数学分析试题及答案解析

..2014---2015学年度第二学期《数学分析2》A试卷学院班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七八总分核分人得分一.判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)1.若xf在ba,连续，则xf在ba,上的不定积分dxxf可表为Cdttfxa（）.2.若xgxf,为连续函数，则dxxgdxxfdxxgxf（）.3.若adxxf绝对收敛，adxxg条件收敛，则adxxgxf][必然条件收敛（）.4.若1dxxf收敛，则必有级数1nnf收敛（）5.若nf与ng均在区间I上内闭一致收敛，则nngf也在区间I上内闭一致收敛（）.6.若数项级数1nna条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（）.7.任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）.二.单项选择题（每小题3分，共15分）1.若xf在ba,上可积，则下限函数axdxxf在ba,上（）A.不连续B.连续C.可微D.不能确定2.若xg在ba,上可积，而xf在ba,上仅有有限个点处与xg不相等，则（）..A.xf在ba,上一定不可积；B.xf在ba,上一定可积,但是babadxxgdxxf；C.xf在ba,上一定可积，并且babadxxgdxxf；D.xf在ba,上的可积性不能确定.3.级数12111nnnnA.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.不确定4.设nu为任一项级数，则下列说法正确的是（）A.若0limnnu，则级数nu一定收敛；B.若1lim1nnnuu，则级数nu一定收敛；C.若1,1nnuuNnN，时有当，则级数nu一定收敛；D.若1,1nnuuNnN，时有当，则级数nu一定发散；5.关于幂级数nnxa的说法正确的是（）A.nnxa在收敛区间上各点是绝对收敛的；B.nnxa在收敛域上各点是绝对收敛的；C.nnxa的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；D.nnxa在收敛域上是绝对并且一致收敛的；..三.计算与求值（每小题5分，共10分）1.nnnnnnn211lim2.dxxx2cossinln四.判断敛散性（每小题5分，共15分）1.dxxxx02113..2.1!nnnn3.nnnnn21211五.判别在数集D上的一致收敛性（每小题5分，共10分）1.,,2,1,sinDnnnxxfn..2.,22,2Dxnn六．已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面030角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。（本题满10分）七.将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上），且上底边距水表面距离为10米，已知三角形底边长为20米，高为10米，求该三角形铁板所受的静压力。(本题满分10分)..八.证明：函数3cosnnxxf在,上连续，且有连续的导函数.（本题满分9分）..2014---2015学年度第二学期《数学分析2》B卷答案学院班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七八总分核分人得分一、判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉）1.✘2.✔3.✘4.✔5.✔6.✔7.✔二.单项选择题（每小题3分，共15分）1.B;2.C;3.A;4.D;5.B三.求值与计算题（每小题5分，共10分）1.dxexxxxnn310223sinlim解：由于310310223sin0dxxdxexxxnxn-------------------------3分而03111limlim1310nnnnndxx---------------------------------4分故由数列极限的迫敛性得：0sinlim310223dxexxxxnn-------------------------------------5分2.设xxxfsinsin2，求dxxfxx1解：令tx2sin得dxxfxx1=tdtftt2222sinsinsin1sin----------------2分=tdttttttcossin2sincossin..=tdttsin2-----------------------------------4分=2cos2sintttC=21arcsin2xxxC---------------5分四.判别敛散性（每小题5分，共10分）1.dxxx1021arctan解：241arctanlim1arctan1lim0122101xxxxxxx-------3分且121p，由柯西判别法知，瑕积分dxxx1021arctan收敛-------------------------5分2.2lnln1nnn解：时当00,,lnlimnnNnnn有2lnen-----------------------------2分从而当0nn2ln1ln1nnn-------------------------------4分由比较判别法2lnln1nnn收敛----------------------------5分五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共15分）1.,0,2,1,12Dnnxxfn解：极限函数为Dxxxfxfnnlim-----------------------2分..又nxnxnxnxxfxfn11/11222--------3分10supnxDfxfxn从而0suplimffnn故知该函数列在D上一致收敛.-------------------------5分2.]1,1[,3sin2Dxnn解：因当Dx时，nnnnxxu323sin2--------------2分而正项级数n32收敛，-----------------------------4分由优级数判别法知，该函数列在D上一致收敛.-------------5分3.,,12Dnxn解：易知，级数n1的部分和序列nS一致有界，---2分而对nxxVDxn21,是单调的，又由于nnnxxVDxn011,2，------------------4分所以nxxvn21在D上一致收敛于0，从而由狄利克雷判别法可知，该级数在D上一致收敛。------5分六.设平面区域D是由圆222yx，抛物线2xy及x轴所围第一象限部分，求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分）..解：解方程组2222xyyx得圆222yx与抛物线2xy在第一象限的交点坐标为：1,1，---------------------------------------3分则所求旋转体得体积为：101022ydydyyV-------------------------------7分=------------------=76------------------------------------------------------10分七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分10分）解：以圆柱上顶面圆圆心为原点，竖直向下方向为x轴正向建立直角坐标系则分析可知做功微元为：dxxxdxdW2552--------------------------------5分故所求为：100215dxxW-------------------------------------8分=1250=12250（千焦）-----------------------------------10分八．设2,1nxun是],[ba上的单调函数，证明：若aun与bun都绝对收敛，则xun在],[ba上绝对且一致收敛.（本题满分9分）证明：2,1nxun是],[ba上的单调函数，所以有buauxunnn------------------------------4分又由aun与bun都绝对收敛，所以buaunn收敛，--------------------------------------7分由优级数判别法知：xun在],[ba上绝对且一致收敛.--------------------------------..2013---2014学年度第二学期《数学分析2》A试卷学院班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七总分核分人得分一.判断题（每小题2分，共16分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)1.若)(xf在[a,b]上可导，则)(xf在[a,b]上可积.()2.若函数)(xf在[a,b]上有无穷多个间断点，则)(xf在[a,b]上必不可积。（）3.若aadxxgdxxf)()(与均收敛，则adxxgxf)]()([一定条件收敛。（）4.若xfn在区间I上内闭一致收敛，则xfn在区间I处处收敛（）5.若1nna为正项级数（0na），且当0nn时有：11nnaa，则级数1nna必发散。（）6.若xf以2为周期，且在,上可积，则的傅里叶系数为：nxdxxfancos120（）7.若sann1，则1112asaannn（）8.幂级数在其收敛区间上一定内闭一致收敛。（）二.单项选择题（每小题3分，共18分）1.下列广义积分中，收敛的积分是（）..A101dxxB11dxxC0sinxdxD1131dxx2.级数1nna收敛是1nna部分和有界的（）A必要条件B充分条件C充分必要条件D无关条件3.正项级数nu收敛的充要条件是（）A.0limnnuB.数列nu单调有界C.部分和数列ns有上界D.1lim1nnnun4.设aaannn1lim则幂级数1bxabnn的收敛半径R=（）A.aB.ba1C.a1D.ba115.下列命题正确的是（）A)(1xann在],[ba绝对收敛必一致收敛B)(1xann在],[ba一致收敛必绝对收敛C若0|)(|limxann，则)(1xann在],[ba必绝对收敛D)(1xann在],[ba条件收敛必收敛6..若幂级数nnxa的收敛域为1,1,则幂级数nnxa在1,1上..A.一致收敛B.绝对收敛C.连续D.可导三.求值或计算（每题4分，共16分）1.dxxxxln1；2.dxxxcossin13．dxexxx11.4.设xf在[0,1]上连续，求dxxfnn10lim..四.（16分）判别下列反常积分和级数的敛散性.1.1324332xxdx；2.dxxx10)1ln(113.21lnnnnn；4.1!nnnnne..五、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收敛性（每题5分，共10分）1.),(;,2,1,