全等三角形讲义(全面上新课用)

全等三角形讲义一、知识点总结全等三角形定义：形状大小相同，并且能够完全重合的两个三角形叫做全等形三角形。补充说明：重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等全等三角形判定定理：（1）边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等。（简称SSS）（2）边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(简称SAS)（3）角边角定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（简称ASA）（4）角角边定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（简称AAS）（5）斜边、直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（简称HL）角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等.ABCPMNO∵OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，∴PM=PN角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.ABCPMNO∵PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN∴OP平分∠AOB三角形的角平分线的性质：三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。二、典型例题举例例1、如图,△ABN≌△ACM,∠B和∠C是对应角,AB与AC是对应边,写出其他对应边和对应角.例2、如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．求证：△ABD≌△ACD．DCBA例3、已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．例4、如图：D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C．求证AD＝AE．例5、如图：∠1=∠2，∠3=∠4求证：AC=AD例6、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由CADB111122134例7、如图1，△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由.例8、如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF，EF，求证DF＝EF例9、如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等例10、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是282cm，AB＝20cm，AC＝8cm，求DE的长．AGFCBDE图1AEBDCFABCDEDCEFBA例10、已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，求证：①△BEC≌△DAE；②DF⊥BC．例11、如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C，D是垂足，连接CD，求证:（1）∠ECD=∠EDC；（2）OD=OC；（3）OE是CD的中垂线.CEDBAO三、专题版块专题一：全等三角形的判定和性质的应用例1、如图，在△ABC中，AB=AC，BAC=40°,分别以AB、AC为边作两个等腰三角形ABD和ACE，使∠BAD=∠CAE=90°.(1)求∠DBC的度数.(2)求证：BD=CE.例2、如图，AB∥CD,AF∥DE,BE=CF,求证：AB=CD.例3、如图在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB边上的高，在BE延长线上截取BM＝AC，在CF延长线上截到CN＝AB，求证：AM＝AN。例4、如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB边上两条高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截到CG＝AB，连接AD、AG，则AD与AG之间BCDEFAABCNMEFAGBCEDFBACDFE有何关系？证明你的结论。(例5、如图，等边△ABC和等边△CDE，A、C、E三点在一条直线上，点M为AD中点，点N为BE中点，。（1）求证：△CMN是等边三角形（2）将△CDE绕点C旋转，则下列结论发生变化吗？①AD＝BE；②AD与BE相交所成的角的度数；③△CMN为等边三角形。专题二：通过证明全等三角形，证明线段相等或平行、例1、如图，已知△ABC△DEF,且点D与点A对应.求证：（1）AB∥DE;(2)DC=AF例2、如图,已知:AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．专题三：线段之间数量关系例1、已知：如图，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求证：AB=AC+CD．ACBDEMNACEDBMN例2、如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC上一点，分别过A.C作BD的垂线，垂足分别为E.F,求证：EF＝CF－AE.例3、已知：如图所示，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，判断PM与PN的关系．例4、如图所示，P为∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP=180°，若OC=4cm，求AO+BO的值．例5、已知：如图，四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，且B+D=180，求证：AE=AD+BEABDCE126、如图，AB∥CD，∠ABE＝∠EBC，∠ECB＝∠ECD，求证：BC＝AB＋CD。专题四：角平分线问题例1、如图，AD⊥DC，BC⊥DC，E是DC上一点，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，求证：点E是DC中点。ABCD12ABCFDEPDACBMNPDACBOABCDEACEDB例2、如图，已知BF是∠DBC的平分线，CF是∠ECB的平分线，求证：点F在∠BAC的平分线上。例3、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于O点，求证：①AE＋CD=AC.②若已知AE＋CD=AC求证：∠B=60°例4、在△ABC中D是BC中点ED⊥DF分别交AB、AC于E、F点试比较BE+CF与EF的大小例5、如图，△ABC中，AD是∠A的平分线，E、F分别为AB、AC上一点，且∠EDF＋∠BAF=180°，求证：DE=DF.DOCEBAABCDEFABCFEDABCDEFEABDCBACDEADCBFE四、全等三角形练习试题基础题1、如图，在Rt△ABC中，AB=AC，AD⊥BC,垂足为D，E,F分别为CD,AD上的点，且CE=AF，如果∠AED=62°,则∠DBF=()A.62°B.38°C.28°D50°（5）2、如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于E点，则∠AEC+∠DEB=3、如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，12，34．求证：（1）ABCADC△≌△；（2）BODO．4、如图，在Rt△ABC中，∠=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC=15cm,且CD:AD=2:3,求点D到AB的距离。5、如图，AD=BC,AD∥BC,AE=FC.求证：BE∥DF.6、如图，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，图中全等三角形共有______对.DCBAO1234ABCDEF7、在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______.8、如图，AD，A′D′分别是锐角三角形ABC和锐角三角形A′B′C′中BC，B′C′边上的高，且AB＝A′B′，AD＝A′D′．若使△ABC≌△A′B′C′，请你补充条件________.（填写一个你认为适当的条件即可）9、如图，∠DCE=90o，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B，试说明AD+AB＝BE.中档题1、如图，已知BE⊥AD，交AD延长线于点E，CF⊥AD，且BE=CF，请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线，并说明你判断的理由.2、如图，CF,BE是△ABC高，且BP=AC,CQ=AB,试判断AP与AQ的数量关系，并证明.ABCDA′B′D′C′DCBAEABCPQEFCABPEFDBFACE（3、如图，P是∠BAC内一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E和F,AE=AF.（1）求证：PE=PF；（2）∠CAP与∠BAP相等吗？为什么？(4、如图，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF和CE交于点D，且BE=CF，求证：AD平分∠BAC5、如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．6、如图17所示，在∠AOB的两边上截取AO＝BO，OC＝OD，连接AD、BC交于点P，连接OP，则下列结论正确的是()①△APC≌△BPD②△ADO≌△BCO③△AOP≌△BOP④△OCP≌△ODPA．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④ABCDPOCABDEABDCPQEADCB能力题1、如图13所示，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=10,求△BDE的周长.2、根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（）A、AB=3,BC=4,CA=8B、AB=4,BC=3,∠A=30°C、∠C=60°,∠B=45°,AB=4D、∠C=90°,AB=63、如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ(4、如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形.求证:BD=CE;∠ABD=∠ACE5、如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．6、如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，求证：BF=CG.ABCEDOPQ7、如图，已知BF＝CE，BC＝EF，AB＝DE，求证：∠A＝∠D，∠AEF＝∠CBD。8、如图，∠B＝∠C，EF⊥BC于E交AB于D，交CA和延长线于F，AM⊥FD于M，求证：FM＝DM。9、如图，已知AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA。（1）过点C作直线DE，分别交AM、BN于点D、E，求证：AB＝AD＋BE（2）如图，若将直线DE绕点C转动，使DE与AM交于点D，与NB的延长线交于点E，则AB、AD、BE三条线段的长度之间存在何种等量关系？谫你给出结论并加以证明。ABCDEFACBEDFMABCDENMABCDMNE