对数函数知识点总结

对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果Nax)1,0(aa，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，记作：Nxalog（a—底数，N—真数，Nalog—对数式）说明：○1注意底数的限制0a，且1a；○2xNNaaxlog；○3注意对数的书写格式．两个重要对数：○1常用对数：以10为底的对数Nlg；○2自然对数：以无理数71828.2e为底的对数的对数Nln．（二）对数的运算性质如果0a，且1a，0M，0N，那么：○1Ma(log·)NMalog＋Nalog；○2NMalogMalog－Nalog；○3naMlognMalog)(Rn．注意：换底公式abbccalogloglog（0a，且1a；0c，且1c；0b）．利用换底公式推导下面的结论（1）bmnbanamloglog；（2）abbalog1log．（二）对数函数1、对数函数的概念：函数0(logaxya，且)1a叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：xy2log2，5log5xy都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．○2对数函数对底数的限制：0(a，且)1a．2、对数函数的性质：a10a132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011定义域x＞0定义域x＞0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）对数函数·例题解析例1．求下列函数的定义域：（1）2logxya；（2）)4(logxya；（3）)9(log2xya．解：（1）由2x0得0x，∴函数2logxya的定义域是0xx；（2）由04x得4x，∴函数)4(logxya的定义域是4xx；（3）由9-02x得-33x，∴函数)9(log2xya的定义域是33xx．例2．求函数251xy和函数22112xy)0(x的反函数。解：（1）125xy∴115()log(2)fxx(-2)x；（2）211-22xy∴-112()log(-2)fxx5(2)2x．例4．比较下列各组数中两个值的大小：（1）2log3.4，2log8.5；（2）0.3log1.8，0.3log2.7；（3）log5.1a，log5.9a.解：（1）对数函数2logyx在(0,)上是增函数，于是2log3.42log8.5；（2）对数函数0.3logyx在(0,)上是减函数，于是0.3log1.80.3log2.7；（3）当1a时，对数函数logayx在(0,)上是增函数，于是log5.1alog5.9a，当1oa时，对数函数logayx在(0,)上是减函数，于是log5.1alog5.9a．例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1）6log7，7log6；（2）3log，2log0.8；（3）0.91.1，1.1log0.9，0.7log0.8；（4）5log3，6log3，7log3．解：（1）∵66log7log61，77log6log71，∴6log77log6；（2）∵33loglog10，22log0.8log10，∴3log2log0.8．(3）∵0.901.11.11，1.11.1log0.9log10，0.70.70.70log1log0.8log0.71，∴0.91.10.7log0.81.1log0.9．（4）∵3330log5log6log7，∴5log36log37log3．例7．求下列函数的值域：（1）2log(3)yx；（2）22log(3)yx；（3）2log(47)ayxx（0a且1a）．解：（1）令3tx，则2logyt，∵0t，∴yR，即函数值域为R．（2）令23tx，则03t，∴2log3y，即函数值域为2(,log3]．（3）令2247(2)33txxx，当1a时，log3ay，即值域为[log3,)a，当01a时，log3ay，即值域为(,log3]a．例8．判断函数22()log(1)fxxx的奇偶性。解：∵21xx恒成立，故()fx的定义域为(,)，22()log(1)fxxx221log1xx222221log(1)xxxx22log1()xxfx，所以，()fx为奇函数。例9．求函数2132log(32)yxx的单调区间。解：令223132()24uxxx在3[,)2上递增，在3(,]2上递减，又∵2320xx，∴2x或1x，故232uxx在(2,)上递增，在(,1)上递减，又∵132logyu为减函数，所以，函数2132log(32)yxx在(2,)上递增，在(,1)上递减。例10．若函数22log()yxaxa在区间(,13)上是增函数，a的取值范围。解：令2()ugxxaxa，∵函数2logyu为减函数，∴2()ugxxaxa在区间(,13)上递减，且满足0u，∴132(13)0ag，解得2232a，所以，a的取值范围为[223,2]．【例1】(1)y=log(2)y=11log(a0a1)(3)f(x)[01]y=f[log(3x)]12a13求函数的定义域．求函数＞，且≠的定义域．已知函数的定义域是，，求函数－的定义3221xxxa()解(1)由≥＞≠≤＞≠≤＜或＞≠log()()1232210322102103221132210121210122312xxxxxxxxxxxxxxx121122312231＜≤＜或＞≠＜≤xxxxx∴所求定义域为＜≤{x|23x1}解(2)∵1－loga(x＋a)＞0，∴loga(x＋a)＜1．当a＞1时，0＜x＋a＜a，∴函数的定义域为(－a，0)．当0＜a＜1时，x＋a＞a，∴函数的定义域为(0，＋∞)．解(3)f(x)[01]y=f[log(3x)]13∵的定义域为，，∴函数－有意义，必须满足≤－≤，即≤－≤，∴≤－≤，∴≤≤．故函数－的定义域为，．0log(3x)1loglog(3x)log13133x12xy=f[log(3x)][2]131313131318383【例2】y=10x已知函数，试求它的反函数，以及反函数的定义110x域和值域．解y=10y1y=10(1y)10=y10=y1y00y1xxxx已知函数的定义域为，∵∴≠，由得－，∴＞＜＜，即为函数的值域．R110110xx由得，即反函数．10=y1yx=lgy1yf(x)=lgx1xx1反函数的定义域为(0，1)，值域为y∈R．【例3】作出下列函数的图像，并指出其单调区间．(1)y=lg(－x)(2)y=log2|x＋1|(3)y=|log(x1)|(4)ylog(1x)122－，＝－．解(1)y=lg(－x)的图像与y=lgx的图像关于y轴对称，如图2．8－3所示，单调减区间是(－∞，0)．解(2)先作出函数y=log2|x|的图像，再把它的图像向左平移1个单位就得y＝log2|x＋1|的图像如图2．8－4所示．单调递减区间是(－∞，－1)．单调递增区间是(－1，＋∞)．解(3)y=logx1y=log(x1)1212把的图像向右平移个单位得到－的图像，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到轴上方，就得到－的图像．如图．－xy=|log(x1)|28512所示单调减区间是(－1，2]．单调增区间是[2，＋∞)．解(4)∵函数y=log2(－x)的图像与函数y=log2x的图像关于y轴对称，故可先作y=log2(－x)的图像，再把y＝log2(－x)的图像向右平移1个单位得到y=log2(1－x)的图像．如图2．8－6所示．单调递减区间是(－∞，1)．【例4】图2．8－7分别是四个对数函数，①y=logax②y=logbx③y=logcx④y=logdx的图像，那么a、b、c、d的大小关系是[]A．d＞c＞b＞aB．a＞b＞c＞dC．b＞a＞d＞cD．b＞c＞a＞d解选C，根据同类函数图像的比较，任取一个x＞1的值，易得b＞a＞1＞d＞c．【例5】已知loga3＞logb3，试确定a和b的大小关系．解法一令y1=logax，y2=logbx，∵logax＞logb3，即取x＝3时，y1＞y2，所以它们的图像，可能有如下三种情况：(1)当loga3＞logb3＞0时，由图像2．8－8，取x=3，可得b＞a＞1．(2)当0＞loga3＞logb3时，由图像2．8－9，得0＜a＜b＜1．(3)当loga3＞0＞logb3时，由图像2．8－10，得a＞1＞b＞0．【例6】aba1logloglogalogb2abba若＞＞＞，则、、、的大小abba顺序是：_____．解aba1011logab0logba00loga1logb1aba1a1logloga1logloglogalogb2abba2bbabba∵＞＞＞，∴＜＜，＞，∴＜，＞，＜＜，＞．由＞＞＞得＞＞∴＜＜，故得：＜＜＜．abbababaabba【例8】f(x)=log(x)(a0a1)a已知函数＋＞，且≠，判断其12x奇偶性．解法一已知函数的定义域为R，则－x∈Rf(x)=log(1+xx)=loga2a－－()()111222xxxxxx=log=log=logaaa1111122222xxxxxxxxfx()()∴f(x)是奇函数．解法二已知函数的定义域为R由＋－＋＋－f(x)f(x)=log(1+xx)log(1+xx)=log1+x1+xa22a22[()()]xx=loga1=0∴f(x)=－f(x)，即f(x)为奇函数．单元测试一、选择题（每小题5分，共50分）.1．对数式baa)5(log2中，实数a的取值范围是（）A．)5,(B．(2,5)C．),2(D．)5,3()3,2(2．如果lgx=lga+3lgb－5lgc，那么（）A．x=a+3b－cB．cabx53C．53cabxD．x=a+b3－c33．设函数y=lg(x2－5x)的定义域为M，函数y=lg(x－5)+lgx的定义域为N，则（）A．M∪N=RB．M=NC．MND．MN4．若a＞0，b＞0，ab＞1，a21log=ln2，则logab与a21log的关系是（）A．logab＜a21logB．logab=a21logC．logab＞a21logD．logab≤a21log5．若函数log2(kx2+4kx+3)的定义域为R，则k的取值范围是（）A．43,0B．43,0C．43,0D．,43]0,(6．下列函数图象正确的是（）ABCD7．已知函数)(1)()(xfxfxg，其中log2f(x)=2x，xR，则g(x)（）A．是奇函数又是减函数B．是偶函数又是增函数C．是奇函数又是增函数D．是偶函数又是减函数9．如果y=log2a－1x在(0，+∞)内是减函数，则a的取值范围是（）A．｜a｜＞1B．｜a｜＜2C．a2D．21a10．下列关系式中，成立的是（）A．10log514log3103B．4log5110