高斯求和

高斯求和高斯的故事德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算。只有小高斯不急不慌的思考着，想了一会儿，小高斯很快给出了答案：5050。高斯为什么算得又快又准呢？1+2+3+4+…+50+51+…+97+98+99+100=？高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋2＋3＋4＋…+50+51+…＋97+98+99＋100＝？1＋100＝1012＋99＝1013＋98＝1014＋97＝101小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷。小高斯使用的这种求和方法，广泛地适用于“等差数列”的求和问题。哪什么叫等差数列呢？你能根据高斯求和的故事说一说什么是等差数列吗？1，2，3，4，5，…，100；若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：（1）1，2，3，4，5，…，100；（2）1，3，5，7，9，…，99；（3）8，15，22，29，36，…，71。（1）1，2，3，4，5，…，100；（2）1，3，5，7，9，…，99；（3）8，15，22，29，36，…，71。（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为，末项为，公差为的等差数列；（3）是首项为，末项为，公差为的等差数列。12998717小试牛刀：下列数列是不是等差数列，如果是，请找出其中的首项，末项和公差。①1、2、3、4、5、6、8、9、10②11、12、13、14、15、16、17、18③1、2、3、5、8、12、13④7、14、21、28、35、42、49⑤3、5、8、12、17、23、30你能用高斯的方法算出下题的答案吗？50+49+48+47+…+4+3+2+1=根据刚刚你求解的方法，你可以试着说一说等差数列如何求和吗？能推出等差数列的求和公式吗？等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷250+49+48+47+…+4+3+2+1=1275题1：1＋2＋3＋…＋1999＝？注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各项是否构成等差数列。分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式和=（首项+末项）×项数÷2原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000题3：1+2+3+…＋９９９９＝？题2:11+12+14+16+19+20+22+21=？该式不是等差数列，不能使用等差数列求和公式进行计算。分析与解：这串加数是等差数列，首项是1，末项是9999，共有9999项原式=（1+9999）×9999÷2=49995000课堂小结：(1)认识了等差数列(2)知道了等差数列的求和公式(3)能用等差数列求和公式进行计算这节课上，我学会了：等差数列的求和公式：（1）1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？（2）4+7+10+13+…+28+31=?第二题是等差数列吗？可以直接利用公式吗？为什么？你能开动脑筋想想怎么解决吗？和=（首项+末项）×项数÷2（2）4+7+10+13+…+28+31=?我发现：31与4相差27，而相邻两个数之间相差3，27里面有9个3，说明4要连续加9个3才是31,31就是第10个数，因此这个数列的项数是10。在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到例4：3＋7＋11＋…＋99＝？项数=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275。项数=（末项-首项）÷公差+1分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列例5：1＋3＋5＋7＋…＋99＝？分析与解：1，3，5，7，…，99是公差为2的数列项数=（99-1）÷2+1=50和=（1+99）×50÷2＝2500。活学活用：1.计算下列各题：（1）2＋4＋6＋…＋200；（2）17＋19＋21＋…＋39；（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；（4）3＋10＋17＋24＋…＋101。帮帮忙：某小学一个剧场第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，最后一排有58个座位。这个剧场共有多少个座位？你能帮忙算一算吗？（1）.请列出算式。（2）.能用等差求和的方法解决吗？为什么？（3）.一共有多少座位？