概率论与数理统计试题及答案

考试科目：概率论与数理统计考试时间：120分钟试卷总分100分题号一二三四总分得分123456一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每小题3分，总计15分）1．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现1点的概率为（A）。(A)1/3(B)2/3(C)1/6(D)3/62．设随机变量的概率密度101)(2xxKxxf，则K=（B）。(A)1/2(B)1(C)-1(D)3/23．对于任意随机变量,，若)()()(EEE，则（B）。(A))()()(DDD（B）)()()(DDD(C),一定独立（D）,不独立5．设)4,5.1(~N，且8944.0)25.1(，9599.0)75.1(，则P{-24}=（A）。(A)0.8543(B)0.1457(C)0.3541(D)0.2543二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每小题3分，总计15分）1．设A、B为互不相容的随机事件,6.0)(,3.0)(BPAP则)(BAP（0.9）。2．设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为（1/10）。3．设随机变量X的概率密度其它,010,1)(xxf则2.0XP（8/10）。4．设D()=9,D()=16,5.0，则D()=（13）。*5．设),(~y2N，则~yn（N(0,1)）。三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，总计60分）1．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的25％，35％，40％，又这三条流水线的次品率分别为0.05，0.04，0.02。现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？（1）全概率公式)4(0345.0)6(100210040100410035100510025)()()(31分分iiiBAPBPAP2．设连续型随机变量X的密度为.0,00,)(5xxAexfx(1)确定常数A(2)求}2.0{XP(3)求分布函数F(x).（2）①)3(1510)(005分AdxAedxdxxx故A=5。②.3679.05)2.0(12.05edxePx（3分）③当x0时,F(x)=0;（1分）当0x时，xxxxedxedxdxxxF500515)()(（2分）故00,,01)(5xxexFx.（1分）3．设二维随机变量（,）的分布密度其它,010,,6),(2f求关于和关于的边缘密度函数。（3）分）2(),()(dyyxfxfx分）（其它3010),(6622xxxxxdy分）（2),()(dxyxfyfy分）（其它3010),(66yyyyydx4．设连续型随即变量的概率密度其它,021,210,)(xxxxxf，求E(x),D(x)（4）10212)2(dxxxdxxEX1)18(31)14(31（4分）1021232)2(dxxxdxxEX67)116(41)18(3241（3分）61167)(22EXEXDX（3分）四．证明题（本大题共2小题，总计10分）2．设),2,1(}{kXk是独立随机变量序列，且122122121121202~kkkkkkX，试证}{kX服从大数定理。(2))2(.),2,1(,121)2(21)2()()()2(,0212)211(021)2()(122122212212分分kXEXDXEkkkkkkkkkkkk由切比雪夫大数定理可知}{kX服从大数定理。（1分）考试科目：概率论与数理统计考试时间：120分钟试卷总分100分一、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题3分，总计15分）1．设,AB为两随机事件，且BA，则下列式子正确的是＿＿A＿＿A．()()PABPAB．PABPAＣ.|PBAPBＤ．PBAPBPA2.设2,,XN那么当增大时，-PXCA．增大B．减少C．不变D．增减不定3．设~,EX-1X21,XPpoission分布且则＿A＿Ａ．1B.2C．3D．0二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分1.设A、B、C、是三个随机事件。用A、B、C表示事件“A、B、C至少有一个发生”ABC;2．设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率是0.13．设随机变量X与Y相互独立，~1,2,~0,1,XNYN则随机变量23ZXY的概率密度函数21523132zfze;4．已知2~2,0.4,XN则23EX1.16三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分）１．设考生的报名表来自三个地区，各有10份，15份，25份，其中女生的分别为3份，7份，5份。随机的从一地区先后任取两份报名表。求先取到一份报名表是女生的概率。解.设B为“取得的报名表为女生的”,iA为“考生的报名表是第i个地区的”,i=1,2,3由全概率公式2分3i1()()(|)iiPBPAPBA3分131711=[phone]3分29901分即先取到一份报名表为女生的概率为2990.1分２．设随机变量X的概率密度为fxAx+10x20,，其他，求①A值；②X的分布函数Fx；③1.52.5PX(1)201221fxdxAxdxA，12A2分(2)xFxftdt1分000,0101,0221,2xxdttdtxx3分20,01,0241,2xxxxx1分(3)1.52.52.51.50.0625PXFF3分３．设二维随机变量(,)XY有密度函数：3x4yke,x0,y0;(,)0,fxy其它求：（1）常数A；（2）xy,落在区域D的概率，其中Dx,y;0x1,0y2.3.(34)340000kedded112xyxykxykedxy，12k5分12343800,01,0212110.9502xyPxyDPXYedxedyee5分4.设足球队A与B比赛，若有一队胜4场，则比赛结束，假设A，B在每场比赛中获胜的概率均为12，试求平均需比赛几场才能分出胜负？4.设X为需要比赛的场数，1分则148PX，154PX，5616PX，5716PX，4分所以115545675.8841616EX4分答：平均需比赛6场才能分出胜负1分２．设{}nX为相互独立的随机变量序列,n1PXn,nn2PX01,nn2,3,证明{}nX服从大数定律。2．112010nEXnnnnn1分22222112012nnnDXEXEXnnnnn2,3,i1分令121,2,3,,nniiYXnn则20,,nnEYDYn2分0，由切比雪夫不等式知221nnPYEYn1分故有nlim1nnPYEY，即nX服从大数定律。1分1．对于事件,AB，下列命题正确的是＿＿D＿＿A．若,AB互不相容，则.A与B也互不相容B．若,AB相容，则.A与B也相容Ｃ．若,AB互不相容，则.A与B也相互独立Ｄ．若A与B相互独立,那么.A与B相互独立2.假设随机变量Ｘ的分布函数为()Fx，密度函数为()fx．若Ｘ与－Ｘ有相同的分布函数，则下列各式中正确的是＿＿C＿＿A．()Fx＝()Fx；B．()Fx＝()Fx；C．()fx＝()fx；D．()fx＝()fx；３.若211~,XN，222~,YN，那么(,)XY的联合分布为＿＿C＿＿Ａ.二维正态，且0；Ｂ.二维正态，且不定；Ｃ.未必是二维正态；Ｄ.以上都不对．４.设随机变量Ｘ和Ｙ的方差存在且不等于０，则()()()DXYDXDY是Ｘ和Ｙ的＿＿C＿＿A.不相关的充分条件，但不是必要条件；B.独立的必要条件，但不是充分条件；C.不相关的充分必要条件；D.独立充分必要条件．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分1.设A、B、C、是三个随机事件。用A、B、C表示事件“A、B、C恰有一个发生”ABCABCABC;2.设离散型随机变量X分布律为{}5(1/2)(1,2,)kpXkAk则A=1/53.用(,)XY的联合分布函数(,)Fxy表示{,}paXbYc=(,)(,)FbcFac;4．已知~10,0.6,XN~1,2,YN且X与Y相互独立,则3DXY7.4三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分）１．轰炸机轰炸目标，它能飞到距离目标400，200，100（米）的概率分别为0.5，0.3，0.2，又设他在距离目标400，200，100（米）的命中率分别为0.01，0.02，0.1。求目标被命中的概率。1.由全概率公式2分0.5*0.010.3*0.020.2*0.10.0317分目标被命中的概率为0.031.1分２．设随机变量X的概率密度为fx2110,Cxx，其他，求①C值；②X的分布函数()Fx；③求X落在区间11(,)22内的概率。2.(1)121111fxdxCdxx，1C2分(2)xFxftdt1分210,1111arcsin,11211,1xxdtxxxx4分(3)0.50.50.50.51/3PXFF3分３．设二维随机变量(,)XY的密度函数：22221,(,)0,xyRfxyR其它求：求关于X与关于Y的边缘分布密度；3.当RxR时2222222212()(,)RxXRxRxfxfxydydyRR，3分于是2222,()0,XRxRxRfxR其他2分同理222Y2,()0,RyRxRfyR其他5分4.设随机变量X具有密度函数01()2120xxfxxx其他，求()EX及()DX。4.12201()(2)1EXxdxxxdx5分12223201()()(2)11/6DXEXEXxdxxxdx5分四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）２．设{}kX，(1,2)k是独立随机变量序列，212212021111222kkkkkkX证明{}kX服从大数定律。2．)2(.),2,1(,121)2(21)2()()()2(,0212)211(021)2()(122122212212分分kXEXDXEkkkkkkkkkkkk由切比雪夫大数定理可知}{kX服从大数定理。（1分）一、填空题（本大题共5小题，每小题4分