0204-1：轨迹方程的求法及典型例题(含答案)

轨迹方程求法练习题1轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有：（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法*注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点.二、练习例1：点P（－3，0）是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。例2：如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.轨迹方程求法练习题2例3：如图,直线L1和L2相交于点M,L1L2,点NL1.以A,B为端点的曲线段C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等.若AMN为锐角三角形,|AM|=17,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.例4：已知两点)2,0(),2,2(QP以及一条直线：y=x，设长为2的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程．轨迹方程求法练习题3例5：设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.例6：(08、山东文22)已知曲线1C：||||1(0)xyabab所围成的封闭图形的面积为45，曲线1C的内切圆半径为253，记2C为以曲线1C与坐标轴的交点为顶点的椭圆．(1)求椭圆2C的标准方程；(2)设AB是过椭圆2C中心的任意弦，L是线段AB的垂直平分线，M是L上异于椭圆中心的点．①若||MO＝λ||OA(O为坐标原点)，当点A在椭圆2C上运动时，求点M的轨迹方程；②若M是L与椭圆2C的交点，求AMB的面积的最小值．轨迹方程求法练习题4解：(1)由题意得22245253ababab4522ba，椭圆方程：2254xy＝1．(2)若AB所在的斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y＝kx(k≠0)，A(AAyx，)．①由22154,xyykx2222220204545AAkxykk，2222220(1)||45AAkOAxyk．设M(x，y)，由|MO|＝λ|OA|(λ≠0)|MO|2＝λ2|OA|22222220(1)45kxyk．因为L是AB的垂直平分线，所以直线L的方程为y＝1xkk＝xy，代入上式有：22222222222220(1)20()4545xxyyxyxyxy，由022yx2225420xy，当k＝0或不存时，上式仍然成立.，综上所述，M的轨迹方程为22245xy，（λ0）．②当k存在且k0时，2222220204545AAkxykk，|OA|2＝222220(1)45AAkxyk．由轨迹方程求法练习题5221541xyyxk2222220205454MMkxykk，22220(1)||54kOMk．222222111120(1)20(1)4554kkOAOMkk＝209．222119||||20OAOBOAOM||||OBOA≥940．||||221OBOASAMB＝||||OBOA≥940，当且仅当4＋5k2＝5＋4k2时，即k＝1时等号成立．当14002522529AMBkS，；当k不存在时，140542529AMBS．综上所述，AMB的面积的最小值为409．例7：（07、江西理21）设动点P到点(10)A，和(10)B，的距离分别为1d和2d，2APB，且存在常数(01)，使得212sindd．(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；(2)过点B作直线与双曲线C的右支于MN，两点，试确定的范围，使OM·ON＝0，其中点O为坐标原点．解：(1)在PAB△中，2AB，即222121222cos2dddd，2212124()4sindddd，即2121244sin212dddd（常数），点P的轨迹C是以AB，为焦点，实轴长轨迹方程求法练习题6221a的双曲线，方程为：2211xy．（2）设11()Mxy，，22()Nxy，①当MN垂直于x轴时，MN的方程为1x，(11)M，，(11)N，在双曲线上．即2111511012，因为01，所以512．②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为(1)ykx．由2211(1)xyykx得：2222(1)2(1)(1)()0kxkxk，由题意知：2(1)0k21222(1)(1)kxxk，2122(1)()(1)kxxk22212122(1)(1)(1)kyykxxk．由OM·ON＝0，且MN，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)5121011231001xxyykxxkxx．由①②知32215．例8：（09、海南）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到轨迹方程求法练习题7两个焦点的距离分别是7和1．（1）求椭圆C的方程；（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，2OPeOM（e为椭圆C的离心率），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？解：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a，c．由已知得71cacaa＝4，c＝3椭圆C的方程为221167xy．（2）设M（x，y），P（0x，0y）．其中0x∈[－4，4]，0x＝x．有22001167xy……①由OPeOM得：2240022xyexy＝169．故22220016()9()xyxy【下面是寻找关系式0x＝f（x，y），0y＝g（x，y）的过程】又167112220220xyxx……………………………………②②式代入①：22001167xy并整理得：47(44)3yx，所以点M的轨迹是两条平行于x轴的线段．例9：（09、重庆理）已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为433y，离心率32e，M是椭圆上的动点．(1)若C、D的坐标分别是(0，√3)、(0，－√3)，求||MC·||MD的最大值；21世纪教育网轨迹方程求法练习题8(2)如图，点A的坐标为(1，0)，点B是圆221xy上的点，点N是点M(椭圆上的点)在x轴上的射影，点Q满足条件：OQ＝OM＋ON，QA·BA＝0．求线段QB的中点P的轨迹方程．解：(1)设椭圆方程为：22221xyab（a＞b＞0）．准线方程433y＝ca2，32e＝ac2a，32c1b椭圆方程为：2214yx．所以：C、D是椭圆2214yx的两个焦点||MC＋||MD＝4．||MC·||MD≤4)2||||(2MDMC，当且仅当||MC＝||MD，即点M的坐标为(1,0)时上式取等号||MC·||MD的最大值为4．(2)设M(,),(,)mmBBxyBxy，(,)QQQxy，N(0，mx)4422mmyx，122BByx．由OQ＝OM＋ONmQxx2，mQyy4)2(2222mmQQyxyx………①由QA·BA＝0(QQyx，1)·(BByx，1)＝(Qx1)(Bx1)＋BQyy＝0BQBQyyxx1BQxx…………②记P点的坐标为(Px，Py)，因为P是BQ的中点BQPxxx2，BQPyyy22222)2()2(BQBQPPyyxxyx＝)22(412222BQBQBQBQyyxxyyxx＝)]1(25[41BQxx＝)245(41PxPPPxyx4322动点P的方程为：1)21(22yx．轨迹方程求法练习题9例10：（09、安徽）已知椭圆22ax＋22by＝1（a＞b＞0）的离心率为33．以原点为圆心，以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切．（1）求a与b的值；（2）设该椭圆的左，右焦点分别为1F和2F，直线1L过2F且与x轴垂直，动直线2L与y轴垂直，2L交1L于点p.求线段1PF的垂直平分线与直线2L的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型解：（1）e＝3322ab＝32．又圆心（0，0）到直线y＝x＋2的距离d＝半径b＝22112，∴2b＝2，2a＝3．12322yx（2）1F（－1，0）、2F（1，0），由题意可设P（1，t）（t≠0）.那么线段1PF的中点为N（0，2t）．2L的方程为：y＝t，设M(MMyx,)是所求轨迹上的任意点.【下面求直线MN的方程，然后与直线2L的方程联立，求交点M的轨迹方程】直线1PF的斜率k＝2t，∴线段1PF的中垂线MN的斜率＝－t2．所以：直线MN的方程为：y－2t＝－t2x．由22txtytytytxMM42，消去参数t得：MMxy42，即：xy42，其轨迹为抛物线（除原点）．又解：由于MN＝（－x，2t－y），1PF＝（－x，2t－y）．∵MN·1PF＝0，∴tyytxtx0)2(·)2,(，，消参数t得：xy42（x≠0），其轨迹为抛物线（除原点）．轨迹方程求法练习题106．(07湖南理20）已知双曲线222xy的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F的动直线与双曲线相交于AB，两点．【直接法求轨迹】（1）若动点M满足1111FMFAFBFO（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；(2)在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由条件知1(20)F，，2(20)F，，设11()Axy，，22()Bxy，．设()Mxy，，则1(2)FMxy，，111(2)FAxy，，1221(2)(20)FBxyFO，，，，由1111FMFAFBFO121226xxxyyy12124xxxyyyAB的中点坐标为422xy，．当AB不与x轴垂直时，1212024822yyyyxxxx，即1212()8yyyxxx．又因为AB，两点在双曲线上，所以22112xy，22222xy，两式相减得12121212()()()()xxxxyyyy，即1212()(4)()xxxyyy．将1212()8yyyxxx代入上式，化简得22(6)4xy．当AB与x轴垂直时，122xx，求得(80)M，，也满足上述方程．所以点M的轨迹方程是22(6)4xy．（2）假设在x轴上存在定点(0)Cm，，使CA·CB为常数．当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是(2)(1)ykxk．代入222xy有2222(1)4(42)0kxkxk．则12xx，是上述方程的两个实根，所以212241kxxk，2122421kxxk，于是CA·CB22221212(1)(2)()4kxxkmxxkm22222222(1)(42)4(2)411kkkkmkmkk轨迹方程求法练习题11222222(12)2442(12)11mkmmmmkk．因为CA·CB是与k无关的常数，所以440m，即1m，此时CA·CB＝－1．当AB与x轴垂直时，点AB，的坐标可分别设为(22)，，(22)，，此时C