高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)

高中数学讲义之解析几何1圆锥曲线第2讲双曲线【知识要点】一、双曲线的定义1.双曲线的第一定义：平面内到两个定点1F、2F的距离之差的绝对值等于定长a2（2120FFa）的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。注1：在双曲线的定义中，必须强调：到两个定点的距离之差的绝对值（记作a2），不但要小于这两个定点之间的距离21FF（记作c2），而且还要大于零，否则点的轨迹就不是一个双曲线。具体情形如下：（ⅰ）当02a时，点的轨迹是线段21FF的垂直平分线；（ⅱ）当ca22时，点的轨迹是两条射线；（ⅲ）当ca22时，点的轨迹不存在；（ⅳ）当ca220时，点的轨迹是双曲线。特别地，若去掉定义中的“绝对值”，则点的轨迹仅表示双曲线的一支。注2：若用M表示动点，则双曲线轨迹的几何描述法为aMFMF221（ca220，cFF221），即2121FFMFMF。2.双曲线的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e（1e）的点的轨迹叫做双曲线。二、双曲线的标准方程1.双曲线的标准方程（1）焦点在x轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是12222byax（0a，0b）；高中数学讲义之解析几何2（2）焦点在y轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是12222bxay（0a，0b）.注：若题目已给出双曲线的标准方程，那其焦点究竟是在x轴还是在y轴，主要看实半轴跟谁走。若实半轴跟x走，则双曲线的焦点在x轴；若实半轴跟y走，则双曲线的焦点在y轴。2.等轴双曲线当双曲线的实轴与虚轴等长时（即ba22），我们把这样的双曲线称为等轴双曲线，其标准方程为22yx（0）注：若题目已明确指出所要求的双曲线为等轴双曲线，则我们可设该等轴双曲线的方程为22yx（0），再结合其它条件，求出的值，即可求出该等轴双曲线的方程。进一步讲，若求得的0，则该等轴双曲线的焦点在x轴、中心在坐标原点；若求得的0，则该等轴双曲线的焦点在y轴、中心在坐标原点。三、双曲线的性质以标准方程12222byax（0a，0b）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。（1）范围：ax，即ax或ax；（2）对称性：关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称；（3）顶点：左、右顶点分别为)0,(1aA、)0,(2aA；（4）焦点：左、右焦点分别为)0,(1cF、)0,(2cF；（5）实轴长为a2，虚轴长为b2，焦距为c2；（6）实半轴a、虚半轴b、半焦距c之间的关系为222bac；（7）准线：cax2；高中数学讲义之解析几何3（8）焦准距：cb2；（9）离心率：ace且1e.e越小，双曲线的开口越小；e越大，双曲线的开口越大；（10）渐近线：xaby；（11）焦半径：若),(00yxP为双曲线12222byax右支上一点，则由双曲线的第二定义，有aexPF01，aexPF02；（12）通径长：ab22.注1：双曲线12222bxay（0a，0b）的准线方程为cay2，渐近线方程为xbay。注2：双曲线的焦准距指的是双曲线的焦点到其相应准线的距离。以双曲线12222byax的右焦点)0,(2cF和右准线l：cax2为例，可求得其焦准距为cbcaccac2222；注3：双曲线的焦点弦指的是由过双曲线的某一焦点与该双曲线交于不同两点的直线所构成的弦。双曲线的通径指的是过双曲线的焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是双曲线的所有焦点弦中最短的弦。设双曲线的方程为12222byax（0a，0b），过其焦点)0,(2cF且垂直于x轴的直线交该双曲线于A、B两点（不妨令点A在x轴的上方），则),(2abcA，),(2abcB，于是该双曲线的通径长为abababAB2222)(.四、关于双曲线的标准方程，需要注意的几个问题（1）关于双曲线的标准方程，最基本的两个问题是：其一，当题目已指明曲线的位置特征，并给出了“特征值”（指a、b、c的值或它们之间的关系，由这个关系结合222bac，高中数学讲义之解析几何4我们可以确定出a、b、c的值）时，我们便能迅速准确地写出双曲线的标准方程；其二，当题目已给出双曲线的标准方程时，我们便能准确地判断出双曲线的位置特征，并能得到a、b、c的值。（2）双曲线的标准方程中的参数a、b、c是双曲线所固有的，与坐标系的建立无关；a、b、c三者之间的关系：222bac必须牢固掌握。（3）求双曲线的标准方程，实质上是求双曲线的标准方程中的未知参数a、b。根据题目已知条件，我们列出以a、b为未知参数的两个方程，联立后便可确定出a、b的值。特别需要注意的是：若题目中已经指明双曲线的焦点在x轴或y轴上，则以a、b为未知参数的方程组只有一个解，即a、b只有一个值；若题目未指明双曲线的焦点在哪个轴上，则以a、b为未知参数的方程组应有两个解，即a、b应有两个值。（4）有时为方便解题，中心在坐标原点的双曲线的方程也可设为122nymx，但此时m、n必须满足条件：0mn.（5）与椭圆不同，双曲线中，c最大，离心率1e，它除了有准线，还有渐近线，而且渐近线是双曲线特有的性质。对于渐近线：①要掌握渐近线的方程；②要掌握渐近线的倾斜角、斜率的求法；③会利用渐近线方程巧设双曲线方程，再运用待定系数法求出双曲线的方程。（6）双曲线12222byax（0a，0b）的渐近线方程可记为02222byax，即xaby；双曲线12222bxay（0a，0b）的渐近线方程可记为02222bxay，即xbay.特别地，等轴双曲线22yx（0）的渐近线方程为xy.反过来讲，若已知某一双曲线的渐近线方程为xmny（m，n为给定的正数），则该双曲线的实半轴a与虚半轴b具有关系：mnab或mnba.（7）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.高中数学讲义之解析几何5证明：设双曲线的方程为12222byax（0a，0b），其左、右焦点为)0,(1cF、)0,(2cF，渐近线方程为xaby，即0aybx.则焦点)0,(1cF到渐近线0aybx的距离bcbccbcabacbd22210)(，焦点)0,(2cF到渐近线0aybx的距离bcbccbcabacbd22220.显然bdd21故双曲线12222byax的焦点到其渐近线的距离为b（8）与椭圆类似，求双曲线的离心率e的值，就是要寻找除222bac这一等量关系之外a、b、c之间的另一等量关系；求双曲线的离心率e的取值范围，就是要寻找a、b、c之间的不等关系，有时还要适当利用放缩法，这里面体现了方程和不等式的数学思想。【例题选讲】题型1：双曲线定义的应用1.若一动点),(yxP到两个定点)0,1()0,1(21FF、的距离之差的绝对值为常数a（20a），求点P的轨迹方程.解：由题意知，aPFPF21（20a），221FF（ⅰ）当0a时，21210PFPFPFPF此时点P的轨迹是线段21FF的垂直平分线，其方程为0x（ⅱ）当2a时，2121FFPFPF此时点P的轨迹是两条射线，其方程分别为)1(0xy或)1(0xy（ⅲ）当20a时，2121FFPFPF高中数学讲义之解析几何6此时点P的轨迹是以)0,1()0,1(21FF、为左、右焦点的双曲线，其中实半轴长为a21，半焦距1c，虚半轴41)21(222aacb，所以其方程为14142222ayax.2.方程8)6()6(2222yxyx表示的曲线是（）A.椭圆B.双曲线C.双曲线的左支D.双曲线的右支解：设),(yxP是平面内一点，)0,6(1F，)0,6(2F则方程8)6()6(2222yxyx即为812PFPF该式表示平面内一点),(yxP到两个定点)0,6(1F、)0,6(2F的距离之差等于定长8.显然128。故由双曲线的第一定义知，点),(yxP的轨迹是双曲线，但仅是双曲线的左支。3.已知两圆1C：2)4(22yx，2C：2)4(22yx，动圆M与两圆1C、2C都相切.则动圆圆心M的轨迹方程是__________.解：圆1C：2)4(22yx的圆心为)0,4(1C，半径为2；圆2C：2)4(22yx的圆心为)0,4(2C，半径为2.动圆M与两圆1C、2C都相切，有以下四种情况：（ⅰ）动圆M与两圆1C、2C都外切；（ⅱ）动圆M与两圆1C、2C都内切；（ⅲ）动圆M与圆1C外切、与圆2C内切；（ⅳ）动圆M与圆1C内切、与圆2C外切.设动圆M的半径为r由（ⅰ）知，221rMCMC；由（ⅱ）知，221rMCMC于是由（ⅰ）、（ⅱ）可知，点M的轨迹方程是线段21CC的垂直平分线，其方程为0x由（ⅲ）知，21rMC，22rMC高中数学讲义之解析几何72121822)2()2(CCrrMCMC由（ⅳ）知，21rMC，22rMC2112822)2()2(CCrrMCMC于是由（ⅲ）、（ⅳ）有，2121822CCMCMC这表明，点M的轨迹方程是以)0,4(1C、)0,4(2C为左、右焦点的双曲线，其中222a，82c14216,4,2222acbca即由（ⅲ）、（ⅳ）可知，点M的轨迹方程为114222yx故动圆圆心M的轨迹方程是114222yx或0x4.已知直线1kxy与双曲线122yx有且仅有一个公共点，则k=__________.解：联立1122kxyyx得，022)1(22kxxk（ⅰ）当012k，即1k时，直线1kxy与双曲线122yx有且仅有一个公共点)0,1(或)0,1(，不满足题意.（ⅱ）当012k，即1k时，由直线与双曲线有且仅有一个公共点可知，084)2)(1(4)2(222kkk，解得2k故1k或2k5.已知过点)0,1(P的直线与双曲线112422yx的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是__________.解：在双曲线112422yx中，16124,12,422222bacba高中数学讲义之解析几何84,32,2cba由直线与双曲线的右支交于A、B两点知，直线AB的斜率0k由直线AB过点)0,1(P可知，直线AB的方程为)1(0xky，即)1(xky设),(11yxA，),(22yxB联立)1(112422xkyyx，得0122)3(2222kxkxk（2x）由题设条件及韦达定理，有031231203232014436)12)(3(4)2(03222221222221222222kkkkxxkkkkxxkkkkk解得：32k或23k故直线AB的斜率k的取值范围是)2,3()3,2(注：对于中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线而言，若某一直线与其左支交于不同的两点，则当联立双曲线方程与直线方程得到一个一元二次方程后，一般有四个结论：①二次项系数不为零，②判别式0，③两交点的横坐标之和小于零，④两交点的横坐标之积大于零；若直线与其右支交于不同的两点，则当联立双曲线方程与直线方程得到一个一元二次方程后，一般也有四个结论：①二次项系数不为零，②判别式0，③两交点的横坐标之和大于零，④两交点的横坐标之积大于零。这些基本结论在做题时，必须格外注意。6.已知双曲线1222yax（0a）的两个焦点分别为1F、2F，点P为该双曲线上一点，且9021PFF，则21PFPF=