精反比例函数综合复习讲义

反比例函数知识整理1、反比例函数的概念一般地，函数xky（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1kxy的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。3、反比例函数的性质当k0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x的增大而减小。当k0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，随x的增大而增大。4、反比例函数解析式的确定确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数xky中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。5、反比例函数中反比例系数的几何意义如下图，过反比例函数)0(kxky图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=xyxy。kSkxyxky,,。考点一、反比例函数的性质【例1】已知反比例函数10yx，当1x2时，y的取值范围是（）（A）0y5（B）1y2（C）5y10（D）y10【举一反三】1、已知y是x的反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式2、已知一次函数y1=kx+b（kO）与反比例函数y2=xm(m≠O)的图象相交于A、B两点，其横坐标分别是－1和3，当y1y2时，实数x的取值范围是()A．x－l或Ox3B．一1xO或Ox3C．一1xO或x3D．Ox33、函数y=mx+n与mxny，其中m≠0，n≠0，那么它们在同一坐标系中的图象可能是（）ABCD考点典例二、反比例函数图象上点的坐标特征【例2】（2015自贡）若点（1x，1y），（2x，2y），（3x，3y），都是反比例函数xy1图象上的点，并且1230yyy，则下列各式中正确的是（）A．123xxxB．132xxxC．213xxxD．231xxx【举一反三】1、若点A（1，y1）和点B（2，y2）在反比例函数1yx图象上，则y1与y2的大小关系是：y1y2（填“＞”、“＜”或“=”）．2、如图，过点C（1,2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=－x+6于A、B两点，若反比例函数kyx（x＞0）的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是（）A．2≤k≤9B.2≤k≤8C.2≤k≤5D.5≤k≤83、如图，P是函数xy21(x0)的图象上的一点，直线1xy分别交x轴、y轴于点A、B，过点P分别作PM⊥x轴于点M，交AB于点E，作PN⊥y轴于点N，交AB于点F，则AF·BE的值为。考点典例三、反比例函数图象上点的坐标与方程的关系【例3】已知函数1yx的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c＋1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根x1，x2判断正确的是【】A．x1＋x21，x1·x20B．x1＋x20，x1·x20C．0x1＋x21，x1·x20D．x1＋x2与x1·x2的符号都不确定【举一反三】1、（2015·湖南常德）已知A（1，3）是反比例函数图象上的一点，直线AC经过点AyxABCO及坐标原点且与反比例函数图象的另一支交于点C，求C的坐标及反比例函数的解析式。2、如图，若双曲线xky与边长为5的等边△AOB的边OA，AB分别相交于C，D两点，且OC=3BD，则实数k的值为．3、如图，直线6yx交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数4(0)yxx图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F。则AFBE()A．8B．6C．4D．62第3题图第4题图第5题图4、如上图中，正比例函数xy3的图象与反比例函数)0(kxky的图象交于点B，若k取1，2，3，…，20，对应的Rt△AOB的面积分别为1S，2S，…，20S，则1S＋2S＋…＋20S=；5、两个反比例函数kyx和1yx在第一象限内的图象如图所示，点P在kyx的图象上，PC⊥x轴于点C，交1yx的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交1yx的图象于点B，当点P在kyx的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是。考点典例四、反比例函数与一次函数的交点问题【例4】如图，一次函数y1=k1x+b的图象和反比例函数y2=的图象交于A（1，2），B（﹣2，﹣1）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（）A．x＜1B．x＜﹣2C．﹣2＜x＜0或x＞1D．x＜﹣2或0＜x＜1【举一反三】1、如图，在平面直角坐标系中，A(－3，1)，以点O为直角顶点作等腰直角三角形AOB，双曲线11kyx在第一象限内的图象经过点B，设直线AB的解析式为22ykxb，当12yy时，x的取值范围是().A．51xB．01x或5xC．61xD．01x或6x2、已知反比例函数xky2与一次函数12xy，其中一次函数的图象经过（a,b）、（a+1,b+k）两点.（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知A点是上述两函数图象在第一象限内的交点，求A点的坐标；（3）利用（2）的结果，在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请把所有符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.3、如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数kyx（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=21．（1）求反比例函数的解析式和n的值；（2）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．考点典例五、反比例函数的图象和k的几何意义【例5】（2015凉山州）以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线3yx经过点D，则正方形ABCD的面积是（）A．10B．11C．12D．13【举一反三】1、如图，A．B是双曲线xky上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）A．34B．38C．3D．42、如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数(00)kykxx，的图象上．若点R是该反比例函数图象上异于点B的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积，记剩余部分的面积为S．则当S=m(m为常数，且0m4)时，则点R的坐标是。(用含m的代数式表示)yxCABOG3、如图，若点M是x轴正半轴上的任意一点，过点M作PQ∥y轴，分别交函数xk1y（x＞0）和xk2y（x＞0）的图象于点P和Q，连接OP、OQ,则下列结论正确的是（）A.∠POQ不可能等于900B.21KKQMPMC.这两个函数的图象一定关于x轴对称D.△POQ的面积是）（|k||k|21214、如图，点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在双曲线(0)kyxx上，且214xx，122yy；分别过点A、B向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为C、D、E、F，AC与BF相交于G点，四边形FOCG的面积为2，五边形AEODB的面积为14，那么双曲线的解析式为．课后练习一、选择题1.已知反比例函数的图象2yx上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），若y1＞y2，则x1﹣x2的值是（）A．正数B．负数C．非正数D．不能确定2.(2015.河北省，第10题，3分)一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x＝2时，y＝20.则y与x的函数图象大致是（）A.B.C.D.3.．(2015·湖北武汉，9题，3分）在反比例函数xmy31图象上有两点A(1x，1y)、B(2x，2y)，1x＜0＜2x，1y＜2y，则m的取值范围是（）A．m＞31B．m＜31C．m≥31D．m≤314.（2015·黑龙江绥化）如图，反比例函数y=xk(x＜0)的图象经过点P，则k的值为（）A.－6B.－5C.6D.55．(2015.宁夏，第8题，3分)函数kyx与2ykxk（0k）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）6.(2015·辽宁葫芦岛）（3分）如图，一次函数2ykx与反比例函数4yx（0x）的图象交于点A，与y轴交于点M，与x轴交于点N，且AM：MN=1：2，则k=．7.（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为3，则这个反比例函数的解析式为．8.（2015.山东临沂第14题，3分）在平面直角坐标系中，直线y=－x＋2与反比例函数1yx的图象有唯一公共点.若直线yxb与反比例函数1yx的图象有2个公共点，则b的取值范围是（）(A)b﹥2.(B)－2﹤b﹤2.(C)b﹥2或b﹤－2.(D)b﹤－2.二、填空题9.已知双曲线k1yx经过点（﹣2，1），则k的值等于▲．10.（2015.河南省，第11题，3分）如图，直线y=kx与双曲线)0(2xxy交于点A（1，a）,则k=.11．(2015.陕西省，第13题，3分)如图，在平面直角坐标系中，过点M(-3，2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数xy4的图象交于A、B两点，则四边形MAOB的面积为______________。CN12.（2015.山东济南，第20题,3分）如图，等边三角形AOB的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在反比例函数kyx（x＜0）的图象上，则k=．13.(2015.山东日照，第16题，4分)如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在x轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象过点B，E．若AB=2，则k的值为．三、解答题14.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），与y轴交于点C，与反比例函数kyx在第一象限内的图象交于点B（m，n），连结OB．若S△AOB=6，S△BOC=2．（1）求一次函数的表达式；（2）求反比例函数的表达式．15.（2015·辽宁大连）如图，在平面坐标系中，∠AOB=90°，AB∥x轴，OB=2，双曲线y=xk经过点B.将△AOB绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在X轴的正半轴上.若AB的对应线段CB恰好经过点O.（1）点B的坐标和双曲线的解析式.（2）判断点C是否在双曲线上，并说明理由.16.（2015·辽宁沈阳）如图，已知一次函数332yx与反比例函数kyx的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．（1）填空：n的值为，k的值为；（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；（3）考察反比函数kyx的图象，当2y时，请直接写出自变量x的取值范围．17.(2015·湖北衡阳，25题，分)（本小题满分8分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物深度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间的函数关系如图所示（当410x时，y与x成反比）．（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函