专题：基本不等式常见题型归纳(学生版)

第1页共6页专题：基本不等式基本不等式求最值利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．三个不等式关系：（1）a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．（2）a，b∈R＋，a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．（3）a，b∈R，a2＋b22≤(a＋b2)2，当且仅当a＝b时取等号．上述三个不等关系揭示了a2＋b2，ab，a＋b三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a，b∈R＋，a＋b≥2ab(或ab≤(a＋b2)2)，当且仅当a＝b时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】已知1＞＞ba且7log3log2abba，则112ba的最小值为.练习：1．若实数满足，且，则的最小值为．2.若实数,xy满足133(0)2xyxx，则313xy的最小值为．3.已知0,0,2abc，且2ab，则522acccbabc的最小值为.【典例2】已知x，y为正实数，则4x4x＋y＋yx＋y的最大值为．【典例3】若正数a、b满足3abab,则ab的最小值为__________.变式：1.若,abR,且满足22abab,则ab的最大值为_________.2.设0,0yx，822xyyx，则yx2的最小值为_______3.设Ryx,，1422xyyx，则yx2的最大值为_________4.已知正数a，b满足195abab，则ab的最小值为,xy0xy22loglog1xy22xyxy第2页共6页【题型二】含条件的最值求法【典例4】已知正数yx,满足1yx，则1124yx的最小值为练习1．已知正数yx,满足111yx，则1914yyxx的最小值为.2.已知正数满足，则的最小值为．3．已知函数(0)xyabb的图像经过点(1,3)P，如下图所示，则411ab的最小值为.4．己知a，b为正数，且直线与直线互相平行，则2a+3b的最小值为________．5.常数a，b和正变量x，y满足ab＝16，ax＋2by＝12.若x＋2y的最小值为64，则ab＝________.6.已知正实数,ab满足12122abbbaa，则ab的最大值为．,xy22xy8xyxy60axby2(3)50xby第3页共6页【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知14ab，,(0,1)ab，则1211ab的最小值为．练习1．设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是．2．已知正实数x，y满足，则x+y的最小值为．3．已知正实数,xy满足(1)(1)16xy，则xy的最小值为．4.若2,0ba，且3ba，则使得214ba取得最小值的实数a=。5.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是_________6.已知Rzyx,,，且1zyx，3222zyx，求xyz的最大值为______第4页共6页【题型四】换元法【典例6】已知函数f(x)＝ax2＋x－b(a，b均为正数)，不等式f(x)＞0的解集记为P，集合Q＝{x|－2－t＜x＜－2＋t}．若对于任意正数t，P∩Q≠，则1a－1b的最大值是．2．已知正数a，b，c满足b+c≥a，则+的最小值为．练习1．若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则的最大值为．2．设是正实数,且,则的最小值是____.3..若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则x－2y5x2－2xy＋2y2的最大值为．244．若实数满足，当取得最大值时，的值为.222522xyxxyy,xy1xy2221xyxy第5页共6页【题型五】判别式法【典例7】已知正实数x，y满足24310xyxy，则xy的取值范围为．练习1.若正实数满足，则的最大值为．2.设Ryx,，1322xyyx，则yx2的最大值为________变式1．在平面直角坐标系xOy中，设点(10)A，，(01)B，，()Cab，，()Dcd，，若不等式2(2)()()CDmOCODmOCOBODOAuuuruuuruuuruuuruuuruuuruur≥对任意实数abcd，，，都成立，则实数m的最大值是．【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、分离参数法、换主元法．判别式法：将所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数),0()(2Rxacbxaxxf,有1）0)(xf对Rx恒成立00a2）0)(xf对Rx恒成立.00a分离变量法：若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值。一般地有：1）为参数）aagxf)(()(恒成立max)()(xfag2）为参数）aagxf)(()(恒成立max)()(xfag确定主元法：如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。2．设二次函数cbxaxxf2（cba,,为常数）的导函数为xf'．对任意Rx，不等式xfxf'恒成立，则222cab的最大值为．第6页共6页【题型六】分离参数法【典例8】已知x＞0，y＞0，若不等式x3+y3≥kxy（x+y）恒成立，则实数k的最大值为_______．练习1．已知对满足42xyxy的任意正实数,xy，都有22210xxyyaxay，则实数a的取值范围为.2．若不等式x2＋2xy≤a(x2＋y2)对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为．