七年级数学有理数的混合运算简便运算技巧(1)江苏科技版知识精讲

七年级数学有理数的混合运算——简便运算技巧（1）江苏科技版【本讲教育信息】一.教学内容：有理数的混合运算——简便运算技巧（1）“算对与算巧”求10099321的和，从左到右逐次相加似乎很安稳的事，其实这样算下来不仅工作量很大，而且运算的次数太多，出错的可能性也大，聪明的高斯没有这样做，他把这个算式头尾倒过来写成129899100然后将两个式子的对应项相加得到100个101，101乘100再除以2便得到所求的和。这样不但算得对，而且算得快，这是一个脍炙人口的故事，它告诉我们数学运算不仅要算对更要算巧。二.重点、难点：有理数运算是代数中最基本的运算，若能根据题目特点灵活掌握运用一些技巧，不仅可提高运算速度和准确率，还可培养学生善于思考的好习惯，有利于思维能力的培养，现介绍几种有理数运算中的解题技巧。三.基础回顾：（1）有理数的运算法则：①加法法则：同号相加一边倒，异号相加大减小，符号跟着大的跑。②减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。③乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。0乘任何数都得0。④除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数。0不能作除数。⑤有理数的乘方运算：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。（2）运算律：①加法交换律：a＋b＝b＋a。②加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。③乘法交换律：ab＝ba。④乘法结合律：（ab）c＝a（bc）。⑤乘法对加法的分配律：a（b＋c）＝ab＋ac。（3）运算顺序及注意事项：①有理数的加、减、乘、除四则混合运算，一定要先把减法改成加法，除法改成乘法。这样可以防止出错。②对含有三级运算的情况，按先乘方、开方，再乘除，最后加减的运算顺序。同级运算从左到右依次运算。有括号时按小、中、大括号顺序进行，有时也可灵活去括号。③应注意灵活运用运算律，使计算简便化，对互为相反数其和为零的要优先解决。【典型例题】一.符号与括号有理数运算是代数入门的重点，又是难点，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，由于负数的引入，符号“＋”与“－”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号，因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，从而使复杂问题变得较简单，在此应特别注意去添括号时符号的变化。例1.计算分析：不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为1或为－1，如果按照将第一与第二项，第三与第四项，……，分别配对的方式计算，就能得到一系列的－1。解：下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是个（－1）的和，即；当n为奇数时，上式是个（－1）的和，再加上最后一项，所以有说明：两种情况可以合并为：二.巧添辅助数例2.计算：解：原式三.巧用整体例3．购买5种物品，，，，的件数和用钱总数列成下表：那么，购买每种物品各一件共需多少元？解：由已知表格：购买1件，3件，4件，5件，6件共需1995元；所以购买2件，6件，8件，10件，12件共需2×1995元；又因为购买1件，5件，7件，9件，11件共需2984元；所以购买每种物品各一件共需2×1995－2984＝1006（元）说明：设购买物品i＝1，2，3，4，5则，①②由2×①－②得需要指出的是：我们无法计算每个，但我们能巧算出这个整体，整体思维常常会帮助我们算对，算快和算得巧妙。四.巧用凑整运算例4.计算：解：原式（）（）20920082000000002五.巧用公式例5.计算：1121131199111002222解：原式11211211311311100111001232234398991009999100101100××××××××说明：平方差公式：ababab22()()例6.计算：解：原式()()782278782222787822222222××说明：立方差公式：))((2233babababa立方和公式：))((2233babababa完全平方公式：2222)(bababa，2222)(bababa六.巧用拆项法例7.（第六届“祖冲之杯”数学竞赛题）计算10032114321132112111＝________分析：直接计算难上加难。应考虑运用拆项法消去部分项，从而使运算简单易行。利用上面介绍的反序相加法，不难求得最后两项为，，而，同理，，那么本题就不难解决了。解：原式＝10100299002202122621＝)10111001100199141313121211(2说明：形如1nna（）的分数，可以拆成1a（）11nna的形式。例8.解：应用关系式来进行“拆项”。原式【模拟试题】（答题时间：30分钟）1.计算：123456789101112199719981999200020012.已知0为数轴的原点，A、B两点对应的数分别为1、2，设P1为AB的中点，P2为AP1的中点，…，P100为P99的中点，求P1，P2，P3，…，P100所对应的各数之和。3.计算：8.3611315544322611（分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为整数，故可用“凑整”法。）4.求和()()()()12131415916023242525926034343635936058595960（分析：由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变原式繁难的计算。）5.计算：)200520041200420031431321211(2005试题答案1.解法1：原式()()()()()123456789102212199719981999200020024500200120002000×解法2：原式2.解：设对应的数为aiaiiii(),,,,110011212100则所以，aaa12100210010011211211200101123.解：原式4.解：原式1213231424341602603605960()()()12223242592121235912159592()×（）×5.解：原式＝)]2005120041()2004120031()4131()3121()211[(2005＝)200511(2005＝200520042005＝2004