“专家”和“新手”关于复杂数学问题表征的差异

--1“专家”和“新手”关于复杂数学问题表征的差异吴跃忠王燕燕（华南师范大学数学科学学院邮编510631）1.问题提出数学优秀生往往分为两类，一类是数学天才，他们可能是IMO的夺冠者；另一类是好学生，具有扎实的数学基础以及良好数学素质（如有优异的数学理解和记忆能力），勤奋好学，通常表现为在各类考试中数学成绩好．一般说来，数学天才可遇不可求，在学生群体中可谓凤毛麟角；而好学生几乎在每所重点中学都存在．我们的问题是，这两类学生在解决高难度数学问题时，将表现出何种特质，这些特质又在多大程度上与数学教育实践相关．本文探讨这两类学生在解决复杂数学问题时所展示的差异，读者将在我们的研究结论中看到，本研究为数学优秀生的培养既带来了好消息，也带来了坏消息．安德森认为[1]，成功的问题解决依赖于采用能够清晰地揭示问题本质的方式表征问题，而且这个表征是有利于推进解题进程的．所谓表征，可以理解为人脑对外部知识的存贮方式，我们的研究从数学问题表征这个视角展开．2.实验设计本文采用“专家”和“新手”的对比实验作为研究范式，该范式将两种不同专业水平的被试分为“专家”和“新手”．本研究中的“专家”选用某师大附中IMO班中一位高三学生，该校多位IMO竞赛教练公认其为数学天才，极具数学禀赋；“新手”选用广东省级名校一位高三学生，他数学成绩优异，学习态度和勤奋精神大受称道．实验材料为2011年广东高考数学理科第21题（改编），此题显然满足复杂问题解决的定义[2]．今抄录该题如下：在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线21:4Lyx.实数,pq满足240pq，12,xx是方程20xpxq的两根，记12(,)max,pqxx.（1）过点20001,(0)4Appp作L的切线交y轴于点B.证明：对线段AB上任一点(,)Qpq有0(,)2ppq；（2）设(,)Mab是定点，其中,ab满足240ab，0a.过(,)Mab作L的两条切线12,ll，切点分别为22112211,,,44EppEpp，12,ll与y轴分别交与,FF.线段EF上异于两端点的点集记为X.--2证明：12(,)MabXpp．笔者为主试，为两位被试均分发一张A4纸测试题以及足量的草稿纸，并告知被试测试时间为45分钟，测试结束时交上答题卷和草稿纸．3.实验结果“专家”和“新手”的答题时间分别为24分钟和38分钟．分别用i和i（i是正整数）表示“专家”和“新手”解答步骤，解答过程如下．3.1第（1）问解答“专家”解答．1：过A点的L的切线方程为200124pxyp，或200042ppxy；2：比较方程02qpxx；2：知一根为20p，另一根为20pp；3：因为p在0与0p之间；4：所以00||(,)22ppppq.“新手”解答．1：过A点的L的切线方程为即200124pyxp，或200124pqpp；2：由方程02qpxx解得242ppqx，3：将200124pqpp代入242ppqx，得012px，022pxp；4：①当00p时，有00pp；5：00(,)22ppppq；6：②当00p时，有00pp；7：0022ppp，即0(,)2ppq．解答评析．上述“专家”和“新手”的解答过程有着非常明显的个性化特征，至少在三个方面存在问题表征差异．（1）方程图式（图式意为概念系统）的表征差异．2显示“专家”的方程图式除了解一元二次方程公式（即2和3）要素外，还包含多项式方程由其系数决定这一要素，正是这一要素促使他将切线方程与点(,)Qpq所决定的一元二次方程相比较，从而得到两根；（2）分类讨论图式的表征差异．4和6表明“新手”具备扎实的分类讨论基本功，3表明“专家”具有将“新手”所分各类的本质统一起来的能力，事实上，4和6合并即为3；（3）绝对值图式的表征差异．显然“专家”和“新手”关于--3比较02pp和0||2p大小的问题表征完全不同，4表明“专家”将该问题表征为数轴上邻域的特殊情形，即0000||||,2222pppp，这显示“专家”具有较好的几何直觉；5和7显示“新手”则将其表征为去掉绝对值，引进分类讨论和不等式运算，这表明他具有较强的不等式运算能力．以下，我们将看到“专家”和“新手”在各自问题表征的道路上走得更远．3.2第（2）问解答“专家”解答．5：由2124iipxyp，得il的方程为242iiyppx（2,1i）；故有ip为方程2240xxab的两根，得app221；6：XbaM),(122ppa在0与1p之间；7：121211200||||22ppppppp．“新手”解答．8：21,ll的方程分别为2222114121,4121pxpypxpy；解得21,ll交点1212,24pppp，21pp.9：12(,)MabXpp，10：当01p时,11：1211202ppppp，12：当01p时,13：1211202ppppp；14：再证：12(,)MabXpp；15：由21pp，则21211102ppppp；16：当01p时,12120ppp，17：当01p时02211ppp；18：注意到),(baM在1l上,故XbaM),(.解答评析．“专家”和“新手”关于第（2）问的解答，进一步印证他们在第（1）问所展现的问题表征差异，并且随着第（2）问难度增加，这种差异更加明显．如，5与8的差异不仅表现在方程图式表征上，而且表现在几何意义上，“专家”将两条切线方程“合并”成由定点(,)Mab决定的一元二次方程，两个切点的横坐标就是解；“新手”则将两条切线的交点看成定点，这既是对方程图式表征不同，也是对切点的几何意义表征不同；“专家”进一步利用定点的变化区间替代定点位置的讨论（6），继而利用数轴上两点之差的方向替代去掉绝对值符号的讨论（见7），这表明“专家”关于数轴上点邻域图式表征扩展到更为丰富的区间图式表征．“新手”的关于充要条件（见9和14）、去绝对值符号等，都转化为分类讨论，而且分类更为多样化，讨论也更为细致，足见“新手”关于分类讨论的表征（见其解题步骤）十分合理．--45.讨论与启示上述研究给数学教学带来的好消息是，教学经验表明许多学生不能完整解答复杂数学问题（如高考压轴题），但是，“新手”的成功解题，为我们带来希望，仍然会有优秀的、但并非具有较高数学天赋的学生也能圆满完成.坏消息是，“专家”在解题中呈现极强的个性化色彩，仅靠日常教学难以将普通学生培养成“专家”的解题水平．“专家”和“新手”关于复杂问题表征方面，在三个方面存在显著差异．（1）“专家”与“新手”在几何直觉上的表征差异．“专家”的几何直觉与符号表示形成一个有机体，换言之，“专家”是用几何语言和代数语言结合来表征问题的，如区间中的点与该点所在的集合的表征（见6），绝对值符号与邻域及有向线段长度的表征等（见7）；“新手”的几何直觉，更多地来源于教师关于数形结合的训练，即借助图形直观确定代数推理方向，如“新手”为4与6配有两条切线图形（本文略去图形），根据切线的位置决定分类的依据等，因此，“新手”直观地表征问题，没有在头脑内部将两种语言交互使用．（2）“专家”与“新手”在知识结构上的表征差异．“专家”的表征具有结构化特征，如构造方程、切线和切点的结构；又如将绝对值看一个运算的整体，且与点的邻域形成一个结构．“新手”的问题表征形式更像是一个方法系统，如两个绝对值大小的比较，组成了一个分类讨论的方法系统，这里的知识结构不太明显，而运算方法显得极为重要．(3）“专家”与“新手”在表征形式上的差异．“专家”对于问题表征并非是问题的直接“翻译”，而是将其改造成与原有认知结果相吻合的最合适的形式，而“新手”则是直接将问题表征成最接近结果的状态．如，5与8的区别在于，前者表征为二次方程，经过结构转化间接获得122ppa，后者则是表征为求两条直线方程交点获得该式．本研究启示我们，虽然“新手”的解答没有“专家”的简洁、机智，但他的方法更为合乎情理、自然，并且有着明显的教育特征，他在解答过程中每一次对问题的表征，我们都可以寻找到教学中日常训练的痕迹，因此，通过合理训练，即使“新手”，也可以解决复杂数学问题．而“专家”对数学问题表征更多地源自数学直觉，仅仅通过训练（即使是科学训练）恐难达到．参考文献[1]约翰.安德森著,秦裕林等译.认知心理学及其启示[M](第7版).人民邮电出版社：249.[2]邢强,张金桥.国外复杂问题解决研究综述[J].心理学动态.第9卷第1期:12-18.