高中数学双曲线抛物线知识点总结

双曲线平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a)的点的轨迹。方程22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab简图范围,xaxayR或,yayaxR或顶点(,0)a(0,)a焦点(,0)c(0,)c渐近线byxaayxb离心率(1)ceea(1)ceea对称轴关于x轴、y轴及原点对称关于x轴、y轴及原点对称准线方程2axc2ayca、b、c的关系222cab考点题型一求双曲线的标准方程1、给出渐近线方程nyxm的双曲线方程可设为2222(0)xymn，与双曲线22221xyab共渐近线的方程可设为2222(0)xyab。2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。（1）虚轴长为12，离心率为54；（2）焦距为26，且经过点M（0，12）；（3）与双曲线221916xy有公共渐进线，且经过点3,23A。_x_O_y_x_O_y解：（1）设双曲线的标准方程为22221xyab或22221yxab(0,0)ab。由题意知，2b=12，cea=54。∴b=6，c=10，a=8。∴标准方程为236164x或2216436yx。（2）∵双曲线经过点M（0，12），∴M（0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a=12。又2c=26，∴c=13。∴222144bca。∴标准方程为22114425yx。（3）设双曲线的方程为2222xyab3,23A在双曲线上∴222331916得14所以双曲线方程为224194xy题型二双曲线的几何性质方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e、a、b、c四者的关系，构造出cea和222cab的关系式。【例2】双曲线22221(0,0)xyabab的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（-1，0）到直线l的距离之和s≥45c。求双曲线的离心率e的取值范围。解：直线l的方程为1xyab，级bx+ay-ab=0。由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离122(1)badab，同理得到点（-1，0）到直线l的距离222(1)badab，122222ababsddcab。由s≥45c，得2abc≥45c，即22252acac。于是得22512ee，即42425250ee。解不等式，得2554e。由于e＞1＞0，所以e的取值范围是552e。【例3】设F1、F2分别是双曲线22221xyab的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使1290FAF，且︱AF1︱=3︱AF2︱，求双曲线的离心率。解：∵1290FAF∴222124AFAFc又︱AF1︱=3︱AF2︱，∴12222AFAFAFa即2AFa，∴222222212222910104AFAFAFAFAFac，∴101042ca即102e。题型三直线与双曲线的位置关系方法思路：1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程组，即2222220AxByCbxayab，对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公共点和相切不是等价的。2、直线与双曲线相交所截得的弦长：221212111lkxxyyk【例4】如图，已知两定点12(2,0),(2,0)FF，满足条件212PFPF的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点，如果63AB，且曲线E上存在点C，使OAOBmOC，求（1）曲线E的方程；（2）直线AB的方程；（3）m的值和△ABC的面积S。yxOBAC解：由双曲线的定义可知，曲线E是以12(2,0),(2,0)FF为焦点的双曲线的左支，且2c，a=1，易知221bca。故直线E的方程为221(0)xyx，(2)设11A(x,y),22B(x,y),由题意建立方程组22y=kx-1x-y=1消去y，得22(1)220kxkx。又已知直线与双曲线左支交于两点A、B，有22212212210,(2)8(1)0,20,120.1kkkkxxkxxk解得21k。又∵22212121211()4ABkxxkxxxx222222222(1)(2)1()4211(1)kkkkkkk依题意得2222(1)(2)263(1)kkk，整理后得422855250kk，∴257k或254k。但21k，∴52k。故直线AB的方程为5102xy。（3）设(,)ccCxy，由已知OAOBmOC，得1122(,)(,)(,)ccxyxymxmy，∴1212(,)(,)(0)ccxxyyxymmm。又1222451kxxk，212122222()22811kyykxxkk，∴点458(,)Cmm。将点C的坐标代入曲线E的方程，的2280641mm，得4m，但当4m时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意。∴4m，C点的坐标为(5,2)，C到AB的距离为225(5)212135()12，∴△ABC的面积1163323S。一、抛物线高考动向：抛物线是高考每年必考之点，选择题、填空题、解答题皆有，要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了如指掌，在高考中才能做到应用自如。（一）知识归纳方程22(0)ypxp22(0)ypxp22(0)xpyp22(0)xpyp图形xyOFlxyOFl顶点（0，0）对称轴x轴y轴焦点(,0)2pF(,0)2pF(0,)2pF(0,)2pF离心率e=1准线:2plx:2plx:2ply:2ply（二）典例讲解题型一抛物线的定义及其标准方程方法思路：求抛物线标准方程要先确定形式，因开口方向不同必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为2ymx或2(0)xmym。【例5】根据下列条件求抛物线的标准方程。xyOFlxyOFl（1）抛物线的焦点是双曲线22169144xy的左顶点；（2）经过点A（2，－3）；（3）焦点在直线x-2y-4=0上；（4）抛物线焦点在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，︱AF︱=5.解：（1）双曲线方程可化为221916xy，左顶点是（-3，0）由题意设抛物线方程为22(0)ypxp且32p，∴p=6.∴方程为212yx（2）解法一：经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：y2＝2px或x2＝－2py．点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝29点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝34∴所求抛物线的标准方程是y2＝29x或x2＝－34y解法二：由于A（2，-3）在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为2ymx或2xny，代入A点坐标求得m=29，n=-34，∴所求抛物线的标准方程是y2＝29x或x2＝－34y（3）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，∴直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为（0，-2），（4，0）。∴焦点为（0，-2），（4，0）。∴抛物线方程为28xy或216yx。（4）设所求焦点在x轴上的抛物线方程为22(0)ypxp，A（m，-3），由抛物线定义得p52AFm，又2(3)2pm，∴1p或9p，故所求抛物线方程为22yx或218yx。题型二抛物线的几何性质方法思路：1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线l的距离处理，例如若P（x0，y0）为抛物线22(0)ypxp上一点，则02pPFx。2、若过焦点的弦AB，11(,)Axy，22(,)Bxy，则弦长12ABxxp，12xx可由韦达定理整体求出，如遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到。【例6】设P是抛物线24yx上的一个动点。（1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线1x的距离之和的最小值；（2）若B（3，2），求PBPF的最小值。解：（1）抛物线焦点为F（1，0），准线方程为1x。∵P点到准线1x的距离等于P点到F（1，0）的距离，∴问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到A（-1，1）的距离与P到F（1，0）的距离之和最小。显然P是AF的连线与抛物线的交点，最小值为5AF（2）同理PF与P点到准线的距离相等，如图：过B做BQ⊥准线于Q点，交抛物线与P1点。∵11PQPF，∴114PBPFPBPQBQ。∴PBPF的最小值是4。题型三利用函数思想求抛物线中的最值问题方法思路：函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。【例7】已知抛物线y＝x2，动弦AB的长为2，求AB的中点纵坐标的最小值。分析一：要求AB中点纵坐标最小值，可求出y1＋y2的最小值，从形式上看变量较多，结合图形可以观察到y1、y2是梯形ABCD的两底，这样使得中点纵坐标y成为中位线，可以利用几何图形的性质和抛物线定义求解。解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x,y)由抛物线方程y＝x2知焦点1F(0,)4,准线方程14y，设点A、B、M到准线的距离分别为|AD1|、|BC1|、|MN|，则|AD1|＋|BC1|＝2|MN|，且1MN=2(y+)4，根据抛物线的定义，有|AD1|＝|AF|、|BC1|＝|BF|,∴12(y+)4＝|AF|＋|BF|≥|AB|＝2，yxAOPF∴12(y+)24∴3y4,即点M纵坐标的最小值为34。分析二：要求AB中点M的纵坐标y的最小值，可列出y关于某一变量的函数，然后求此函数的最小值。解法二：设抛物线y＝x2上点A(a,a2),B(b,b2)，AB的中点为M(x，y)，则2,222baybax∵|AB|＝2，∴(a―b)2＋(a2―b2)＝4，则(a＋b)2－4ab＋(a2＋b2)2－4a2b2＝4则2x＝a＋b,2y＝a2＋b2,得ab＝2x2－y,∴4x2―4(2x2―y)＋4y2―4(2x2―y)＝4整理得14122xxy434114141241141)14(4122xxy即点M纵坐标的最小值为3/4。练习：1、以y=±32x为渐近线的双曲线的方程是（）Ａ、3y2―2x2=6Ｂ、9y2―8x2=1C、3y2―2x2=1D、9y2―4x2=36【答案D】解析：A的渐近线为2y=3x，B的渐近线为22y=3xC的渐近线为2y=3x，只有D的渐近线符合题意。2、若双曲线221xy的左支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为2，则a+b的值为（）A、12B、12C、2D、2【答案A】解析：∵P在双曲线上，∴221ab即（a+b）（a-b）=1又P（a，b）到直线y=x的距离为2∴22ab且ab即2ab∴a+b=123、如果抛物线的顶点在原点、对称轴为x轴，焦点在直线34120xy上，那么抛物线的方程是（）A、216yxB、212yxC、216yxD、212yx【答案C】解析：令x=0得y=－3，令y=0得x=4，∴直线34120xy与坐标轴的交点为（0，-3），（4，0）。∴焦点为（0，-3），（4，0）。∴抛物线方程为212xy或216yx。4、若抛物线y=41x2上一点P到焦点F的距离为5，则P点的坐标是A.（4，±4）B.（±4，4）C.（1679，±879）D.（±879，1679）【答案B】解析：抛物线的焦点是（0，