2019年空间向量加减法练习题.doc

3.1.1空间向量加减法习题一、选择题1．下列命题正确的有()(1)若|a|＝|b|，则a＝b；(2)若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；(3)若a＝b，b＝c，则a＝c；(4)向量a，b相等的充要条件是|a|＝|b|，a∥b；(5)|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；(6)AB→＝CD→的充要条件是A与C重合，B与D重合．A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]C[解析](1)不正确．两个向量长度相等，但它的方向不一定相同．(2)正确．∵AB→＝DC→∴|AB→|＝|DC→|且AB→∥CD→.又∵A，B，C，D不共线，∴四边形ABCD是平行四边形．反之，在▱ABCD中，AB→＝DC→.(3)正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同．∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同．故a＝c.(4)不正确．由a∥b，知a与b方向相同或相反．(5)正确．a＝b⇒|a|＝|b|，|a|＝|b|⇒/a＝b.(6)不正确.AB→＝CD→，|AB→|＝|CD→|，AB→与CD→同向．故选C.2．设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是()A.AB→＋BC→＝AC→B.AB→＋BC→＋CA→＝0C.AB→－AC→＝CB→D.AB→＝－BA→[答案]B[解析]注意向量的和应该是零向量，而不是数0.3．已知空间向量AB→，BC→，CD→，AD→，则下列结论正确的是()A.AB→＝BC→＋CD→B.AB→－DC→＋BC→＝AD→C.AD→＝AB→＋BC→＋DC→D.BC→＝BD→－DC→[答案]B[解析]根据向量加减法运算可得B正确．4．在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，与向量AA′→相等的向量(不含AA′→)的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]C[解析]利用向量相等的定义求解．5．两个非零向量的模相等是这两个向量相等的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]两个非零向量的模相等，这两个向量不一定相等，但两向量相等模必相等，故选B.6．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则下列向量中与B1M→相等的向量是()A．－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋cC.12a－12b＋cD．－12a－12b＋c[答案]A[解析]B1M→＝B1B→＋BM→＝A1A→＋12BD→＝A1A→＋12(B1A1→＋B1C1→)＝－12a＋12b＋c.∴应选A.7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中(1)(AB→＋BC→)＋CC1→(2)(AA1→＋A1D1→)＋D1C1→(3)(AB→＋BB1→)＋B1C1→(4)(AA1→＋A1B1→)＋B1C1→.运算的结果为向量AC1→的共有()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]D8．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；③若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向．其中假命题的个数是()A．1B．2C．3D．4[答案]D[解析]①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同；③真命题．向量的相等满足递推规律；④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错；⑤假命题．零向量的方向是任意的．9．空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是()A.EB→＋BF→＋EH→＋GH→＝0B.EB→＋FC→＋EH→＋GE→＝0C.EF→＋FG→＋EH→＋GH→＝0D.EF→－FB→＋CG→＋GH→＝0[答案]B[解析]EB→＋FC→＝EB→＋BF→＝EF→，EH→＋GE→＝GH→，易证四边形EFGH为平行四边形，故EF→＋GH→＝0，故选B.10．(2010·上海高二检测)已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，且OA→＝a，OB→＝b，则BC→＝()A．－a－bB．a＋bC.12a－bD．2(a－b)[答案]A[解析]BC→＝BO→＋OC→＝BO→－OA→＝－b－a，故选A.二、填空题11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CA→＝a，CB→＝b，CC1→＝c，则A1B→＝________.[答案]b－c－a[解析]A1B→＝CB→－CA→＝CB→－(CA→＋CC1→)＝b－(a＋c)＝b－c－a.12．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点且2OA→＋OB→＋OC→＝0，那么AO→＝________.[答案]OD→[解析]∵D为BC中点，∴OB→＋OC→＝2OD→，又OB→＋OC→＝－2OA→∴OD→＝－OA→即OD→＝AO→.13．已知空间四边形ABCD，连结AC、BD，设M、N分别是BC、CD的中点，则MN→用AB→、AC→、AD→表示的结果为______________________．[答案]12(AD→－AB→)[解析]MN→＝12BD→＝12(AD→－AB→)14．已知平行六面体ABCD—A′B′C′D′，则下列四式中：①AB→－CB→＝AC→；②AC′→＝AB→＋B′C′→＋CC′→；③AA′→＝CC′→；④AB→＋BB′→＋BC→＋C′C→＝AC′→.正确的是________．[答案]①②③[解析]AB→－CB→＝AB→＋BC→＝AC→，①正确；AB→＋B′C′→＋CC′→＝AB→＋BC→＋CC′→＝AC′→，②正确；③显然正确．三、解答题15．如图所示的是平行六面体ABCD—A1B1C1D1，化简下列各式．(1)AB→＋AD→＋AA1→；(2)DD1→－AB→＋BC→.[解析](1)AB→＋AD→＋AA1→＝AB→＋BC→＋CC1→＝AC1→(2)DD1→－AB→＋BC→＝DD1→－(AB→－AD→)＝DD1→－DB→＝BD1→16．如图所示的是平行六面体ABCD—A′B′C′D′，化简下列各式．(1)AB→＋BB′→－D′A′→＋D′D→－BC→；(2)AC′→－AC→＋AD→－AA′→.[解析](1)原式＝AB→＋AA′→＋AD→－AA′→－AD→＝AB→(2)原式＝CC′→＋AD→－AA′→＝AD→.17．若G为△ABC的重心，求证GA→＋GB→＋GC→＝0.[解析]证明：延长AG交BC于D，在AD延长线上取点E，使DE＝GD，则四边形BGCE为平行四边形，所以GE→＝GB→＋GC→，又由重心知GE→＝－GA→，故GA→＋GB→＋GC→＝0.18．如图所示，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，求证EF→＝12(AB→＋DC→)．[解析]证明：EF→＝EA→＋AB→＋BF→，①EF→＝ED→＋DC→＋CF→，②①＋②，得2EF→＝(EA→＋AB→＋BF→)＋(ED→＋DC→＋CF→)＝AB→＋DC→，∴EF→＝12(AB→＋DC→)．