD绕A点按顺时针方向旋转900，使得AD与AB重合，连接PQ，可得等腰直角ΔAPQ，且图1中与PA、PB、PD三条线段相关的线段集中于图2中的∆PBQ中，对问题的解决起到重要的作用。图1图2例1、正方形ABCD内一点P，且PA=2，PB=4，PD=22，则∠APD=_______；提示：正方形ABCD中，AB=AD，∴△APD绕点A顺时针旋转90°到△AQB，∴∠APD=∠AQB，PA=QA连结PQ∵旋转角为90°，∴∠PAQ=90°∴△PAQ是等腰直角三角形，∴∠AQP=45°，又AQ=PA=2，Rt△PAQ中，由勾股定理得：PQ=22又BQ=PD=22∴2222216)22()22(PBBQPQ由勾股定理的逆定理得：∠PQB=90°2∴∠APD=∠AQB=∠AQP+∠PQB=45°+90°=135°；变式：正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，若BE=3，DF=2，且∠EAF=450，求EF的长。分析：本题看起来无从下手，只要将它与旋转联系起来问题就好解决了。解：正方形ABCD中，AB=AD，将△ADF绕点A顺时针方向旋转900，使AD与AB重合，点F的对应点是G，∴△ABG≌△ADF，则AG=AF，∠BAG=∠DAFBG=DF=2，且∠ABG=∠D=∠ABE=900∴G、B、E三点在同一直线上。因为∠BAD=900，∠EAF=450所以∠BAE+∠DAF=450∴∠BAE+∠BAG=450即∠EAG=450AEAEEAGEAFAGAFo45所以△AEF≌△AEG（SAS）所以EF=EG=BE+BG=3+2=5变式：正方形ABCD中，若∠PAQ=45°，AH⊥PQ，求证：AH=AB；提示：将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得△ABE，证明：△APQ≌△AEP得PQ=EPAH与AB分别为△APQ、△AEP的PQ、PE边上的高，由两个三角形面积相等，且对应边相等所以对应高相等，∴AH=ABFCADGBEBEQHPDCA3二、三角形类型（一）正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕B点顺时针旋转600，使得BA与BC重合，连接PQ，可得正ΔPBQ，且图1中的与PA、PB、PC三条线段相关的线段集中于图2中的∆PCQ中，对问题的解决起到重要作用。图1图2例2、如图，设P是等边ΔABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则APB的度数是________；简解：将ΔAPC绕点A逆时针旋转60°，点P的对应点为Q，连接PQ，则AQ=AP=3，BQ=PC=5，则ΔBAQ≌ΔCAP。易证ΔAPQ为正三角形，∴∠APQ=60°，PA=PQ=3，ΔPBQ中，PQ=3,PB=4，BQ=5，由勾股定理的逆定理得：∠BPQ=90°∴APB=APQ+BPQ=60+90=150°（二）等腰直角三角形类型在等腰直角ΔABC中，C=90°，P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点逆时针旋转900，使得AC与BC重合，连接PQ，可得等腰直角ΔQCP，为解决问题创设条件。图1图2例3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是三角形内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数；分析：由题知△ABC是等腰直角三角形，将△CPB绕着点C逆时针旋转90°，BACPQCPAB4使CB与CA重合，点P对应点是Q，∴∠BPC=∠AQC，连接PQ，可得△PCQ是等腰直角三角形，∴PC=QC=2，∠PQC=45°，由勾股定理得：PQ=22，△APQ中，AQ=BP=1，PA=3，PQ=22∴AQ2+PQ2=1+8=9=PA2由勾股定理逆定理得：∠AQP=90°∴∠BPC=∠AQC=∠AQP+∠PQC=90°+45°=135°例4、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝5，OC＝62，则另一直角边BC的长为_____；&分析：本题是2012深圳市中考试题第16题，被认为是一个难题，很多学生不知从哪下手，得分很低；实际上本题解法很多，尤其以利用旋转求解最为简徢；如图，∵OA=OB，∠ACB=∠AOB=90°∵四边形内角和为180°，∴∠OAC+∠OBC=180°将△OAC绕点O时针旋转90°到△OBF，∵∠OAC+∠OBC=180°，∴∠OBC+∠OBF=180°∴C、B、F三点共线，由旋转可知：∠1=∠2，又∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°，即∠COF=90°，∴△COF是等腰直角三角形，已知OC＝62，由勾股定理得CF=2OC=12，∴CB=CF—BF=12—5=7变式问题：1、如图，△ABC和△AGF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠AGF=90º，如图摆放在一起，若△ABC固定不动，△AGF绕点A旋转，AF，AG与BC的交点分别为D，E（点D与B重合，点E不与C重合），在旋转过程中，等量关系222BDCEDE是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；302010B0E00D0A0C0O0F0BQCAP52、如图，在平面直角坐标系中，△OBC是等腰直角三角形，∠BCO=90º，OC=62，将△OBC沿x轴对折，点C落在点D处，M（m，0）是x轴的正半轴上的动点，问m为何值时，MO+MC+MD最小？3、如图，五边形ABCDE中，ABC=AED=900，AB=CD=AE=BC+DE=1，则这个五边形ABCDE的面积等于____________；ABCDE4、如图，正三角形ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA=2，则四边形ABPC的面积为_____________；6ABCPo变式问题参考答案：1、222BDCEDE成立；理由略；2、当m=623时，MO+MC+MD最小；3、SABCDE=1；4、S四边形ABPC=3；