随机过程-第六章-鞅与停时

-1-第六章鞅与停时鞅（Martingale）论目前已成为研究概率论以及应用概率论和其他随机过程的有力工具，在金融、保险等领域均得到广泛的应用。我们首先讨论离散鞅，即以离散时间n为参数；有关连续鞅将在本章最后一节中讨论。因此，本章中如有特别说明，涉及的鞅均指离散鞅。6.1离散鞅的定义定义6.1鞅：随机过程{,0}nXn是鞅，如果0n有（1）()nEX；（2）101(,,,),..nnnEXXXXXas鞅是公平赌博的一种推广。假设我们把nX解释为第n次赌博后的赌资，则根据定义6.1,第1n次赌博后的平均赌资恰好等于nX，无论之前发生怎样的情况，即每次赌博胜负机会均等。对（2）式两边取期望得1()()nnEXEX因此，对一切的n有0()()nEXEX这说明鞅在任何时刻的期望值均相等。这里可把0X解释为初始赌资。有时{,0}nXn不能直接观察，而只能观察另一过程{,0}nYn，故做如下定义：定义6.2设有两个随机过程{,0}nXn和{,0}nYn，称{,0}nXn关于{,0}nYn是鞅，如果（1）()nEX；（2）101(,,,),..nnnEXYYYXas下面介绍一些鞅的典型例子。例6.1（独立同分布变量之和）设00Y，{,1}nYn服从独立同分布，且()0,()nnEYEY；010,nniiXXY，则{,0}nXn关于{,0}nYn是鞅。-2-例6.2（独立同分布变量之积）设01Y，{,1}nYn服从独立同分布，且()1,()nnEYEY；011,nniiXXY，则{,0}nXn关于{,0}nYn是鞅。以上两例请同学们自证。例6.3和的方差：设00Y，{,1}nYn服从独立同分布，且22()0,()nnEYEY；22010,()nniiXXYn，则{,0}nXn关于{,0}nYn是鞅。证：因为2222112221()(())(())()2innniiiinijiijEXEYnEYnEYYYnn所以11122101101122210111222201101011121(,,,)[()(1),,,][(2())(1),,,](,,,)2(,,,)[(),,,]()2(nnnnnnnininnniiniinnnnininiinEXYYYEYYnYYYEYYYYnYYYEYYYYEYYYYYEYnYYYEYEY20101122,,,)()(,,,)0nninninnYYYYEXYYYXX注：综合例6.1至例6.3，可把其中的独立同分布序列推广到一般随机序列，即设{,0}nYn为一随机序列，0(,,)iiiZgYY，ig为一般函数；函数f满足(())kEfZ，01(,,),0kkayyk为k元有界实函数，即0101(,,),,,kkkkayyAyy，且约定010010(),[()][()]aYaEfZYEfZ，令0110110[()[()],,,](,,,)nnkkkkkkXfZEfZYYYaYYY可以验证{,0}nXn关于{,0}nYn是鞅。例6.4由马尔可夫链导出的鞅：设{,0}nYn是马尔可夫链，其状态空间为S，具有转-3-移矩阵ijPp，f是P的有界右正则序列（调和函数），即()0fi且()(),(),ijjSfipfjfjMiS令()nnXfY，则{,0}nXn关于{,0}nYn是鞅。证：因为()nEX所以10110111,(,,,)((),,,)(())(){}()()nnnnnnYnnnnjSYjjSnnEXYYYEfYYYYEfYYfjPYjYfjpfYX的马尔可夫性因此，{,0}nXn关于{,0}nYn是鞅。例6.5由转移概率特征向量导出的鞅：设{,0}nYn是马尔可夫链，其状态空间为S，具有转移矩阵ijPp，向量((0),(1),)fff称为P的右特征向量，如果对某个特征值有()(),ijjSfipfjiS且(()),nEfYn。令()nnnXfY，则{,0}nXn关于{,0}nYn是鞅。证：因为(())(())nnnnnEXEfYEfY1101101111,(,,,)[(,,,)][()][()]()nnnnnnnnnnYjjSnnnEXYYYEfYYYYEfYYfjpfYX更一般地，设{,0}nYn是一离散时间马尔可夫过程，具有转移分布函数1(){}nnFyzPYyYz-4-如果对所有的n，有(())nEfY且()()()fyfzdFzy则称{(),0}nnnXfYn是一个鞅。例6.4和例6.5将马尔可夫链与鞅这两个重要的随机过程有机地联系起来，在今后的实际研究中应用广泛。例6.6波利亚（Polya）坛子抽样模型：考虑一个装有红、黄两色球的坛子。假设最初坛子中装有红黄两色各一个球，每次都按如下规则有放回地随机抽取：如果拿出的是红球，则放回的同时再加一个同色的球；如果拿出的是黄色的球也采取同样的做法。以nY第n次抽取后坛子中的红球数，则01Y，nY是一个非时齐的马尔可夫链，转移概率为11{1}22{}2nnnnkPYkYknnkPYkYkn令nX表示第n次抽取后红球所占的比例，则2nnYXn，且nX是一个鞅。因为1()2nnnnYEYYYn因为nY是一个马尔可夫链，即12(,,,)nnFYYY中对1nY有影响的信息都包含在nY中，所以1111()()()1211()()3322nnnnnnnnnnnnYEXFEXYEYnYYEYYYXnnnn6.2上鞅（下鞅）及分解定理定义6.3设{,0}nXn和{,0}nYn是随机过程，称{,0}nXn关于{,0}nYn是一个上鞅，如果（1）()nEX，其中min(,0)xx；（2）101(,,,)nnnEXYYYX；（3）nX是01,,,nYYY的函数。定义6.4设{,0}nXn和{,0}nYn是随机过程，称{,0}nXn关于{,0}nYn是一个-5-下鞅，如果（1）()nEX，其中max(,0)xx；（2）101(,,,)nnnEXYYYX；（3）nX是01,,,nYYY的函数。与鞅由公平赌博得来不同，上鞅（下鞅）可由不公平赌博来解释，由定义6.3和定义6.4可得：对于上鞅，有10()()()nnEXEXEX，因此上鞅是一种下偏的赌博；对于下鞅，有10()()()nnEXEXEX，因此下鞅是一种上偏的赌博。为后面讲述方便，我们需要引入Jensen不等式。设()fx为凸函数，即对12,,01xx有1212()(1)()((1))fxfxfxx进一步推广，设1,1,2,,,01,1niiiixin，有11()()nniiiiiifxfx即(())(())EfXfEX0101((),,,)((,,,))nnEfXYYYfEXYYY此即为Jensen不等式。引理6.1（条件）Jensen不等式：若()fx为凸函数，且假定其期望存在，则有Jensen不等式：(())(())EfXfEX条件Jensen不等式：0101((),,,)((,,,))nnEfXYYYfEXYYY上（下）鞅的基本性质：1、若{,0}nXn关于{,0}nYn是（上）鞅，则01(,,,)(),0nknnEXYYYXk2、若{,0}nXn是（上）鞅，则对0kn，有-6-0()()()()()nkEXEXEX3、若{,0}nXn关于{,0}nYn是（上）鞅，g是关于01,,,nYYY的（非负）函数，则010101[(,,,),,,](,,,),0nnknnnEgYYYXYYYgYYYXk性质1的证明：用数学归纳法证明，仅证上鞅时的情形，当为鞅时，将改为即可。当0k时，不等式显然成立；当1k，由定义6.3可知不等式成立；当2k时，设01(,,,)nknnEXYYYX成立，现证101(,,,)nknnEXYYYX也成立。1011010101(,,,)((,,,),,,)(,,,)nknnknnnknnEXYYYEEXYYYYYYEXYYYX因此，对于0k，不等式均成立。性质2的证明：利用性质1有01(,,,)()nkkEXYYYX，故01()((,,,))()()nnkkEXEEXYYYEX类似地可证0()()()kEXEX。性质3的证明：因为g是关于01,,,nYYY的（非负）函数，因此0101010101[(,,,),,,](,,,)(,,,)()(,,,)nnknnnknnnEgYYYXYYYgYYYEXYYYgYYYX实际中我们常常把上鞅和下鞅分解成鞅来处理，鞅的分解定理是鞅论中的基本定理之一。定理6.1分解定理：对于任意一个{,1}nXn关于{,1}nYn是下鞅，必存在随机过程{,1}nMn和{,1}nZn，使得（1）{,1}nMn关于{,1}nYn是鞅；（2）nZ是11,,,2nYYn的函数，且110,,()nnnZZZEZ；（3）,1nnnXMZn。且上述分解是唯一的。证明：先证存在性。令10Z，000MX，及-7-11111111(,,),1,(,,),2nnnkkkknnnnkkkkMXEXXYYnZXMEXXYYn因为{,1}nXn关于{,1}nYn是下鞅，因此1111111(,,),(,,)kkkkkkEXYYXEXYYX进而有111(,,)0kkkEXXYY因此nZ为非负且单调非降的，且nZ是11,,nYY的函数。同时由nZ的定义有1111111111111()((,,))((,,))()()()()()()nnnkkkkkkkknkknnnkEZEEXXYYEEXXYYEXXEXXEXEXEXEX非负另外111111111111111111111111111111(,,)[((,,)),,][,,][(,,),,][,,][(,,),,][,,][(nnnnkkknknnnkkknknnnkkknknnnnkkEMYYEXEXXYYYYEXYYEEXXYYYYEXYYEEXXYYYYEXXYYXEEXXY1111111,,),,]nknknYYYM又()()()()nnnnnEMEXZEXEZ因此，{,1}nMn关于{,1}nYn是鞅，且,1nnnXMZn，故存在性证毕。再证唯一性。设另一分解','nnMZ满足上述定理要求，即100'',1,'0,'0nnnXMZnZMX则''nnnnnMZMZX-8-令''nnnnnMMZZ，因为{,1}nMn和{',1}nMn均是关于{,1}nYn的鞅，因此{,1}nn也是关于{,1}nYn的鞅。所以有111(,,)nnnEYY又因为,'nnZZ是关于11,,nYY的函数，因此n也是关于11,,nYY的函数。另11(,,)nnnEYY注：因为1111(,,)nn