全等三角形总复习

扬程教育专业1对1中小学课外辅导扬起风帆驶向前程YangchengEducation专题总复习（一）全等三角形、轴对称一、复习目标：1、理解全等三角形概念及全等多边形的概念.2、掌握并会运用三角形全等的判定和性质，能应用三角形的全等解决一些实际问题.3、通过复习，能够应用所学知识解决一些实际问题，提高学生对空间构造的思考能力.二、重难点分析：1、全等三角形的性质与判定；2、全等三角形的性质、判定与解决实际生活问题.三、知识点梳理：知识点一：全等三角形的概念——能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.知识点二：全等三角形的性质.（1）全等三角形的对应边相等.（2）全等三角形的对应角相等.知识点三：判定两个三角形全等的方法.（1）SSS（2）SAS（3）ASA（4）AAS（5）HL（只对直角三形来说）知识点四：寻找全等三形对应边、对应角的规律.①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角.③有公共边的，公共边一定是对应边.④有公共角的，公共角一定是对应角.⑤有对顶角的，对顶角是对应角.⑥全等三角形中的最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）.知识点五：找全等三角形的方法.（1）一般来说，要证明相等的两条线段（或两个角），可以从结论出发，看它们分别落在哪两具可能的全等三角形中.（常用的办法）（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等.（3）可以从已知条件和结论综合考虑，看它们能否一同确定哪两个三角形全等.扬程教育专业1对1中小学课外辅导扬起风帆驶向前程YangchengEducation（4）如无法证证明全等时，可考虑作辅助线的方法，构造成全等三角形.知识点六：角平分线的性质及判定.（1）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.（2）角平分线的判定：在角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上.（3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条角平分线交于一点，且到三角形三边距离相等.知识点七：证明线段相等的方法.（重点）（1）中点性质（中位线、中线、垂直平分线）（2）证明两个三角形全等，则对应边相等（3）借助中间线段相等.知识点八：证明角相等的方法.（重点）（1）对顶角相等；（2）同角或等角的余角（或补角）相等；（3）两直线平行，内错角相等、同位角相等；（4）角平分线的定义；（5）垂直的定义；（6）全等三角形的对应角相等；（7）三角形的外角等于与它不相邻的两内角和.知识点九：全等三角形中几个重要的结论.（1）全等三角形对应角的平分线相等；（2）全等三角形对应边上的中线相等；（3）全等三角形对应边上的高相等.知识点十：三角形中常见辅助线的作法.（重难点）（1）延长中线构造全等三角形（倍长线段法）；（2）引平行线构造全等三角形；（3）作垂直线段（或高）；（4）取长补短法（截取法）.扬程教育专业1对1中小学课外辅导扬起风帆驶向前程YangchengEducationODCBAECFNBM120°AEDCBA四、例题精讲：考点一：考查全等三角形的性质定理及判定定理.类型1下列三角形全等的判定中，只适用于直角三角形的是（）A、SSSB、SASC、ASAD、HL类型2下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A、一锐角和一直角边对应用相等B、两直角边对应相等C、两锐角对应相等D、斜边、直角边对应相等.类型3如图，AC和BD相交于点O，BO=DO，AO=CO，则图中的全等三角形共有多少对（）A、1对B、2对C、3对D、4对考点二：考查全等三角形与垂直平分线的应用.类型1在ABC中，ABcmBCAACAB，，，6120的垂直平分线交BC于点M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于F，求证：NCMNBM.类型2如图所示，在ABC中，ACAB，BD平分ABC，ADBCBD，DEAB.（1）求A的度数；（2）求证：AEBE.扬程教育专业1对1中小学课外辅导扬起风帆驶向前程YangchengEducation图2图1CADBEAEDCBNMEFDCBAQAEBDCP考点三：全等三角形与等边三角形的综合运用.类型1已知ABC和DEB为等边三角形，点BDA、、在同一直线上，如图1所示.（1）求证：AEDC；（2）若AEBNCDBM，，垂足分别为NM、，如图2，求证：BMN是等边三角形.类型2如图所示，ABC是边长为1的等边三角形，120BDCCDBD，，FE、分别在ACAB、上，且60EDF，求AEF的周长.类型3如图所示，ABC是等边三角形，ADBQCDAE，于点QBE交AD于点P，（1）求PBQ的度数；（2）请判断PQ与PB的数量关系，并说明理由；（3）若31PQPE，，求AD的长.扬程教育专业1对1中小学课外辅导扬起风帆驶向前程YangchengEducationABCFEDDACBEABDCFGECBADBCAE类型4如图所示，ABC为等边三角形，D为BC边上的一点，且ACDFABDE，，若ABC的高为32，求DFDE的值.考点四：角平分线与全等三角形的综合运用.类型1在ABC中，AD平分BAC，ADCE于E，求证：ACEBECB.类型2如图所示，在ABC中，AD平分BAC，BC2，求证：CDACAB.类型3如图所示，//ABCD，BE平分ABC，CE平分BCD，求证：BCABCD.类型4如图所示，在ABC中，60C，BEAF,分别为ABCCAB,的角平分线，AF交BC扬程教育专业1对1中小学课外辅导扬起风帆驶向前程YangchengEducationAB21CDDGAEBCFEDCBAFEDCBA于点E，BE交AC于点F，BEAF,相交于点G，求证：GFGE.考点五：等腰三角形与全等三角形的综合运用.类型1如图所示，ABC为等腰三角形，ABAC，点,DE分别在AB和AC的延长线上，且BDCE，DE交BC于点G，求证：DGGE.类型2如图所示，在ABC中，CDBD，21，求证：AD平分BAC.类型3如图所示，在ABCRt中，90ACB，BCAC，D为BC中点，ADCE于E，交AB于F，连接DF，求证：BDFADC.类型4如图所示，已知ABCEACBDACAB，，，垂足分别为ED、，CEBD,相交于点F，求证：CDBE.扬程教育专业1对1中小学课外辅导扬起风帆驶向前程YangchengEducationCBDAEABCDABDCEBDCA类型5已知ADEABC、是两个腰互不相等的等腰直角三角形，，，AEADACAB90DAEBAC，连结DC.（1）求证：CDBE；（2）求证：CDBE.考点六：考查中线与全等三角形的综合运用.类型1如图所示，AD是ABC的中线，求证：ACABAD2类型2如图所示，CECB、分别是ABC，ADC的中线，且ABAC，求证：2CDCE.类型3已知如图所示，在ABCRt中，90C，CD是ABCRt的中线，求证：CDBDAD.扬程教育专业1对1中小学课外辅导扬起风帆驶向前程YangchengEducationαADBOC110°考点七：考查全等三角形关于“质点运动”问题（通常与一次函数相结合）（难点）类型1已知直线AB的函数解析式为8xy，且与x轴、y轴分别交于BA、两点，点O到直线AB的距离为24，动点Q从点B开始在线段BA上向点A移动，同时动点P从点A开始向线段AO上向点O移动，两点速度均以1个单位长度的速度移动，设点Q、P移动时间为ts.（1）求出BA、两点的坐标.（2）当t为何值时，APQ与OBQ全等.（3）是否存在AOQ与OBQ全等？若存在，试求出此时t的取值范围及线段OQ所在直线的函数解析式；若不存在，请说明理由.考点八：旋转与全等三角形、等腰三角形、等边三角形的综合运用.类型1：如图所示，点O是等边ABC内一点，aBOCAOB，110，将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC，连接OD.（1）求证：COD是等边三角形；（2）当150a时，试AOD判断的形状，并说明理由；xQByOPA扬程教育专业1对1中小学课外辅导扬起风帆驶向前程YangchengEducationABDCECFNBM120°AEDCBA（3）探究：当a为多少度时，AOD是等腰三角形？五、练习巩固.1、如上图若105A，NFME、分别为ACAB、的垂直平分线，求MAN的度数.2、如图所示，在ABC中，ACAB，36A，BD平分ABC，ABDE，（1）图中有多少个等腰三角形，请写出来.（2）求证：ADBCBD；（3）若BDC的周长为24cm，14ABcm，求ABC的周长.3、如图所示，在ABC中，AD平分BAC，CDACAB，求证：BC2扬程教育专业1对1中小学课外辅导扬起风帆驶向前程YangchengEducationFABEDCABDCDMCAB(4)(3)(2)(1)FE(C)D(A)BEDC(A)BEDC(A)BABCDEF4、如图所示，在ABC中，BDDC，EDDF，求证：BECFEF.5、如图所示，在ABCRt中，45B，AD平分BAC，求证：CDACAB6、如图所示，90BC，M为BC的中点，AM平分DAB，求证：DM平分ADC.7、如图(1)所示，ABC沿着DE对折，使点A刚好落在点B上，如图(2)所示，将图(2)再沿着()BFAF对折（图(3)所示），使点C刚好落在点D上，得到图(4).请问：(1)ABC中A的度数为__________；(2)根据上述的折叠，图(1)中，有_______个等腰三角形.扬程教育专业1对1中小学课外辅导扬起风帆驶向前程YangchengEducationAEBDCFFEDCBAECDBAAQBCPD8、如图所示，在ABC中，AD是BAC的角平分线，ACDFABDE，，228cmSABC，，cmAB20cmAC8，求DE的长.9、如图所示，已知ABCEADBD，垂足为E，CEBD,相交于点F，求证：CDF为等腰三角形.10、如图所示，在ABC中，CDAB，BDABAD，AE是ABD的中线.求证：AEAC2.11、如图所示，已知在ABC中，cmBCcmACAB810，，点D为AB的中点，（1）如果点P在线段BC上以scm/3的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，BPD与CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿扬程教育专业1对1中小学课外辅导扬起风帆驶向前程YangchengEducation图1DFABCEG图2DEBCAFEDCBAMNNMABCDEF321NMABCDEFABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇？12、如图1所示，ABC和DEB为等边三角形，EBA、、在同一条直线上，连接CEAD、分别交BDBC、于点FG、，连结GF.（1）求证：CEAD.（2）求证：BGF是等边三角形.（3）将BDE绕点B按顺时针方向旋转90，其他条件不变的情况下，在图2中补出符合要求的条件，并判断第（1）（2）两小题的结论是否成立？13、如图①所示，在ABCRt中，90BAC，ABAC，点DE、是直线AC上的两动点，且ADCE，AMBD，垂足为M，延长AM交BC于点N，直线BD交直线NE于点F.(1)试探究EDF与DEF的大小关系；(2)如图②所示，若DE、