《复变函数与积分变换》习题册

-1-第一章复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算；熟悉复平面、模与辐角的概念；熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式；了解区域的概念；理解复变函数的概念；理解复变函数的极限和连续的概念。一、填空题1、若等式))(()75(iyixii成立，则x______,y_______.2、设(12)(35)13ixiyi，则x，y3、若1231izii+=--，则z=4、若(3)(25)2iizi+-=，则Rez=5、若421izii，则z6、设(2)(2)zii，则argz7复数1zi的三角表示式为，指数表示式为。8、复数iz212的三角表示式为_________________，指数表示式为_________________.9、设iz21,iz12，则)(21zzArg=______.10、设4ie2z,则Rez=____________.Im()z。z=11、.方程0273z的根为_________________________________.12、一曲线的复数方程是2zi，则此曲线的直角坐标方程为。13、方程3)Im(zi表示的曲线是__________________________.14、复变函数12zzw的实部),(yxu_________,虚部),(yxv_________.-2-15、不等式114zz所表示的区域是曲线的内部。16、31=二、判断题（正确打√，错误打）1、复数7613ii.()2、若z为纯虚数，则zz.()3、若a为实常数，则aa（）4、复数0的辐角为0.5、()fzuiv在000iyxz点连续的充分必要条件是(,),(,)uxyvxy在00(,)xy点连续。（）6、设21,zz为复数，则2121zzzz。（）7、1212zzzz（）8、参数方程2ztti（t为实参数）所表示的曲线是抛物线2yx.()三、单项选择题1、下列等式中，对任意复数z都成立的等式是（）A.z·z=Re(z·z)B.z·z=Im(z·z)C.z·z=arg(z·z)D.z·z=|z|2、方程3z8的复根的个数为（）A.3个B.1个C.2个D.0个3、当11izi时，1007550zzz的值等于（）AiBiC1D14、方程232zi所代表的曲线是（）A中心为23i，半径为2的圆周B中心为23i，半径为2的圆周C中心为23i，半径为2的圆周D中心为23i，半径为2的圆周-3-四、计算题1．求出复数4)31(iz的模和辐角。2．设iyxz满足,4)3Re(2z求x与y的关系式3、将复数126zi化为三角表示式和指数表示式。4、求复数1cossin,(0)ijjjp-+＃的三角表示式、指数表示式及幅角主值。-4-5．将直线方程132yx化为复数形式。6、求以下根式的值：（1）22i(2)3i(3)41-5-第二章解析函数本章知识点和基本要求理解复变函数的导数及复变函数解析的概念；掌握复变函数解析的C-R条件，并能利用C-R条件判断复变函数的可导性和解析性；掌握解析函数的基本性质；了解指数函数、三角函数及对数函数的定义及它们的主要性质。一、填空题1、(1)Lni的主值为2、()Lni-=，主值为3、设iez43,则)Re(iz_________________4、i3_____________________________.5、ii)1(________________________.6、1ii7、指数函数ze的周期是8、设()(1)zfzze，则()fz9、设3322()fzxyixy，则(1)fi10、已知函数()(21)(,)fzxyvxyi=++解析，则()fi¢=11、.函数()fzuiv在000zxiy点连续是()fz在该点解析的_________条件。二、判断题（正确打√，错误打）1、.若)(zf在区域D内处处为零，则)(zf在D内必恒为常数。（）2、.若()fz在0z点不解析，则()fz在0z点必不可导。（）3、函数()(,)(,)fzuxyivxy在点000zxiy可微等价于(,)(,)uxyvxy和在点00(,)xy可微。（）-6-4、sin1z..（）5、函数ze是周期函数。（）6、设函数()fz在点0z处可导，则()fz在点0z处解析。（）7、对于任意的复数12,zz，等式1212(.)LnzzLnzLnz恒成立。（）8、不等式Re()2z表示的是有界闭区域。（）9、对于任意的复数z，整数n，等式nLnznLnz恒成立（）三、单项选择题1、下列点集是单连域的是（）A．Re()2zB.13z?C.1z£D.2arg2Zp＃+2、下列所示区域中是多连域的为（）A.Im0zB.Re0zC.01zD.arg43z3、函数()fz在点z可导是()fz在点z解析的（）A．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4、下列说法正确的是（）A、()fz在0z可导的充要条件是()fz在0z处解析。B、()fz在0z可导的充要条件是,uv在0z处偏导数连续且满足CR条件。C、()fz在0z可导的充要条件是()fz在0z处连续。D、()fz在0z可导的充要条件是,uv在0z处可微且满足CR条件5、在复平面上，下列关于正弦函数sinz的命题中，错误的是（）A.sinz是周期函数B.sinz是解析函数C.|sinz|1D.(sin)coszz6、以下说法中，错误的是（）A．复指数函数ze具有周期B.幂函数az(a为非零的复常数)是多值函数C．对数函数Lnz为多值函数D.在复数域内sinz和cosz都是有界函数7、设()sinfzz，则下列命题中错误的是（）。-7-A．()fz在复平面内处处解析B．()fz以2为周期C．()2izizeefzD．()fz是无界的四、计算题判断下列函数在何处可导，在何处解析？(1)33()23fzxyi(2)2()()2()fzxyxyi(3)22()fzxyixy-8-第三章复变函数的积分本章知识点和基本要求了解复变函数积分的定义及性质；会求复变函数的积分；理解柯西积分定理，掌握柯西积分公式；0掌握解析函数的高阶导数公式；了解解析函数无限次可导的性质；会综合利用各定理计算闭路积分。一、填空题1、设曲线C是正向圆周2z，则11Cdzz，21(1)Cdzz，2(1)zCedzz。2、设C为从点1zi到点20z的直线段，则Czdz_______.3、若C为正向圆周2z，则1Cdzz________.4、若2221()zzzfdzz，2，则(35)fi_____,(1)f.(1)f5、(:4)3zcedzczz的值是________二、单项选择题1、若f(z)在D内解析，()z为f(z)的一个原函数，则（）A.()()fzzB.()()fzzC.()()zfzD.()()zfz2、下列积分中，积分值不为0的是（）A.3(2)Czzdz，12zB.zcedz，2z-9-C.sinczdzz，1zD.cos1czdzz，2z三、计算题1、沿下列路径计算积分Czdz(1)从原点到3i的直线段(2)从原点沿实轴到3，再从3垂直向上到3i。2、沿下列路径计算积分2Czdz(1)从原点到1i的直线段(2)从原点沿实轴到1，再从1垂直向上到1i。3、计算0cosizdz。4、计算积分30(23).izdz5、2()Cxyixdz，其中C是从点0到1i的直线段。-10-6、设C为从-2到2的上半圆周，计算积分23Czdzz的值。7、211Cdzz，C为正向圆周2z8、计算积分()(4)Cdzziz，其中C为圆周3Z，且取正向。9、计算212(1)(2)Czidzzzi，其中C为正向圆周3z.-11-10、求下列积分之值（积分沿闭曲线的正向）（1）1(2)czdzzz，3z（2）()(2)2cdzizz，1z（3）3cosczdzz，1z(4)3()izcedzzi，1zi-12-第八章拉普拉斯变换本章知识点和基本要求理解拉普拉斯变换及拉普拉斯逆变换的概念；了解拉普拉斯变换存在定理；掌握拉普拉斯变换的性质；掌握用留数求拉氏逆变换的方法；了解拉氏变换卷积概念及卷积定理；应用拉氏变换求解常微分方程及常微分方程组。一、填空题1、设21()FSS=，则[()]SLeFS-1=2、[(sin3)]Lt¢=3、[sin]tLet4、设()(35)ftut，3[()]tLeft5、[cos]tLet6、设22[()],4Lfts则3[()]tLeft7、设2()(1)tftte，[()]Lft8、设221()(1)Fss，则1[()]LFs9、设11[()](),LftFS22[()]()FftFS，则12[()*()]Lftft10、设22()16sFss，则1[()]LFs二、单项选择题1、下列变换中，不正确的是()A.[()]1FtB.[()]1LtC.[1]()LtD.[1]2()F2、设[()]()LftFs，其中正确的是（）-13-A．[()]()LftsFsB。[()]()atLeftFsaC．1[()]()LfatFsaD。[()]()atLeftFsa3、()(0)atfttea的拉氏变换为（）A.1SaB.1saC.21()saD.21()sa4、若21()1SFSeS，则1[()]LFS（）A.sin(1)tB.(1)sinuttC.()sin(1)uttD.(1)sin(1)utt5、设2()cos3tftet则[()]Lft（）A.23(2)9SB.22(2)9SSC.23(2)9SSD.23(2)(2)9SS6、函数22()1sFss的拉氏逆变换为（）A.()costtB.()costtC.()(1sin)ttD.()sintt7、设()(2)SeFsSS，则1[()]LFS（）A2(1)(1)teutB2(1)(1)(1)tuteutC2(1)1[1](1)2teutD2(1)1[()(1)]2tuteut三、计算题1、利用定义或查表求下列函数的拉普拉斯变换。(1)2()sinatftet=（2）2()cos5tft=-14-(3)()2sinsinftattat=-(4)25()3ttftee=+(5)2()5()tftet(6)2()ttftete(7)()sinatftet（8）2()sin2ftt（9）()cosfttat（10）2()(2)tftte（11）()sin(2)fttut（12）()sin(2) ftt-15-（13）()sin2tfttet（14）()sin(2)(2)fttut2、已知10,0()sin,0tftttìïï=íï³ïî，20,0()cos,0tftttìïï=íï³ïî，求1()ft与2()ft的卷积12()()ftft*.3、用定义或查表求下列函数的拉普拉斯逆变换。(1)1()(1)FSSS=+(2)52()1SeFSS-=+(3)()()()bFSSaSb=--(4)1()(1)FSSS-16-(5)3()(2)(3)SFSSS(6)22()1SFSS(7)223()9sFss(8