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切割线定理（一）©2011菁优网菁优网©2010箐优网一、解答题（共10小题，满分100分，每小题10分）1、（10分）（2010•江汉区）如图，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC的外接圆的半径为r．（1）若∠E=30°，求证：BC•BD=r•ED；（2）若BD=3，DE=4，求AE的长．2、（10分）（2009•淄博）如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F．AD，BE相交于点G，连接BD．（1）求BD的长；（2）求∠ABE+2∠D的度数；（3）求𝐵𝐺𝐴𝐺的值．3、（10分）（2008•苏州）如图，在△ABC中，∠BAC=90度．BM平分∠ABC交AC于M，以A为圆心，AM为半径作⊙A交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交⊙A于P，K两点，作MT⊥BC于T．（1）求证：AK=MT；（2）求证：AD⊥BC；（3）当AK=BD时，求证：𝐵𝑁𝐵𝑃=𝐴𝐶𝐵𝑀．4、（10分）（2008•濮阳）如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交于CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C．（1）求证：AB=AC；（2）当𝐴𝐵𝐵𝑐=√54时，①求tan∠ABE的值；②如果AE=2011，求AC的值．菁优网©2010箐优网5、（10分）（2007•厦门）已知：如图，PA、PB是⊙O的切线；A、B是切点；连接OA、OB、OP，（1）若∠AOP=60°，求∠OPB的度数；（2）过O作OC、OD分别交AP、BP于C、D两点，①若∠COP=∠DOP，求证：AC=BD；②连接CD，设△PCD的周长为l，若l=2AP，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．6、（10分）（2007•天津）如图，⊙O和⊙O′都经过点A、B，点P在BA延长线上，过P作⊙O的割线PCD交⊙O于C、D两点，作⊙O′的切线PE切⊙O′于点E．若PC=4，CD=8，⊙O的半径为5．（1）求PE的长；（2）求△COD的面积．7、（10分）（2007•庆阳）如图EB是⊙O的直径，A是BE的延长线上一点，过A作⊙O的切线AC，切点为D，过B作⊙O的切线BC，交AC于点C，若EB=BC=6，求：AD，AE的长．8、（10分）（2007•河池）如图1，已知正方形ABCD的边长为2√3，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点（P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E．（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）；（2）求四边形CDPF的周长；（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示．是否存在点P，使BF•FG=CF•OF？如果存在，试求此时AP的长；如果菁优网©2010箐优网不存在，请说明理由．9、（10分）（2007•安顺）如图，A，B，C，D四点在⊙O上，AD，BC的延长线相交于点E，直径AD=10，OE=13，且∠EDC=∠ABC．（1）计算𝐶𝐸𝐴𝐸=𝐷𝐸𝐵𝐸；（2）计算CE•BE的值；（3）探究：BE的取值范围．10、（10分）（2006•日照）阅读下面的材料：如图（1），在以AB为直径的半圆O内有一点P，AP、BP的延长线分别交半圆O于点C、D．求证：AP•AC+BP•BD=AB2．证明：连接AD、BC，过P作PM⊥AB，则∠ADB=∠AMP=90°，∴点D、M在以AP为直径的圆上；同理：M、C在以BP为直径的圆上．由割线定理得：AP•AC=AM•AB，BP•BD=BM•BA，所以，AP•AC+BP•BD=AM•AB+BM•AB=AB•（AM+BM）=AB2．当点P在半圆周上时，也有AP•AC+BP•BD=AP2+BP2=AB2成立，那么：（1）如图（2）当点P在半圆周外时，结论AP•AC+BP•BD=AB2是否成立？为什么？（2）如图（3）当点P在切线BE外侧时，你能得到什么结论？将你得到的结论写出来．菁优网©2010箐优网答案与评分标准一、解答题（共10小题，满分100分，每小题10分）1、（10分）（2010•江汉区）如图，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC的外接圆的半径为r．（1）若∠E=30°，求证：BC•BD=r•ED；（2）若BD=3，DE=4，求AE的长．考点：切割线定理；直角三角形全等的判定；勾股定理；切线的判定。专题：计算题；证明题。分析：（1）取AB中点O，由题意得△ABC是Rt△，O是外接圆心，连接CO，可证得OC∥DB，则𝑂𝐶𝐵𝐷=𝐶𝐸𝐷𝐸，即OC•DE=CE•BD；作CF⊥BE，然后证得∠CBE=∠E=30°，根据等角对等边的性质可得CE=BC，则可得BC•BD=r•ED；（2）根据勾股定理求出BE，设CE=x，则BC=x，在Rt△BCD中，根据勾股定理求出x，再推得CE为圆的切线，利用切割线定理求出AE的值．解答：解：（1）取AB中点O，△ABC是Rt△，AB是斜边，O是外接圆心，连接CO，∴BO=CO，∠BCO=∠OBC，∵BC是∠DBE平分线，∴∠DBC=∠CBA，∴∠OCB=∠DBC，∴OC∥DB，（内错角相等，两直线平行），∴𝑂𝐶𝐵𝐷=𝐶𝐸𝐷𝐸，把比例式化为乘积式得BD•CE=DE•OC，∵OC=r，∴BD•CE=DE•r．∵∠D=90°，∠E=30°，∴∠DBE=60°，∴∠CBE=12∠DBE=30°，∴∠CBE=∠E，∴CE=BC，∴BC•BD=r•ED．（2）BD=3，DE=4，根据勾股定理，BE=5，设CE=x，BC=CE=，BD2+CD2=BC2，32+（4﹣x）2=x2，x=258，由前所述，OC∥BD，BD⊥DE，故OC⊥DE，CE是圆O切线，CE2=AE•BE，菁优网©2010箐优网AE=（258）2÷5=12564．点评：本题考查的是切割线定理，切线的性质定理，勾股定理．2、（10分）（2009•淄博）如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F．AD，BE相交于点G，连接BD．（1）求BD的长；（2）求∠ABE+2∠D的度数；（3）求𝐵𝐺𝐴𝐺的值．考点：切割线定理；三角形中位线定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质。专题：代数几何综合题。分析：（1）连接OC，并延长BO交AE于点H，根据OC∥BD，OC为△ABD的中位线，可知：BD=2OC，得BD的长；（2）连接AE，根据切线长定理知：AB=EB，可得：∠BAE=∠BEA；根据圆周角相等，得：∠D=∠AEB，可将∠ABE+2∠D的值求出；（3）根据△BGO∽△AGB，可将𝐵𝐺𝐴𝐺的值求出．解答：解：（1）连接AE，OC，并延长BO交AE于点H，∵AB是小圆的切线，C是切点，∴OC⊥AB，∴C是AB的中点．∵AD是大圆的直径，∴O是AD的中点．∴OC是△ABD的中位线．∴BD=2OC=10．（2）由（1）知C是AB的中点．同理F是BE的中点．由切线长定理得BC=BF．∴BA=BE．∴∠BAE=∠E．∵∠E=∠D，菁优网©2010箐优网∴∠ABE+2∠D=∠ABE+∠E+∠BAE=180°．（3）连接BO，在Rt△OCB中，∵OB=13，OC=5，∴BC=12．由（2）知∠OBG=∠OBC=∠OAC．∵∠BGO=∠AGB，∴△BGO∽△AGB．∴𝐵𝐺𝐴𝐺=𝑂𝐵𝐴𝐵=1324．点评：在解本题的过程中要用到切线长定理，中位线定理，相似三角形的判定等知识，要求学生熟练掌握和应用．3、（10分）（2008•苏州）如图，在△ABC中，∠BAC=90度．BM平分∠ABC交AC于M，以A为圆心，AM为半径作⊙A交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交⊙A于P，K两点，作MT⊥BC于T．（1）求证：AK=MT；（2）求证：AD⊥BC；（3）当AK=BD时，求证：𝐵𝑁𝐵𝑃=𝐴𝐶𝐵𝑀．考点：切割线定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质。专题：证明题。分析：（1）用角平分线的性质，圆的半径相等解题；（2）根据图中相等角，找互余关系的角，从而推出垂直关系．（3）连接PN，MK，根据已知证明△ABD≌△CMT再根据边之间的转化即可得到结论．解答：证明：（1）∵BM平分∠ABC，∠BAC=90°，MT⊥BC，∴AM=MT．又∵AM=AK，∴AK=MT．（2）∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM．∵AM=AN，∴∠AMN=∠ANM．又∵∠ANM=∠BND，∴∠AMN=∠BND．∵∠BAC=90°，∴∠ABM+∠AMB=90°．∴∠CBM+∠BND=90°．∴∠BDN=90°．∴AD⊥BC．（3）∵BNM和BPK为⊙A的割线，∴BN•BM=BP•BK．菁优网©2010箐优网∴𝐵𝑁𝐵𝑃=𝐵𝐾𝐵𝑀．∵AK=BD，AK=MT，∴BD=MT．∵AD⊥BC，MT⊥BC，∴∠ADB=∠MTC=90°．∴∠C+∠CMT=90°．∵∠BAC=90°，∴∠C+∠ABC=90°．∴∠ABC=∠CMT．在△ABD和△CMT中，{∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝑀𝑇𝐵𝐷=𝑀𝑇∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶𝑇𝑀，∴△ABD≌△CMT．∴AB=MC．∵AK=AM，∴AB+AK=MC+AM．即BK=AC．∴𝐵𝑁𝐵𝑃=𝐴𝐶𝐵𝑀．点评：本题考查了角平分线的性质，直角三角形两锐角互余，圆的割线定理，全等三角形的判定，综合性强．4、（10分）（2008•濮阳）如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交于CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C．（1）求证：AB=AC；（2）当𝐴𝐵𝐵𝑐=√54时，①求tan∠ABE的值；②如果AE=2011，求AC的值．考点：切割线定理；勾股定理；解直角三角形。专题：综合题。分析：（1）BE切⊙O于点B，根据弦切角定理得到∠ABE=∠C，把求证AB=AC的问题转化为证明∠ABC=∠C的问题．（2）①连接AO，交BC于点F，tan∠ABE=tan∠ABF=𝐴𝐹𝐵𝐹，转化为求AF的问题．②在△EBA和△ECB中，∠E=∠E，∠EBA=∠ECB，得到△EBA∽△ECB，再由切割线定理，得EB2=EA×EC=EA（EA+AC），就可以求出AC的长．菁优网©2010箐优网解答：证明：（1）∵BE切⊙O于点B，∴∠ABE=∠C．∵∠EBC=2∠C，即∠ABE+∠ABC=2∠C．∴∠ABC=∠C．∴AB=AC．（2）①如图，连接AO，交BC于点F∵AB=AC，∴𝐴𝐵̂=𝐴𝐶̂；∴AO⊥BC，且BF=FC．∵𝐴𝐵𝐵𝐶=√54∴𝐴𝐵2𝐵𝐹=√54∴𝐴𝐵𝐵𝐹=√52；设AB=√5m，BF=2m，由勾股定理，得AF=√𝐴𝐵2﹣𝐵𝐹2=√5𝑚2﹣4𝑚2=𝑚；∴tan∠ABE=tan∠ABF=𝐴𝐹𝐵𝐹=𝑚2𝑚=12．②在△EBA和△ECB中，∵∠E=∠E，∠EBA=∠ECB，∴△EBA∽△ECB，∴𝐸𝐴𝐸𝐵=𝐴𝐵𝐵𝐶；∵𝐴𝐵𝐵𝐶=√54，∴EB=4√5EA（※）；由切割线定理，得EB2=EA×EC=EA（EA+AC）；将（※）式代入上式，得165EA2=EA（EA+AC）；∵EA≠0，∴AC=115EA=115×2011=4．点评：本题主要考查了相似三角形的性质，对应边的比相等，以及切割线定理．5、（10分）（2007•厦门）已知：如图，PA、PB是⊙O的切线；A、