应用多元统计分析课后答案-朱建平版

2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)pXXXX的联合分布密度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是12(,,)pXXXX的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p。2.2设二维随机向量12()XX服从二元正态分布，写出其联合分布。解：设12()XX的均值向量为12μ，协方差矩阵为21122212，则其联合分布密度函数为1/212221121122221221211()exp()()22fxxμxμ。2.3已知随机向量12()XX的联合密度函数为121212222[()()()()2()()](,)()()dcxabaxcxaxcfxxbadc其中1axb，2cxd。求（1）随机变量1X和2X的边缘密度函数、均值和方差；（2）随机变量1X和2X的协方差和相关系数；（3）判断1X和2X是否相互独立。（1）解：随机变量1X和2X的边缘密度函数、均值和方差；112121222[()()()()2()()]()()()dxcdcxabaxcxaxcfxdxbadc12212222222()()2[()()2()()]()()()()ddccdcxaxbaxcxaxcdxbadcbadc121222202()()2[()2()]()()()()ddccdcxaxbatxatdtbadcbadc22121222202()()[()2()]1()()()()dcdcdcxaxbatxatbadcbadcba所以由于1X服从均匀分布，则均值为2ba，方差为212ba。同理，由于2X服从均匀分布2121,()0xxcdfxdc其它，则均值为2dc，方差为212dc。（2）解：随机变量1X和2X的协方差和相关系数；12cov(,)xx12121212222[()()()()2()()]22()()dbcadcxabaxcxaxcabdcxxdxdxbadc()()36cdba1212cov(,)13xxxx（3）解：判断1X和2X是否相互独立。1X和2X由于121212(,)()()xxfxxfxfx，所以不独立。2.4设12(,,)pXXXX服从正态分布，已知其协方差矩阵为对角阵，证明其分量是相互独立的随机变量。解：因为12(,,)pXXXX的密度函数为1/21111(,...,)exp()()22ppfxxΣxμΣxμ又由于21222pΣ22212pΣ212122111pΣ则1(,...,)pfxx211/22222121221111exp()()221pppΣxμΣxμ222123111222212()()()1111exp...2222pppppxxx2121()1exp()...()22piipiiixfxfx则其分量是相互独立。2.6渐近无偏性、有效性和一致性；2.7设总体服从正态分布，~(,)pNXμΣ，有样本12,,...,nXXX。由于X是相互独立的正态分布随机向量之和，所以X也服从正态分布。又111()nnniiiiiEEnEnnXXXμμ2211111()nnniiiiiDDnDnnnΣXXXΣ所以~(,)pNXμΣ。2.8方法1：11ˆ()()1niiinΣXXXX111niiinnXXXX11ˆ()()1niiiEEnnΣXXXX111niiiEnEnXXXX111(1)11ninnnnnΣΣΣΣ。方法2：1()niiiSX-X)(X-X1((niiiX-μXμ)X-μXμ)11()()2()()()nniiiiinX-μX-μX-μX-μXμ)(XμXμ1()()2()()niiinnX-μX-μXμ)(XμXμ)(Xμ1()()()niiinX-μX-μXμ)(Xμ11()()()()11niiiEEnnnSX-μX-μXμ)(Xμ11()()()1niiiEnEnX-μX-μXμ)(XμΣ。故1nS为Σ的无偏估计。2.9.设(1)(2)()nX,X,...,X是从多元正态分布~(,)pNXμΣ抽出的一个简单随机样本，试求S的分布。证明：设******()***111ijnnnΓ为一正交矩阵，即ΓΓI。令12n12nΖ=(ΖΖΖ)=XXXΓ，(1,2,3,4,),iniXΓ由于独立同正态分布且为正交矩阵所以12()n独立同正态分布。且有11nniinΖΧ，11()()nniiEEnnΖΧμ，()VarnZΣ。1()()(1,2,3,,1)naajjjEEranΖΧ11najjnnrμ10najnjinrrμ1()()naajjjVarVarrΖΧ2211nnajjajjjrVarrΧΣΣ所以121nΖΖΖ独立同(0,)NΣ分布。又因为1()()njjiSXXXX1njjjnXXXX因为1111nniinniinnnnnnXXXXZZ又因为nnnjjjXXXXXXXX212111212nnXXXXXΓΓX1212nnZZZZZZ所以原式nnnjjjnnnjjjZZZZZZXX111122...nnnnZZZZZZ-ΖΖ故11njjjS，由于121,,,nZZZ独立同正态分布(0,)pNΣ，所以11~(1,)njjpjWnS2.10.设()iiXnp是来自(,)piiNμΣ的简单随机样本，1,2,3,,ik，（1）已知2...k1μμμμ且2...k1ΣΣΣΣ，求μ和Σ的估计。（2）已知2...k1ΣΣΣΣ求2,,...,,k1μμμ和Σ的估计。解：（1）11121ˆ...ankaiaiknnnμxx，1112ˆ...ankaaiiaiknnnxxxxΣ(2)1ln(,,,)kLμμΣ2111ln()exp[]2anknpaaiaiaai2-1Σ(x-μ)Σ(x-μ)1111ln()ln()ln222ankaaiaiaainLpn2-1μ,ΣΣ(x-μ)Σ(x-μ)21111ln(,)1()()022ankaaiaiaaiLnμΣΣXμXμΣΣ11ln(,)()0(1,2,...,)jnjijjijLjkμΣΣXμμ解之，得11ˆjnjjijijnμxx，1112ˆ...jnkjjjiknnnijijxxxxΣ第三章3.1试述多元统计分析中的各种均值向量和协差阵检验的基本思想和步骤。其基本思想和步骤均可归纳为：第一，提出待检验的假设和H1；第二，给出检验的统计量及其服从的分布；第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域；第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。均值向量的检验：统计量拒绝域均值向量的检验：在单一变量中当2已知0()Xzn/2||zz当2未知0()XtnS/2||(1)ttn（2211()1niiSXXn作为2的估计量）一个正态总体00Hμμ：协差阵Σ已知212000()()~()TnpXμΣXμ220T协差阵Σ未知2(1)1~(,)(1)npTFpnpnp2(1)npTFnp（2100(1)[()()]TnnnXμSXμ）两个正态总体012Hμμ：有共同已知协差阵2120()()~()nmTpnmXYΣXY220T有共同未知协差阵2(2)1~(,1)(2)nmpFTFpnmpnmpFF（其中21(2)()()nmnmTnmnmnmXYSXY）协差阵不等mn-1()~(,)npnFFpnppZSZFF协差阵不等mn1()~(,)npnFFpnpp-ZSZFF多个正态总体kH210：单因素方差(1)~(1,)()SSAkFFknkSSEnkFF多因素方差~(,,1)pnkkEETAE协差阵的检验检验0ΣΣ0pHΣI：/2/21exp2npnetrnSS00pHΣΣI：/2/2**1exp2npnetrnSS检验12kΣΣΣ012kHΣΣΣ：统计量/2/2/2/211iikknnpnnpkiiiinnSS3.2试述多元统计中霍特林分布和威尔克斯分布分别与一元统计中t分布和F分布的关系。答：（！）霍特林分布是t分布对于多元变量的推广。22212()()()()nXtnXSXS而若设~(,)pNXμΣ，~(,)pWnSΣ且X与S相互独立，pn，则称统计量的分布为非中心霍特林T2分布。若~(,)pNX0Σ，~(,)pWnSΣ且X与S相互独立，令21TnXSX，则21~(,1)npTFpnpnp。（2）威尔克斯分布在实际应用中经常把统计量化为2T统计量进而化为F统计量，利用F统计量来解决多元统计分析中有关检验问题。与F统计量的关系p1n2nF统计量及分别任意任意1111111(,,1)~(,1)(,,1)nppnFpnpppn任意任意211111(,,2)~(2,2())(,,2)pnnpFpnpppn1任意任意112212121(1,,)~(,)(1,,)nnnFnnnnn2任意任意121212121(2,,)1~(2,2(1))(2,,)nnnFnnnnn3.3试述威尔克斯统计量在多元方差分析中的重要意义。答：威尔克斯统计量在多元方差分析中是用于检验均值的统计量。012kHμμμ：1ijHijμμ：至少存在使用似然比原则构成的检验统计量为~(,,1)pnkkEETAE给定检验水平，查Wilks分布表，确定临界值，然后作出统计判断。第四章4.1简述欧几里得距离与马氏距离的区别和联系。答：设p维欧几里得空间中的两点X=和Y=。则欧几里得距离为。欧几里得距离的局限有①在多元数据分析中，其度量不合理