讲课用勾股定理的应用-最短距离

勾股定理的应用——立体图形中最短路程问题伊通九中丁元乾AB1、有一个圆柱,它的高AC为12厘米,BC是上底面的直径,长为6厘米。一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的表面爬行到B点，试求出爬行的最短路径。(π取3)C蚂蚁A→B的路线BACdABCABBAO知识回顾DABC在长为4米，宽为3米的长方形绿地上，蚂蚁想从A点爬到C点吃食，则蚂蚁爬行的最短路程为米.画出底面半径为r高为h的圆柱的侧面展开图，并指出展开图中A,B,C,D四点的位置以及各线段的长度.CDBABCAD(2)如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？合作交流AB(B)ABABABBA高12cmBA长18cm(π的值取3)9cm∵AB2=92+122=81+144=225=∴AB=15(cm)答:蚂蚁爬行的最短路程是15厘米.152解:将圆柱如图侧面展开.在Rt△ABC中,根据勾股定理CD思路小结：圆柱体（立体图形）矩形(平面图形)直角三角形展开构建转化应用勾股定理ACDB18÷2CABDCA12想一想如果我们将题中的圆柱体换成正方体或者长方体，情况又该怎么样呢？拓展1如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？AB看看如何爬最短？路线如何计算BABAB101010BCA总结：展开任意两个面（因为每个面都一样）拓展2如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？AB分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有多少种情况？(1)经过前面和上底面;(2)经过前面和右面;(3)经过左面和上底面.AB23AB1C321BCA321BCA(1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为223318解:AB23AB1C22BCACAB＝＝＝(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为22BCAC221526AB321BCAAB＝＝＝(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路程为AB22BCAC222420262018cm2318即最短路程为AB＝＝＝321BCA解题思路•1、展-------•2、找--------•3、连--------•4、算--------•5、答（立体平面）起点，终点路线利用勾股定理（5步走）小结：•1、转化思想的应用•（立体图形平面图形）•2、得到最短路线的依据是平面内两点之间线段最短•3、构造出直角三角形从而利用勾股定理进行计算牛刀小试1、己知如图所示,有一圆柱形油罐,底面周长是12米,高AB是5米，要以A点环绕油罐建旋梯,正好到A点的正上方B点,问旋梯最短要多少米？AB思维引导：旋梯在展开图形中会是什么?AB答：13米如图：圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面圆的周长为18cm,在杯子内壁离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，距离杯子上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少?蚂蚁AC蜂蜜CAA1MH北B小屋牧童A问题回顾如图，一牧童在小河a的南2km的A处放马，而他正位于小屋B的西6km北4km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回小屋B，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？A1PaO264问题回顾如图，一牧童在小河的南2km的A处放马，而他正位于小屋B的西6km北4km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回小屋B，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？北B小屋牧童AB1PM例2.一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？BAABC531512分析：∵AB2=AC2+BC2=52+122=169∴AB=13.三、正方体中的最值问题例3、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）.（A）3（B）√5（C）2（D）1AB分析：由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）.CABC21BAB学生反思：你学会了怎样的解题路？实际问题数学问题转化直角三角形四、课后反思2、如图，蚂蚁从地面上A点爬到墙上B点的最短路程是___________cm,其中CD=30cm,AC=23cm,BD=17cm。ABCD3.如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离的平方是多少？1020BAC155BAC1551020B5FE1020ACFB51020ACE10AECB20155现有一棵树直立在地上，树高2.8丈，粗3尺，有一葛藤从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶，请问这根葛藤条有多长？（1丈等于10尺）ABC28尺3×7=21（尺）1、如图，底面边长为1，高为1.5的长方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）.（A）3（B)√5（C）2.5（D）1ABABC21.5c练习:2、小良家有一底面周长为24cm，高为6cm的圆柱形罐，一天他发现一只蟑螂从距底面1cm的A处爬行到对角B处，你知道蟑螂的最短路线吗?AB解：如图为圆柱的侧面展开图,AC=6–1=5，BC=24×=12，由勾股定理得AB²=AC²+BC²=169,∴AB=13(cm).BAC即最短路线AB为13cm.123、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于36cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只小虫子，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只小虫子从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？BAABC..60cm◆如图，公路MN和小路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所学校，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m内受噪音影响，那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时，学校是否受到噪音的影响？如果学校受到影响，那么受影响将持续多长时间？PMNQABDC补充：1.一艘轮船以20海里/小时的速度离开港口O向东北方向航行，另一艘轮船同时以22海里/小时的速度离开港口向东南方向航行，2小时后两船相距多远？甲(A)西东北南O乙(B)折叠问题1、如图，直角三角形纸片ABC，∠C=90º，AC=6，BC=8，折叠△ABC的一角，使点B与A点重合，展开得折痕DE，求BD的长．AEBDC5082、如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）.（A）3cm（B）4cm（C）5cm（D）6cmA90EDBAC1、如图，已知Rt△ABC中，∠C=90º，AC=4cm，BC=3cm，现将△ABC进行折叠，使顶点A、B重合，则折痕DE=cm．练习:1582.如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=8cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？CABDE┏ABCDEF（1）ABCDEFGH（2）图22、有一边长为2的正方形纸片ABCD，先将正方形ABCD对折，设折痕为EF，再沿过点D的折痕将角A翻折，使得点A落在EF的H上，折痕交AE于点G，则EG的长度为（）.843423（C）（D）436233（B）（A）B3.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为cm．9.如图将一根25厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为8厘米、6厘米和10厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米．9.如图将一根25厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为8厘米、6厘米和10厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米．8610？？ABCD9.如图将一根25厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为8厘米、6厘米和10厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米．8610？？ABCD9.如图将一根25厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为8厘米、6厘米和10厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米．8610？？ABCD9.如图将一根25厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为8厘米、6厘米和10厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米．8610？？ABCD9.如图将一根25厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为8厘米、6厘米和10厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米．8610？？ABCD9.如图将一根25厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为8厘米、6厘米和10厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米．8610？？ABCDADC86∴细木棒露在盒外面的最短长度是.9.如图将一根25厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为8厘米、6厘米和10厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米．8610？？ABCDADC86解：如图，由题意可知△ADC和△ABC都是直角三角形。根据股定理，ABACBC2222101020025200ACADDC22228610