第三晶体振动与晶体的热学性质

第三章晶格振动与晶体的热学性质3.3晶格中振动的量子化和声子3.2晶格振动的经典理论3.1连续媒质中的弹性波3.4离子晶体中的长光学波3.5晶体比热容的量子理论3.6晶体热膨胀3.7晶体热传导3.8确定晶格振动谱的实验方法返回总目录3.1连续媒质中的弹性波连续媒质中弹性波的波动方程：),(),(222trKdttrd2222222zyx其中为拉普拉斯算符，在笛卡儿直角坐标系中kzjyixr方程解的形式：)(),(trqiAetrq为波矢量，方向为波的传播方向；为波的角频率或圆频率.色散关系：||qK3.1.1描写波的几个物理量1.周期和频率周期：质点完成一次全振动的时间，用T表示2T质点角频率目录trq把称为相位，则周期可表述为同一质点相位变化2所需要的时间.频率：单位时间内完成全振动的次数，等于周期的倒数，用v表示T1所以：2角频率的意义就是秒内完成全振动的次数.22.波矢和波长等相面（波阵面）：位相相同的点组成的面，它与波矢垂直.波矢：q波的传播方向平面波：等相面为平面的波.波长：同一时刻相位相差的两点之间的长度，用表示.22q波矢与波长的关系：3.相速度和群速度沿波的传播方向，等相面传播的速度称为相速度，记为：pv对于弹性波，等相面满足tqr常数，求其微分得：0dtqdrKqdtdrvp目录由于连续媒质中的弹性波的色散关系是线性的，以致相速度为常数.群速度：振幅传播的速度.大小为：dqdvg对于连续媒质弹性波，qvp，而pv与q无关.所以：vqvdqdvpg)(群速度等于相速度.dqdvqvqvdqdvpppg)(在晶体中传播的格波，色散关系不是简单的线性关系，群速度和相速度不再相等.当不是常数时)(qpv目录3.1.2周期性边界条件和状态密度1.周期性边界条件波恩－卡门边界条件)()()()()()(rkLrrjLrriLrzyx1xxLiqezyxyLzLxL晶体周期性边界条件,2,1,0,2xxxxnnLq所以波矢只能取的整数倍，即只能是一系列分立的值.xL2所以：,2xxLq,2yyLq.2zzLq在q空间中一个分立的波矢量占据的体积为：czyxzyxVLLLqqqq33)2()2(注意：这里的不是波矢量的增量，而是表示空间的一个体积元，式中为所处理的晶体的体积.qqzyxcLLLV把媒质分成原胞，在x，y，z方向上的基矢长度分别为a，b，c，原胞数分别为.,,321NNN则：aNLx1bNLy2cNLz3NNNNVc)(321321NNNN为原胞总数为每个原胞体积所以：NNq*3)2(倒格子原胞的体积目录倒格子原胞的体积与第一布里渊区的体积相等.所以第一布里渊区内分立波矢量的数目为：NqZB*第一布里渊区内分立波矢量的数目等于晶体中原胞的数目.虽然它是在直角坐标系中推出的，但是它普遍成立.2.状态密度状态密度：单位频率间隔内的状态数（状态数等于分立的波矢数）ddz)(角频率是波矢量的函数—色散关系所以：ddqdqdZ)(dqdZ为单位波矢间隔内的状态数.对于弹性波，一个波矢对应一个状态，而q空间中的波矢大小为q的球体内的分立波矢数Z为:32333634834qVqVqqZcc目录所以：222qVdqdZc对弹性波，qvp则:pvdqd代入得：ddqdqdZ)(3222)(pcvV弹性波的状态密度曲线)(O目录3.2晶格振动的经典理论3.2.1简谐振动2220000)(21)()()(rrrUrUrUrU0)(0rrU在平衡位置附近当振动很微小时很小，只保留到2项，则原子间的相互作用力可表示为：0)(22rrUf其中0)(22rrU对于微小振动，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近的简谐振动.所以称这个近似为简谐近似目录3.2.2一维单原子链的振动模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a，原子质量为m.1n2nn1n2na2nx1nxnx1nx2nx)()(1122nnnnxxxxdtxdm)2(11nnnxxx试探解:)(tqnainAex得色散关系:tiiqnaaniqaniqtqnaieeeeAAem)2()1()1()(2)2(2iqaiqaeem)cos1(22qam2sin422qam|2sin|2qamaamax0目录)2(1122nnnxxxdtxdm性质：(1)长波0q时,格波成为弹性波22sinqaqaqamqam2121)2sin(2amvv21群相解释:很大,本来不连续的晶格可视为连续的了.(2)驻波特征aqamdqdv)2cos(21群当akq)12(时，即处于布里渊区边界时0群v能量不向外边传播——驻波原因：入射波和反射波的迭加,可证明相邻原子的振动位相相反目录|2sin|2qam（3）周期性周期为一个倒格子矢量)2()(aqxqxnn)2()(aqq)2(aqx)2(aqtinaaqiAe)2(nitqnaieAe2)()(tqnaiAe)(qx|)2sin(|maxqa)(q|)2(2sin|maxaqaa5a3a2a2a2a3a0q可把q限制在第一布里渊区),(aa目录|2sin|2qam)(tqnainAex5/4,4'aaaqaqaq2245,241'解释：q与q+分别对应不同的波长，为什么它们都描写同一运动状态呢？a2从图可以看出：两条曲线描写的格点的运动状态完全相同.唯一不同的就是两格点之间的运动状态.而这些中间状态的差异并不影响物理实质.所以为了使x～q（ω～q）的关系成为单值，限制q在第一布里渊区，对一维来说q的取值],(aa目录（4）第一布里渊区的分立波矢数＝晶体原胞数.晶体内独立状态数（振动频率数）＝晶体自由度数证：使用周期性边界条件（第二个结论显然是成立的）.Nnnxx1iqNaeNanq2NbNaq2)(tqnainAex第一布里渊区的长度：a2第一布里渊区分立波矢数：NNaaqa222（5）状态密度连续介质3222)(vV格波ddqdqdZddZ)(qNaNaqqqZ)(222NadqdZdqdq0q|)2sin|)(2(21qamdqd2cosqama目录|2sin|2qam格波有截止频率求解格波步骤：（4）由久期方程求色散关系3.2.3一维双原子链的振动2n-22n-12n2n+12n+22n+32a（1）列运动方程（2）取试探解（3）代入原方程，得到久期方程（5）加周期边界条件（6）求状态密度)()(1222221222212322222{nnnnnnnnxxxdtxdmxxxdtxdM目录)(m2212)2/cos(/1)(mNqamaNa设Mm])12([12])22([22{tanqintanqinAexBex代入得到：整理得：0cos2)2(0)2(cos222{qaBAmBMqaA二元一次齐次方程有解的条件：系数行列式为零:02cos2cos2222Mqaqam]2)([]2)([22{AeeAmBeeABMiqaiqaiqaiqa0cos4)2)(2(222qaMm目录0)1(cos4)(22224qamMMm解得：})]2cos(2[){(21222qamMMmMmmM2支格波的最大频率和最小频率及相应得波矢分别为：0,2maxqaqm2,2minaqM2,2max0,0minq为约化质量其中mmmMa2a221)2(m21)2(M声学支光学支0q一维双原子晶格得色散关系目录讨论：0q（1），声频支退化为弹性波,而光频支不会}]sin4)[(){(21222qamMmMMmmM}]sin)(41[1{)(2122qamMmMmMMm]}sin)(4211[1{)(22qamMmMmMMmqamM22sin2|sin|)2(21qamMqq0目录2/12/1222/1)2()}(sin)(1{)2(qaMmmM而0q（2），声学波描写原胞质心运动，光学波描写原胞中各原子之间得相对运动，并且质心保持不动.222)cos(2)cos(22mqaqaMBAxqb.光频支：（波长很长）相邻原子的位相差很小.表示质心的运动0q2120mMBA相邻原子反向运动xq目录a.声频支由1,0,0BAq0cos2)2(0)2(cos222{qaBAmBMqaA)cos(222qaMBABA0MBmA质心不动（3）晶格中振动的波矢数＝晶体的原胞数晶格振动的频率数＝晶体的自由度数证：加周期性边界条件1)(212NnnXXN为原胞数2)2(2M11MMmmMmmMm)(mM0q1cosqa212目录12NaiqelqNa22NalqNaq第一布里渊区：]2,2(aa波矢数：Nqa波矢数等于原胞数N.每个波矢q对应两个频率,故晶格振动的频率数等于2N,也就等于晶体的自由度数.这两条规律对三维也是适用的.目录思考题：N个原胞组成的晶体，每原胞内有n个原子，求：晶体的自由度、晶格振动的波矢数、晶格振动的频率数、其中声学支和光学支各为多少。3.3晶格中振动的量子化和声子3.3.1晶格振动的哈密顿量一维单原子链，在简谐近似和最近邻近似下：晶体势能：nnnnnnnnxxxxxxU)2(2)(2212121晶体动能：nnxmT221其中表示位移对时间的一次导数，也就是速度.nx系统的总哈密顿量为：nnnnnxxxmUTH212)(221格点位移iqnatqnainetAAetx)()()(个值有NqH为非对角化的，对角化后应用谐振子的量子力学结论.为此引进简正坐标Q.目录qiqnanetqQmNtX),(1)(iqnannqetXmNtQ)()()||(21)||(21222222qqqqqqqqQPQQH单个谐振子的哈密顿量逆变换：,2,1,0,)21(nn系统总能量：NqNqqqnqE)()21)(()(为零点能为粒子占有数，21n由量子力学，一个谐振子的能量与的关系为：证明利用了正则坐标Q的正交关系，参见P67目录三维复式格子N个原胞，每个原胞中含有n个粒子nNiiinE31)21(结论：（1）独立波矢数＝原胞数N振动状态数＝晶体自由度数3nN（2）3nN独立振动分为3Ｎ支声学波，3(n-1)Ｎ支光学波.3支声学波中有一支纵波，两