专题：基本不等式常见题型归纳(教师版)

第1页共11页专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（1）a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．（2）a，b∈R＋，a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．（3）a，b∈R，a2＋b22≤(a＋b2)2，当且仅当a＝b时取等号．上述三个不等关系揭示了a2＋b2，ab，a＋b三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a，b∈R＋，a＋b≥2ab(或ab≤(a＋b2)2)，当且仅当a＝b时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知1＞＞ba且7log3log2abba，则112ba的最小值为.【解析】∵1＞＞ba且7log3log2abba∴32log7logaabb，解得1log2ab或log3ab，∵1＞＞ba∴1log2ab，即2ab．2111111aaba121131aa．练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数满足，且，则的最小值为．解析：由log2x+log2y=1可得log2xy=1=log22，则有xy=2，那么==（x－y）+≥2=4，当且仅当（x－y）=，即x=+1，y=－1,xy0xy22loglog1xy22xyxyyxyx22yxxyyx2)(2yx4yxyx4)(yx433第2页共11页时等号成立，故的最小值为4．2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数,xy满足133(0)2xyxx，则313xy的最小值为．3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知0,0,2abc，且2ab，则522acccbabc的最小值为.【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x，y为正实数，则4x4x＋y＋yx＋y的最大值为．解析：由于4x4x＋y＋yx＋y=))(4()4()(4yxyxyxyyxx=22225484yxyxyxyx=1+22543yxyxxy=1+345xyyx≤1+5423xyyx=43，当且仅当4yx=xy，即y=2x时等号成立．【典例3】若正数a、b满足3abab,则ab的最小值为__________.解析：由,abR,得223(),()4()1202ababababab,解得6ab(当且仅当ab且3abab,即3ab时,取等号).变式：1.若,abR,且满足22abab,则ab的最大值为_________.解析：因为,abR,所以由22222()2ababababab,2()ab2()0ab,解得02ab(当且仅当ab且22abab,即1ab时,取等号).2.设0,0yx，822xyyx，则yx2的最小值为_______43.设Ryx,，1422xyyx，则yx2的最大值为_________10524.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数a，b满足195abab，则ab的最小值为yxyx22第3页共11页【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数yx,满足1yx，则1124yx的最小值为练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数yx,满足111yx，则1914yyxx的最小值为.解析：对于正数x，y，由于x1+y1=1，则知x1，y1，那么14xx+14yy=（14xx+14yy）（1+1－x1－y1）=（14xx+14yy）（xx1+yy1）≥（xxxx114+yyyy114）2=25，当且仅当14xx·yy1=14yy·xx1时等号成立．2.（2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数满足，则的最小值为．解析：，当且仅当时，取等号．故答案为：9．3．（南通市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数(0)xyabb的图像经过点(1,3)P，如下图所示，则411ab的最小值为.,xy22xy8xyxy8181828814529222xyxyxyxyxyyxyxyxyx82xyyx第4页共11页解析：由题可得a+b=3，且a1，那么14a+b1=21（a－1+b）（14a+b1）=21（4+ba1+14ab+1）≥21（2141abba+5）=29，当且仅当ba1=14ab时等号成立．4．（江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试·12）己知a，b为正数，且直线与直线互相平行，则2a+3b的最小值为________．【解析】由于直线ax+by－6=0与直线2x+（b－3）y+5=0互相平行，则有=，即3a+2b=ab，那么2a+3b=（2a+3b）·=（2a+3b）（+）=++13≥2+13=25，当且仅当=，即a=b时等号成立．5.常数a，b和正变量x，y满足ab＝16，ax＋2by＝12.若x＋2y的最小值为64，则ab＝________.答案：64；(考查基本不等式的应用).6.已知正实数,ab满足12122abbbaa，则ab的最大值为．答案：【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知14ab，,(0,1)ab，则1211ab的最小值为．解析：由14ab得14ab，2221211424122711411451451abbbbbbbbbbb令71bt则2271494942111418451427183427btbbtttt当且仅当322t即32214等号成立．60axby2(3)50xby2a3bbabba23b3a2ba6ab6abba66ba6ab62223第5页共11页练习1．（江苏省扬州市2015届高三上学期期末·12）设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是．解析：由x2＋2xy－1＝0可得y=212xx，那么x2＋y2=x2＋222(1)4xx=54x2+214x－12≥2225144xx－12=52－12，当且仅当54x2=214x，即x4=15时等号成立．2．（苏州市2014届高三调研测试·13）已知正实数x，y满足，则x+y的最小值为．解析：∵正实数x，y满足xy+2x+y=4，∴（0＜x＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3，当且仅当第6页共11页时取等号．∴x+y的最小值为．故答案为：．3．（南通市2014届高三第三次调研测试·9）已知正实数,xy满足(1)(1)16xy，则xy的最小值为．解析：∵正实数x，y满足（x﹣1）（y+1）=16，∴1116yx，∴x+y=8116121116yyyy，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y的最小值为8．故答案为：8．4.（扬州市2017届高三上学期期中）若2,0ba，且3ba，则使得214ba取得最小值的实数a=。5.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是_________6.已知Rzyx,,，且1zyx，3222zyx，求xyz的最大值为______【题型四】换元法【典例6】（南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试·13）已知函数f(x)＝ax2＋x－b(a，b均为正数)，不等式f(x)＞0的解集记为P，集合Q＝{x|－2－t＜x＜－2＋t}．若对于任意正数t，P∩Q≠，则1a－1b的最大值是．【解析】由题意可知任意正数t，集合Q＝{x|－2－t＜x＜－2＋t}，构成的集合tQ的交集为2，即2420,42fabba，21111324242aabaaaa，令32au，211999144104182410uabuuuu，当且仅当1u，等号成立，1,a或13a（舍）∵0,b故12a．则1a－1b的最大值是12．2．（2016年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州高考数学一模试卷·14）已知正数a，b，c满足b+c≥a，则+的最小值为．解法一：∵正数a，b，c满足b+c≥a，第7页共11页∴+≥+=（+）+﹣=+﹣≥﹣当且仅当=时取等号．故答案为：﹣解法二：由acb得1bacc，令bxc，ayc，则1xy，1bcxcabxy，所以111111112122212212222bcxxxcabxyxx，当且仅当212x时等号成立．故baccb的最小值为122．练习1．（江苏省南京市2016届高三第三次模拟·14）若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则的最大值为．解析：由2x2＋xy－y2＝1可得，，令，则，，，代入得，令，则，当且仅当时取等号，故的最大值为．2．设是正实数,且,则的最小值是____.解:设,,则,所以=222522xyxxyy21xyxy2xyt1xyt113xtt123ytt222522xyxxyy2211tttt1tmt222211212224tmmtmmtmtm2m222522xyxxyy24,xy1xy2221xyxy2xs1yt4st2221xyxy22(2)(1)41(4)(2)stststst第8页共11页.因为所以.3..若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则x－2y5x2－2xy＋2y2的最大值为．244．（江苏省苏、锡、常、镇2016届高三数学教学情况调查数学试题（一）·14）若实数满足，则当取得最大值时，的值为5.解析：当时，取最大值8，，取得最大值，解得，故.【题型五】判别式法【典例7】南通市2015届高三第三次调研测试14．已知正实数x，y满足24310xyxy，则xy的取值范围为．【解析】设，则，代入得：，由，解得，即xy的取值范围为.4141()()6()2ststst41141149()()(5)444tsstststst221214xyxy第9页共11页练习1.（泰州市2016届高三第一次模拟·13）若正实数满足，则的最大值为．【解析】令，则，因此，当时，，因此的最大值为2.设Ryx,，1322xyyx，则yx2的最大值为________1120变式1．（江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题·14）在平面直角坐标系xOy中，设点(10)A，，(01)B，，()Cab，，()Dcd，，若不等式2(2)()()CDmOCODmOCOBODOAuuuruuuruuuruuuruuuruuuruur≥对任意实数abcd，，，都成立，则实数m的最大值是．解析：由题意得：22()()(2)()acbdmacbdmbc≥，2222++()acbdmacbdbc≥2222()+(+)amcacbdmbdmbc≥0对任意实数a都成立，因此2222()4(+)mccbdmbdmbc0，即2222444()()dmbdcbmbcmc0对任意实数d都成立，即222221(4)44(444)mbcbmbcmc0，22222(4)44mbmbccmc