高等数学上知识点汇总

0/27课题组成员：高国恒、雷锦、徐礼锋、秦明鑫、李轲、王冠宇、应蕾、曾通高等数学上目录：第一章P1-P3第二章P3-P6第三章P6-P15第四章P15-P20第五章P20-P24第六章P25-P271/27第一章函数（基本概念）1、集合：具有某种共同属性的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素。2、集合的表示方法：列举法、描述法（常用）。3、集合的运算：并集A∪B={x∣xA或xB}、交集A∩B={x∣xA且xB}、差集A-B={x∣xA且xB}。4、常见数集：N-自然数集、Z-整数集、Q-有理数集、R-实数集、C-复数集。5、邻域：δ0，∣x-a∣δ,表示点a的去心δ邻域。一、函数的概念1、映射：X、Y是非空集合，若存在法则f，使对于X中的每一个元素x，在Y中有唯一的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，即y=)(xf。映射三要素：定义域、值域、对应法则。2、几类重要映射：满射，单射，一一映射。3、函数的概念：若映射中的对应法则为数数对应，则f为从X到R的函数(yR)。涉及题目：判断函数是否为同一函数。4、函数的表示方法：解析法（常用），列表法、图形法。5、几个特殊的分段函数：符号函数y=sgnx、取整函数y=[x]、最值函数y=max{F(x),G(x)},y=min{F(x),G(x)}。6、函数的几点特性：①有界性，②单调性，③奇偶性：奇函数)(xf=−)-(xf偶函数)(xf=)-(xf，④周期性。二、初等函数1、反函数：若函数f:X→)(xf为单射，则存在新映射1f：)(xf→X,使任意y)(xf，）（1yf=x，其中)(xf=y，称此映射1f为f的反函数。2、反函数的性质：①y=)(xf的单调性与其反函数的单调性一致。②y=)(xf与其反函数的图形关于直线y=x对称。3、五类基本初等函数：幂函数y=xu(u0),指数函数y=ax（a0,a≠0）,对数函数xyalog（a0,a≠1）,三角函数，反三角函数。A∪BA∩BABA-B2/274、常见的三角函数公式:平方公式1cossin22xxxx22sectan1xx22csccot1降幂公式22cos1cos2xx22cos1sin2xx3/275、复合函数：设①fXuf(u),y;②gXxxgu),(,则gXxxgfy)],([称为由①②确定的复合函数。6、初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合所得的函数。（一般来说：分段函数、隐函数是非初等函数，不能从参数方程中消去t解出y的参数方程也是非初等函数。）7、双曲函数与反双曲函数：双曲正弦2xxeeshx,双曲余弦2xxeechx，双曲正切xxxxeeeethx，双曲余切xxxxeeeecthx。相关等式见书(p23).。第二章、导数与极限一、导数的定义1、导数的定义：设函数)(xfy在点0x的某邻域内有定义，若00)()(lim0xxxfxfxxxyxx0lim存在，则称函数)(xfy在点0x处可导，称此极限为)(xfy在点0x处的导数。（导数是差商的极限，反映函数的变化率）二、数列的极限1、有界数列与无界数列：若存在常数M0，对任意的正整数n都有∣x∣≤M，则称数列{xn}为有界数列，否则为无界数列。2、数列的单调性：若对任意正整数n都有XN≤XN+1则称数列{Xn}为单调增加数列，若对任意正整数n都有XN≥XN+1则称数列{Xn}为单调减少数列。3、数列极限的定义：若对任意给定的正数ε，存在正整数N，使当nN时，必有∣an-L∣ε,则称L是数列{an}的极限。也称数列收敛，否则称数列发散。4、收敛数列的性质：极限唯一性，有界性，保号性（L0,无穷远处的an也大于0）。5、子数列的三个等价命题：①数列{an}收敛于L。②数列{an}的任一子列{ank}都收敛于L。③子列{a2n}和{a2n-1}都收敛于L。三、函数的极限1、函数极限的定义：设函数)(xf在0x的某个去心邻域内有点远，A是一个常数，若4/27Axfxx)(时，有0当,0,00，则称当0xx时，)(xf以A为极限，记作Axfxx)(lim0。2、单侧极限：左极限：Axfxfxx)(lim)0-(0，右极限：Axfxfxx)(lim)0(0。3、左右极限与极限的关系)(lim0xfxx)(lim0xfxx=)(lim0xfxx=A（题目类型：证明极限是否存在）4、函数极限的性质：唯一性（如果极限)(lim0xfxx存在，那么极限值是唯一的），局部有界性（若极限)(lim0xfxx存在，那么)(xf在0x的某个去心邻域内有界），局部保序性（如果，，且AB，则在0x的某个去心邻域内有)(xf)(xg），局部保号性（如果Axfxx)(lim0且A0，则在0x的某个去心邻域内使得函数)(xf在此邻域内与A保持同号）。四、无穷大与无穷小1、无穷小：若0)(lim0xfxx则称函数)(xf是0xx时的无穷小。2、无穷小的运算性质：①有限个无穷小的和是无穷小。②有界函数（常数，有限个无穷小）与无穷小的乘积是无穷小。3、无穷大：设函数)(xfy在点0x的某邻域内有定义，如果对任意正数M，都存在正数δ0，使当0∣x-x0∣δ时必有∣)(xf∣M称函数)(xf为0xx时的无穷大，记作)(lim0xfxx。（)(lim0xfxx不表示)(xf的极限存在，仅仅表示一种趋势）4、函数为无穷大则必定无界。5、无穷大与无穷小的关系：在x的某趋限过程中，①若)(xf是无穷大，则）（1xf是无穷小。②若)(xf是无穷小，且)(xf不等于0，则）（1xf是无穷大。6、无穷大的运算性质：①有界量加无穷大还是无穷大。②无界量乘无穷大是无穷大。③有界量乘无穷大未必是无穷大。五、极限的运算法则1、极限的四则运算法则：设Axfxx)(lim0，Bxgxx)(lim0，则5/27①BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)]()([lim000②BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)]()([lim000③当B0时，BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim0002、当00a，00b，m和n都是非负数时有00ba当n=mnnnmmmxbxbxbaxaxa110110lim=0当nm当nm3、复合函数的极限法则：如果uxgxx)(lim0，Aufxu)(lim0又存在某).(0xN，对).(0xNx,有0)(uxg，则有Aufxgfxuxx)(lim))((lim00。4、极限存在的两个准则：夹逼准则，单调有界准则。5、两个重要极限：1sinlim0xxx，exxx10)1(lim或exxx)11(lim。六、无穷小的比较1、无穷小的阶：同一趋限过程中，2个无穷小的商为0，则前者是后者的高阶无穷小;若商为无穷大，则前者是后者的低阶无穷小；若商是不为0的常数，则两者互为同阶无穷小（商为1时则称为等价无穷小）。类似可以定义高阶无穷大等。2、等价无穷小的性质：自反性，对称性，传递性。3、常用的等价关系：x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1+x);1-cosx~221x;(1+x)μ-1~μx;ex-1~x;ax-1~xlna。4、等价无穷小代换：只能在求商或积时代换，加减不能代换，可以代换分子或者分母中的一个或多个因子。5、无穷小的主部：设和为某趋限过程中的无穷小，则)(-~o。设和为某趋限过程中的无穷小，若~则称是（或是）的主部，6/27第三章微分学基本定理3.1微分（基础）3.1.1线性近似3.1.2微分3.1.3基本初等函数的微分公式3.2微分中值定理（重点）3.2.1罗尔中值定理3.2.2拉格朗日中值定理3.2.3柯西中值定理3.1.1微分的应用微分是表示函数增量的线性主部.计算函数的增量，有时比较困难，但计算微分则比较简单，为此我们用函数的微分来近似的代替函数的增量，这就是微分在近似计算中的应用.3.1.2函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量可表示为，其中A是不依赖于△x的常数，是△x的高阶无穷小，则称函数在点x0可微的。叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：=。通过上面的学习我们知道：微分是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。于是我们又得出：当△x→0时，△y≈dy.导数的记号为：，现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为：由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。3.1.3基本初等函数的微分公式由于函数微分的表达式为：，于是我们通过基本初等函数导数的公式可得出基本初等函数微分的公式，下面我们用表格来把基本初等函数的导数公式与微分公式对比一下：(部分公式)导数公式微分公式7/27微分运算法则由函数和、差、积、商的求导法则，可推出相应的微分法则.为了便于理解，下面我们用表格来把微分的运算法则与导数的运算法则对照一下：函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则3.2.微分学中值定理3.2.1拉格朗日中值定理设有连续函数，a与b是它定义区间内的两点(a＜b)，假定此函数在(a,b)处处可导，也就是在(a,b)内的函数图形上处处都有切线，那么我们从图形上容易直到，差商就是割线AB的斜率，若我们把割线AB作平行于自身的移动，那么至少有一次机会达到离割线最远的一点P(x=c)处成为曲线的切线，而曲线的斜率为，由于切线与割线是平行的，因此8/27成立。注：这个结果就称为微分学中值定理，也称为拉格朗日中值定理3.2.2罗尔定理这个定理的特殊情形，即：的情形，称为罗尔定理。描述如下：在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且，那末在(a,b)内至少有一点c，使成立。几何意义：在定理的条件下，区间(,)ab内至少存在一点，使得曲线在点((,())f处具有水平切线。3.3.3柯西中值定理如果函数，在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且≠0，那末在(a，b)内至少有一点c，使成立。3.3&3.4：洛必达法则与泰勒公式知识框架：1.共同点：构筑了不同阶导数之间的关系2.洛必达法则：（计算极限最强有力的工具）a.引入b.使用前提【易被忽略】与结论c.失效情况9/27d.应用：（1）求不定型极限：【三类，七种，两基本式（重点：选取转换途径）】（b）恒等变形或变量代换或-0011000(a)不定型基本式or(c）)](ln)(exp[)(00)(01xfxgxfxg(2)判定某点处的连续性或可导性（本质上仍是求不定型极限）e.利用洛必达所得结论:)0,0,(lnxxxex【了解即可】f.相关点：极限，连续性与可导性，导数计算，斜渐近线，变限积分3.泰勒公式：（拉格朗日中值定理的推广）a.引入与公式内容（两类余项）b.麦克劳林展开式定义与推导示例c.应用:（1）误差估计——拉格朗日型余项（2）计算极限——佩亚诺型余项【重点：展开阶数】（3）证明（重难点）（4）求高阶导——佩亚诺型余项10/273.3:洛比达法则引入：工具：柯西中值定理目的：简化极限运算使用前提【易被忽略】①)(0)(lim),(0)(lim或且或xgxfaxax②在a的某去心邻域内0)()(),(xgxgxf存在，且③存在（或