九年级数学教学大纲

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超训教育1九年级上册:第二十一章一元二次方程第二十二章二次函数第二十三章旋转第二十四章圆第二十五章概率初步九年级下册:第二十六章反比例函数第二十七章相似第二十八章锐角三角函数第二十九章投影与视图超训教育2第二十一章一元二次方程1.一元二次方程的定义及一般形式:(1)等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数式2(二次)的方程,叫做一元二次方程。(2)一元二次方程的一般形式:20(0)axbxca。其中a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项。注意:三个要点,①只含有一个未知数;②所含未知数的最高次数是2;③是整式方程。2.一元二次方程的解法(1)直接开平方法:形如2()(0)xabb的方程可以用直接开平方法解,两边直接开平方得xab或者xab,xab。注意:若b0,方程无解(2)因式分解法:一般步骤如下:①将方程右边得各项移到方程左边,使方程右边为0;②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式;③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,他们的解就是原方程的解。(3)配方法:用配方法解一元二次方程20(0)axbxca的一般步骤①二次项系数化为1:方程两边都除以二次项系数;②移项:使方程左边为二次项与一次项,右边为常数项;③配方:方程两边都加上一次项系数一般的平方,把方程化为超训教育32()(0)xmnn的形式;④用直接开平方法解变形后的方程。注意:当0n时,方程无解(4)公式法:一元二次方程20(0)axbxca根的判别式:24bac0方程有两个不相等的实根:242bbacxa(240bac)()fx的图像与x轴有两个交点0方程有两个相等的实根()fx的图像与x轴有一个交点0方程无实根()fx的图像与x轴没有交点3.韦达定理(根与系数关系)我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c=0之后,设它的两个根是1x和2x,则1x和2x与方程的系数a,b,c之间有如下关系:1x+2x=ba;1x2x=ca4.一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题,其步骤和二元一次方程组解应用题类似①“审”,弄清楚已知量,未知量以及他们之间的等量关系;②“设”指设元,即设未知数,可分为直接设元和间接设元;③“列”指列方程,找出题目中的等量关系,再根据这个关系列出含有未知数的等式,即方程。④“解”就是求出说列方程的解;⑤“答”就是书写答案,检验得出的方程解,舍去不符合实际意义的方程。注意:一元二次方程考点:定义的考察;解方程及一元二次方程的应用。超训教育4第二十二章二次函数一、二次函数概念:1.二次函数的概念:一般地,形如2yaxbxc(abc,,是常数,0a)的函数,叫做二次函数。强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a,而bc,可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2.二次函数2yaxbxc的结构特征:⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.⑵abc,,是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式:2yax的性质:2.2yaxc的性质:上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00,y轴0x时,y随x的增大而增大;0x时,y随x的增大而减小;0x时,y有最小值0.0a向下00,y轴0x时,y随x的增大而减小;0x时,y随x的增大而增大;0x时,y有最大值0.a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c,y轴0x时,y随x的增大而增大;0x时,y随x的增大而减小;0x时,y有最小值c.0a向下0c,y轴0x时,y随x的增大而减小;0x时,y随x的增大而增大;0x时,y有最大值c.超训教育53.2yaxh的性质:左加右减4.2yaxhk的性质:5.二次函数的图象与性质附图如下:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h,X=hxh时,y随x的增大而增大;xh时,y随x的增大而减小;xh时,y有最小值0.0a向下0h,X=hxh时,y随x的增大而减小;xh时,y随x的增大而增大;xh时,y有最大值0.a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk,X=hxh时,y随x的增大而增大;xh时,y随x的增大而减小;xh时,y有最小值k.0a向下hk,X=hxh时,y随x的增大而减小;xh时,y随x的增大而增大;xh时,y有最大值k.函数的图象图象特点函数性质①当aO时向上无限伸展;当aO时向下无限伸展.①自变量x的取值范围是全体实数.②aO时开口向上;aO时开口向下;顶点为(-ab2,abac442).②aO时,当x=-ab2时,y有最小值为abac442;aO时,当x=-ab2时,y有最大值为abac442.y=2x2-4y=2x2+2y=2x2超训教育6三、二次函数图象的平移1.平移步骤:⑴将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk,确定其顶点坐标hk,;⑵保持抛物线2yax的形状不变,将其顶点平移到hk,处,具体平移方法如下:2.平移规律在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”.四、二次函数2yaxhk与2yaxbxc的比较从解析式上看,2yaxhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424bacbyaxaa,其中2424bacbhkaa,.向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向上(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2③对称轴为x=-ab2,aO时,对称轴左侧图象从左到右下降,对称轴右侧图象从左到右上升;aO时,对称轴左侧图象从左到右上升,对称轴右侧图象从左到右下降.③aO时,当x-ab2时,y随x的增大而减小;当x-ab2时,y随x的增大而增大;aO时,当x-ab2时,y随x的增大而增大;当x-ab2时,y随x的增大而减小.超训教育7五、二次函数2yaxbxc图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()yaxhk,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y轴的交点0c,、以及0c,关于对称轴对称的点2hc,、与x轴的交点10x,,20x,(若与x轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.六、二次函数2yaxbxc的性质1.当0a时,抛物线开口向上,对称轴为2bxa,顶点坐标为2424bacbaa,.当2bxa时,y随x的增大而减小;当2bxa时,y随x的增大而增大;当2bxa时,y有最小值244acba.2.当0a时,抛物线开口向下,对称轴为2bxa,顶点坐标为2424bacbaa,.当2bxa时,y随x的增大而增大;当2bxa时,y随x的增大而减小;当2bxa时,y有最大值244acba.七、二次函数解析式的表示方法1.一般式:2yaxbxc(a,b,c为常数,0a);2.顶点式:2()yaxhk(a,h,k为常数,0a);3.两根式:12()()yaxxxx(0a,1x,2x是抛物线与x轴两交点的横坐标).注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即240bac时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2yaxbxc中,a作为二次项系数,显然0a.⑴当0a时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大;⑵当0a时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大.总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小.超训教育82.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.⑴在0a的前提下,当0b时,02ba,即抛物线的对称轴在y轴左侧;当0b时,02ba,即抛物线的对称轴就是y轴;当0b时,02ba,即抛物线对称轴在y轴的右侧.⑵在0a的前提下,结论刚好与上述相反,即当0b时,02ba,即抛物线的对称轴在y轴右侧;当0b时,02ba,即抛物线的对称轴就是y轴;当0b时,02ba,即抛物线对称轴在y轴的左侧.总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置.3.常数项c⑴当0c时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;⑵当0c时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;⑶当0c时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之,只要abc,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定:根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:1.已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;2.已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;4.已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称2yaxbxc关于x轴对称后,得到的解析式是2yaxbxc;2yaxhk关于x轴对称后,得到的解析式是2yaxhk;超训教育92.关于y轴对称2yaxbxc关于y轴对称后,得到的解析式是2yaxbxc;2yaxhk关于y轴对称后,得到的解析式是2yaxhk;3.关于原点对称2yaxbxc关于原点对称后,得到的解析式是2yaxbxc;2yaxhk关于原点对称后,得到的解析式是2yaxhk;4.关于顶点对称2yaxbxc关于顶点对称后,得到的解析式是222byaxbxca;2yaxhk关于顶点对称后,得到的解析式是2yaxhk.5.关于点mn,对称2yaxhk关于点mn,对称后,得到的解析式是222yaxhmnk根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程:1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况):一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y时的特殊情况.图象与x轴的交点个数:①当240bac时,图象与x轴交于两点1200AxBx,,,12()xx,其中的12xx,是一元二次方程200axbxca

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