第三章--晶体振动和晶体的热学性质

第三章晶体振动和晶体的热学性质一、晶体振动1.晶体振动晶体中的原子并不是在各自的平衡位置上固定不动，而是为绕其平衡位置作振动。2.振动的特点晶体中各原子的振动是相互联系的。3.振动模式用格波表述原子的各种振动模式二、晶体振动的分类(根据振动的剧烈程度分类)1.晶格振动——原子在平衡位置附近的微振动。2.空位或间隙原子——少数原子脱离其格点的振动。3.熔解——温度相当高，整个晶体瓦解，即长程序解体。三、晶格振动的特点1.当原子间相互作用微弱时，原子的振动可近似为相互独立的简谐振动。2.由于晶体的周期性，振动模式所取的能量值不是连续的，而是分立的。3.可以用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的振动模式。简谐振子的能量用能量量子ħω(称为声子，ω微振动模式的角频率。)描述。振子之间不会发生相互作用，即不能有能量的交换。声子一旦被激发出来，它的数目就一直保持不变。不能把能量传递给其它频率的声子。4.如果原子间的相互作用稍强时，就必须考虑非简谐效应——声子间发生能量的交换。5.晶体的宏观性质，例如，比热、热膨胀和热传导等都与晶格振动有关。§3.1一维原子链的振动一、一维布喇菲晶格的振动1.原子的运动方程(1)振动示意图——m为原子质量；xn为位移。n-2n-1nn+1n+2nx1nx2nx1nx2nxnnxx1第n个原子和第n+1个原子间的相对位移。(2)两原子间的相互作用力U(a)：平衡时两原子间的互作用势能；U(a+δ)：产生相对位移δ后的互作用势能。把U(a+δ)在平衡位置附近用泰勒级数展开，可得：22221aadrUddrdUaUaU项。泰勒展开式中只保留到很小，所以，，且当振动很微弱时，由于20adrdU22221adrUdaUaU。恢复力系数。恢复力：0221222222aaadrUddrUddrUdddUfrramrUfOOδδ0间距增大δ0间距缩小ff0引力(ra)f0斥力(ra)(3)只考虑近邻原子的相互作用时的受力分析n-1nn+11nf1nf正方向nnnxxf1111nnnxxfnnnnnnnnnnxxxxxxxfff2111111(4)运动方程根据牛顿第二定律，可得第n个原子的运动方程：Nnxxxdtxdmnnnn,3,2,121122共有N个类似的运动方程。2.运动方程的求解及结果分析(1)方程的解tqnainAex振幅为A，角频率为ω的简谐振动。其中qna表示第n个原子的振动的位相因子。(2)结果分析①原子之间的振动存在着固定的位相关系ntqnaisitqnaitqnasitanqinxAeeAeAeAexsqsnaansqnaanq22),(22可得：为整数如果nnxxqnaannn即：产生的位移相等。时，两个原子因振动而的整倍为个原子的距离个原子和第当第2)(②格波——描述晶格中原子振动的、角频率为ω平面波称为格波。格波的波长：q2nnnqqnaan212。相当于波矢波矢：kqnqq22qvp/波速：3.ω和q的关系——色散关系(振动频谱)可得：代入运动方程把方程的解nnnntqnainxxxdtxdmAex21122①22222ntqnainxmAemidtxdm1cos222211②qaxeexAeeAeeAexxxniqaiqantqnaiiqatqnaiiqatqnainnn系。一维布喇菲格子色散关2sin22sin41cos221222qamqamqaxxmnn)(振动频谱系一维布喇菲格子色散关Oqaaa2a2M24.q的取值范围(1)周期性——ω是q的周期函数，周期为2π/a。2sin221qamq，2sin222sin2)(22121qamaanqmnanqq，为整数表示的是同一个状态。和qqOqaaa2a20qaq20(2)q的取值范围——为了保证ω和q的一一对应关系，q的取值范围设定为：aa,对于一维布喇菲格子，有：abba22q的取值范围可写为：2,2bb长度为：b。2b2b二、一维复式晶格的振动1.原子的运动方程及其解(1)振动示意图——M、m分别为大、小原子质量。(2)只考虑近邻原子的相互作用时的受力分析2n-12n2n+12n+22n+32n+4Mma2Mmn222n12n22nfnf2正方向①m(2n+1)原子受力分析nnnxxf2122122222nnnxxf12222222122nnnnnnxxxfff合力：②M(2n+2)受力分析122212nnnxxf223232nnnxxf2212323212222nnnnnnxxxfff合力：22n12n32nf12nf正方向32n(3)运动方程1222221222nnnnxxxdtxdmNnxxxdtxdMnnnn,3,2,122212322222tnqintnqinBexAex22221212(3)位移表达式(运动方程的解)2.ω和q的关系——色散关系(振动频谱)。把位移表达式代入相应的运动方程，通过整理，可以得到ω和q的色散关系。(1)m(2n+1)原子:1222221222nnnnxxxdtxdmtnqinAex1212①0cos222BqaAm(2)M(2n+2)原子——同理可得：②02cos22BMAqa②①02cos20cos2222BMAqaBqaAm(3)ω和q的关系——色散关系(振动频谱)此方程组中，A、B若有异于零的解，其系数行列式必须等于零。02cos2cos2222Mqaqam0sin422224qamMMm212222cos2qaMmmMmMMm(4)结果分析由于ω和q存在两种不同的色散关系，即存在两种独立的格波，所以一维复式晶格中存在则两种不同的格波，分别有着各自的色散关系。声学波2122212cos2qaMmmMmMMm光学波2122222cos2qaMmmMmMMm3.ω2的周期性由于ω是q的周期函数，为了保证ω和q的一一对应关系，通常把q的取值范围定在：aa2,24.ω1和ω2简析(1)ω1极大值2122212cos2qaMmmMmMMm2122222cos2qaMmmMmMMmmmaqmMMmMmmMq22222,0min22min2max22max2，则有如果；则有：如果(2)ω2极小值MMaqq22200,0max12max1121，则有如果则有：如果(3)结论所对应的格波的频率。小于所对应的格波的频率恒即；21min2max1①声学波——ω1支格波可以用声波来激发，称为声频支格波。简称声学波。②光学波——ω2支格波可以用光波来激发，称为光频支格波。简称光学波。Oqa2a2m2M2212光学波声学波三、声学波和光学波的物理意义1.一维复式格子和布喇菲格子中声学波的关系(1)ω和q的关系21222122212212221sin411sin2122112cos22112cos2mMqaMmmMMmmMqaMmMmmMMmmMqaMmMmmMMmqaMmmMmMMm。可得：，如果，利用12111sin422xxxmMqaMmqamMmMqaMmmMMm22221sin2sin211qamMsin21(2)结论①一维复式格子中的声学波和一维布喇菲格子中的声学波在形式上是相同的。具有相似的波形；②一维布喇菲晶格中只有声学波。2sin221qam2.声学波的物理意义(1)声学波中，相邻两原子(M和m)的振动情况0222;,2,2:,,2,2:0cos02cos20cos22212max12121121mMmmmqaaaqqamqaBABqaAm一般情况下：可得：由方程：结论——相邻原子是沿着同一方向振动的。当波长很长时，声学波实际上是代表原子质心的振动。声学波描述的是晶体中不同原胞之间的振动情况。n)(横波图声学波中原子振动示意(2)两种特殊振动体，其质心来回振动。原胞的振动如同一个刚时：①12cos20211mqaBAq原子振动。原子保持不动，原胞中时：②)2()12(00/222cos221nMnmAMmaaBAaqn10,,01BAq①n,0,0,21BAAaq②0122222,0cos0cos2202cos22min22222222mMmMMMqaqaMBABMAqa；一般情况下：可得：由方程：3.光学波的物理意义(1)光学波中，相邻两原子(M和m)的振动情况结论——相邻两种不同的原子振动的方向是相反的。当波长很长时，原胞质心保持不动。光学波描述的是同一原胞中各原子之间的相对振动情况。n)(横波动示意图光学波中元胞中原子振(2)两种特殊振动。而大原子振动的幅度小小原子振动的幅度大，原胞的质心保持不动，折合质量；时：①0;cos2/22,/20221max2MBmAmMqaMBAq原子振动。原子保持不动，原胞中。即：时：②)12()2(0;2cos2/22/222212minnmnMBaamMBAmaqnmMBAq221max2,/2,0①n,,/2,2221min2BAmaq②四、周期性边界条件(波恩-卡门边界条件)1.波恩-卡门边界条件对于有限的(N个原子组成)原子链，晶体两端原子的受力情况和内部的有所不同。123n-1nn+1n+2N-1N(1)各原子受力分析即运动方程①n号原子：n1nf1