等腰直角三角形模型、三垂直模型

45°45°CBADCBA题型一：等腰直角三角形模型思路导航等腰直角三角形数学模型思路：⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC或904545°，，）.如图1；⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2；⑶补全为正方形.如图3，4.图1图2图3图4全等三角形的经典模型（一）ABCOMNABCOMN典题精练【例1】已知：如图所示，Rt△ABC中，AB=AC，90BAC°，O为BC的中点，⑴写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）⑵如果点M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM.试判断△OMN的形状，并证明你的结论.⑶如果点M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动，且在移动中保持AN=CM，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．【解析】⑴OA=OB=OC⑵连接OA,∵OA=OC45BAOC°AN=CM∴△ANO≌△CMO∴ON=OM∴NOAMOC∴90NOABONMOCBON∴90NOM∴△OMN是等腰直角三角形⑶△ONM依然为等腰直角三角形，证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，O为BC中点∴∠BAO=∠OAC=∠ABC=∠ACB=45°，∴AO=BO=OC，∵在△ANO和△CMO中，ANCMBAOCAOCO∴△ANO≌△CMO（SAS）∴ON=OM，∠AON=∠COM，又∵∠COM∠AOM=90°，∴△OMN为等腰直角三角形．【例2】两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，,,EAC三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断EMC△的形状，并说明理由．【解析】EMC△是等腰直角三角形．证明：连接AM．由题意，得,90,90.DEACDAEBACDAB∴DAB△为等腰直角三角形.∵DMMB，MEDCBAABCOMNMEDCBAFEDCBANM12ABCDEF3M12ABCDEF3∴,45MAMBDMMDAMAB．∴105MDEMAC，∴EDM△≌CAM△．∴,EMMCDMEAMC．又90EMCEMAAMCEMADME．∴CMEM，∴EMC△是等腰直角三角形．【例3】已知：如图，ABC△中，ABAC，90BAC°，D是AC的中点，AFBD于E，交BC于F，连接DF．求证：ADBCDF．【解析】证法一：如图，过点A作ANBC于N，交BD于M．∵ABAC，90BAC°，∴345DAM°．∵45C°，∴3C．∵AFBD，∴190BAE°∵90BAC°，∴290BAE°．∴12．在ABM△和CAF△中，123ABACC∴ABMCAF△≌△．∴AMCF．在ADM△和CDF△中，ADCDDAMCAMCF∴ADMCDF△≌△．∴ADBCDF．证法二：如图，作CMAC交AF的延长线于M．∵AFBD，∴3290°，∵90BAC°，∴1290°，∴13．在ACM△和BAD△中，1390ACABACMBAD°∴ACMBAD△≌△．∴MADB，ADCM∵ADDC，∴CMCD．在CMF△和CDF△中，PCBAPCBAD45CFCFMCFDCFCMCD°∴CMFCDF△≌△．∴MCDF∴ADBCDF．【例4】如图，等腰直角ABC△中，90ACBCACB，°，P为ABC△内部一点，满足PBPCAPAC，，求证：15BCP．【解析】补全正方形ACBD，连接DP，易证ADP△是等边三角形，60DAP，45BAD，∴15BAP，30PAC，∴75ACP，∴15BCP．【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。例4为求角度的应用，其他应用探究如下：【探究一】证角等【备选1】如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M为AC中点，连结BM，作AD⊥BM交BC于点D，连结DM，求证:∠AMB=∠CMD．21NFABCDMEEMDCBA【解析】作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BFC，延长AD交CF于点N，∵AN⊥BM，由正方形的性质，可得AN=BM，易证Rt△ABM≌Rt△CAN，∴∠AMB=∠CND，CN=AM，∵M为AC中点，∴CM=CN，∵∠1=∠2，可证得△CMD≌△CND，∴∠CND=∠CMD，∴∠AMB=∠CMD．【探究二】判定三角形形状【备选2】如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD=CE，AN⊥BD于点M，延长BD交NE的延长线于点F，试判定△DEF的形状．ABCDEFNMKHMNFEDCBA【解析】作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BHC，可知四边形ABHC为正方形，延长AN交HC于点K，∵AK⊥BD，可知AK=BD，易证:Rt△ABD≌Rt△CAK，∴∠ADB=∠CKN，CK=AD，∵AD=EC，∴CK=CE，易证△CKN≌△CEN，∴∠CKN=∠CEN，易证∠EDF=∠DEF，∴△DEF为等腰三角形．【探究三】利用等积变形求面积【备选3】如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，且BE=4，CF=3，求S矩形DFAE．GMNFEDCBAFEDCBA【解析】作等腰Rt△ABC关于BC的对称的等腰Rt△GCB，可知四边形ABGC为正方形，分别延长FD、ED交BG、CG于点N、M，可知DN=EB=4，DM=FC=3，由正方形对称性质，可知S矩形DFAE=S矩形DMGN=DM·DN=34=12．【探究四】求线段长【备选4】如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC=45°，BD=3，CD=2，求AD的长．GFEDCBADCBA【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽管已知条件不是等腰直角三角形，但∵∠BAC=45°，若分别以AB、AC为对称轴作Rt△ADB的对称直角三角形和Rt△ADC的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为90°的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形．【解析】以AB为轴作Rt△ADB的对称的Rt△AEB，再以AC为轴作Rt△ADC的对称的Rt△AFC．可知BE=BD=3，FC=CD=2，延长EB、FC交点G，∵∠BAC=45°，由对称性，可得∠EAF=90°，且AE=AD=AF，易证四边形AFGE为正方形，且边长等于AD，设AD=x，则BG=x－3，CG=x－2，在Rt△BCG中，由勾股定理，得222235xx，解得x=6，即AD=6．【探究五】求最小值【备选5】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AC的中点，P为斜边AB上的动点，求PM+PC的最小值．MPDBCAMPBCA【解析】将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作Rt△ACB关于AB对称的Rt△ADB，可知四边形ACBD为正方形，连接CD，可知点C关于AB的对称点D，连接MD交AB于点P，连接CP，则PM+PC的值为最小，最小值为:PM+PC=DM=224225．C1ABCEDDE(C)BAC1C1ABCEDC1ABCEDEDCBA21题型二：三垂直模型常见三垂直模型例题精讲【引例】已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，⑴求证：AC⊥CE；⑵若将△CDE沿CB方向平移得到①②③④等不同情形，1ABCD，其余条件不变，试判断AC⊥C1E这一结论是否成立？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由.①②③④【解析】⑴∵AB⊥BD，ED⊥BD∴90BD在ABC△与CDE△中ABCDBDBCDE∴ABCCDE△≌△（SAS）∴1E∵290E∴90ACE,即AC⊥CE⑵图①②③④四种情形中，结论永远成立，证明方法与⑴完全类似，只要证明1ABCCDE△≌△∴1ACBCED21GFEOyx3DCBAOyxDCBA∵1190CEDDCE∴190DCEACB∴AC⊥C1E典题精练【例5】正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为010，，84，，点C在第一象限．求正方形边长及顶点C的坐标．（计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）【解析】过点C作CG⊥x轴于G，过B作BE⊥y轴于E，并反向延长交CG于F点A、B的坐标分别为010，，84，∴BE=8，AE=6，∴AB=10∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC∵13902390∴12∵90AEBBFC∴△AEB≌△BFC∴CF=BE=8，BF=AE=6∴CG=12EF=14∴C(14，12)，正方形的边长为10【点评】此题中三垂直模型：【例6】如图所示，在直角梯形ABCD中，90ABC，ADBC∥，ABBC，E是AB的中点，CEBD．⑴求证：BEAD；⑵求证：AC是线段ED的垂直平分线；⑶DBC△是等腰三角形吗？请说明理由．【解析】⑴∵90ABC，BDEC，∴9090ECBDBCABDDBC，，∴ECBABD，ABCDEM∵90ABCDAB，ABBC，∴BADCBE△≌△，∴ADBE．⑵∵E是AB中点，∴EBEA由⑴得：ADBE，∴AEAD∵ADBC∥，∴45CADACB，∵45BAC，∴BACDAC由等腰三角形的性质，得：EMMDAMDE，即AC是线段ED的垂直平分线．⑶DBC△是等腰三角形，CDBD由⑵得：CDCE，由⑴得：CEBD∴CDBD，∴DBC△是等腰三角形．巅峰突破【例7】⑴如图1，△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=CE，连接AE、CD相交于点P．请你补全图形，并直接写出∠APD的度数=；⑵如图2，Rt△ABC中，∠B=90°，M、N分别是AB、BC上的点，且AM=BC、BM=CN，连接AN、CM相交于点P．请你猜想∠APM=°，并写出你的推理过程．【解析】⑴图略，60°⑵45°证明：作AE⊥AB且AECNBM.可证EAM△≌MBC△∴MEMC，.AMEBCM∵90,CMBMCB∴90.CMBAME∴90.EMC∴EMC△是等腰直角三角形,45.MCE又△AEC≌△CAN（SAS）∴.ECANAC∴EC∥AN.∴45.APMECMEABCMNP图2图1PNMCBACBAEDCBAABCDEF复习巩固题型一等腰直角三角形模型巩固练习【练习1】如图，△ACB、△ECD均为等腰直角三角形，则图中与△BDC全等的三角形为_________.【解析】△AEC【练习2】如图，已知RtABC△中90ACB°，ACBC，D是BC的中点，CEAD，垂足为E．BFAC∥，交CE的延长线于点F．求证：2ACBF．【解析】∵90ACB°，BFAC∥，∴90ACDCBF°，90ADCCAD°．∵CEAD，∴90FCBADC°，∴CADFCB．又∵ACCB，∴ADCCFB△≌△．∴DCFB．∵D是BC的中点，∴2BCBF，即2ACBF．题型二三垂直模型巩固练习【练习3】已知：如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB），点E在BC上，且AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．请探求DF与AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明．【解析】经探求，结论是：DF=AB．