找规律-并列代数式

第1个图第2个图第3个图第4个图找规律，并列代数式知识点：①：1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)2②：1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2③：2+4+6+8+10+12+14+…+2n=n(n+1)④：12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=(1)(21)6nnn⑤：13+23+33+43+53+63+…n3=2221(1)[(1)]24nnnn⑥：1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+…+n(n+1)=(1)(2)3nnn一、几何图形问题1.将一些半径相同的小圆按如图5所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有______个小圆．(用含n的代数式表示)2.1张长方形桌子可坐6人，按下图方式将桌子拼在一起.(1)2张桌子拼在一起可坐多少人？3张桌子呢？…………n张桌子呢？(2)一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张拼成1张大桌子，則40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐人；(3)在(2)中，若改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐人.3.用火柴棒按下图的方式搭三角形.(1)填写下表:三角形个数12345火柴捧根数(2)照这徉的规律搭下去，搭n个这徉的三角形需要多少根火柒棒？4.用火柴棒按下图中的方式格图形.(1)按图示规律填空:图形标号①②③④⑤火柴棒根数(2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要根火柴棒.4、按下图方式摆放餐桌和椅子(1)1张餐桌可坐6人，2张餐桌可坐人.(2)按照图的方式继续排列餐桌，完成下表：桌子张数3456n可坐人数5.用棋子摆出下列一组图形：(1)摆第1个图形用牧棋子，摆第2个图形用枚棋子，摆第3个图形用.牧棋子；(2)按照这种方式摆下去，第n个图形用枚棋子，摆第100个图形用枚棋子.6.《庄子。天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图所示。①②③①②③④112312212由图易得：231111.......2222n.二、代数问题1.一列数：0，-1，3，-6，10，-15，21，…，按此规律第n的数为．2.一列数：3，6，10，15，21，…，按此规律第n的数为．（提示：每个数乘以2后再找）3.已知一列数2，8，26，80．…，按此规律，则第n个数是．（用含n的代数式表示）4.一列数123(1),(2),(3),,()nffffn，满足()1fnnn，其中n是正整数，则1232015(1)(2)(3)(2015)ffff.5.一列数123,,,aaa……na，其中1231211111,,,,111nnaaaaaaaLL，则1232014aaaaLL__________.6.如图，按此规律，第6行最后一个数字是，第行最后一个数是2014．（分析：每一行的最后一个数字构成等差数列1，4，7，10…，第n行的最后一个数字为1+3（n-1）=3n-2，）7.已知2332312C，3554310123C，466543151234C，…观察以上计算过程，寻找规律计算58C=．8.甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是分．（分析：根据题意得甲报出的数中第一个数为1，第2个数为1+3=4，第3个数为1+3×2=7，第4个数为1+3×3=10，…，第n个数为1+3（n-1），由于1+3（n-1）=2014，解得n=672，则甲报出了672个数，再观察甲报出的数总是一奇一偶，所以偶数有672÷2=336个，由此得出答案即可）9.观察下列等式：第一个等式：1223111221222a；第二个等式：23234112322232a；第三个等式：34345113423242a；第四个等式：45455114524252a．按上述规律，回答以下问题：（1）用含n的代数式表示第n个等式：an=；（2）式子a1+a2+a3+…+a20=．10.如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数．例如，（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出（a+b）4的展开式，（a+b）4=．11.观察下列各式：13=1213+23=3213+23+33=6213+23+33+43=102…猜想13+23+33+…+103=．12.为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则：2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S-S=2101-1，所以S=2101-1，即1+2+22+23+…+2100=2101-1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值是．13.观察规律并填空21133(1)2224；22111324142(1)(1)232233233；222111132435155(1)(1)(1)234223343248；2222111113243546163(1)(1)(1)(1)234522334455255；…2222211111(1)(1)(1)(1)(1)2345n.（用含n的代数式表示，n是正整数，且n≥2）(分析：由前面算式可以看出：算式的左边利用平方差公式因式分解，中间的数字互为倒数，乘积为1，只剩下两端的（1-12）和（1+1n）相乘得出结果．解答：解：（1-212）（1-213）（1-214）（1-215）…（1-21n）=132435412233445nn=12nn．故答案为：12nn．)14.观察下列一组数：14，39，516，725，936，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是．15.数学问题：计算231111nmmmm（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）．探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．探究一：计算2311112222n．第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为12；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为21122；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；…第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为2311112222n，最后空白部分的面积是12n．根据第n次分割图可得等式：2311112222n=112n．探究二：计算2311113333n．第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为23；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为22233；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；…第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为2322223333n，最后空白部分的面积是13n．根据第n次分割图可得等式：2322221133333nn，两边同除以2，得：232222113333223nn探究三：计算2311114444n．（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）解决问题：计算231111nmmmm．（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）根据第n次分割图可得等式：2333331144444nn，所以，231111111(1)nnmmmmmmm.拓广应用：计算2323515151515555nn．