高等数学极限习题100道

设，求证：．lim()lim()xxxxfxAfxA00求极限limsinsinxxxx021求极限limcosln()coslnxxx1求极限．limsinxxx011求极限．limarctanxxxx2112求极限lim()xxxe11求极限limarctanarcsinxxx1求极限．limxxx012122)sin1(sinlimnnn求数列的极限AxfAufuxuxxxuuxx)(lim)(lim)()(lim00000试证：，又，且设设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小；当时，为无穷大。fxxxabxafxxbfx()ln()()1设，问：当趋于何值时，为无穷小。fxxxxfx()tan()2．该邻域内　的某去心邻域，使得在证明：存在点，且，若)()()(lim)(lim000xfxgxABBxgAxfxxxx设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。lim()()()xxfxAxxxxxxfxfx000010201221．，试用极限定义证明：已知：AxfAxfxxxx)(lim0)(lim00是否也必发散？同发散，试问数列与若数列nnnnyxyx求的表达式fxxxxnnn()lim2121设　其中、为常数，，求的表达式；确定，之值，使，．fxxxabxxabafxabfxffxfnnnxx()limsincos()()()()()lim()()lim()()2121121021211求的表达式fxxnn()lim(ln)11221的表达式．求nnnnnxxxxxf12lim)(．，求，设)(lim)()()()(1)(33)(22xfxfxxxxfxxxnnnn求的表达式．fxxxxxxxxnn()lim()()11122221求的表达式．fxxxnnn()lim1．，求，其中设nnknkknSkbbkSlim)!1(1求的表达式。fxxxxxxxnnnn()lim()()()1121212222．的表达式，其中求01)1(1)1(lim)(xxxxxxfnnn．其中．求数列的极限)0()(23)(23lim11bababannnnn求数列的极限．lim()nnnn53323求数列的极限．lim()nnn123453212．，其中求数列的极限1)321(lim12qnqqqnn求数列的极限其中．lim()()()()()()()()naaaaaaananana11211231110)12)(12(1531311limnnn求数列的极限．求数列的极限)1(1431321211limnnn)0()1(321lim222232annan其中求数列的极限．求数列的极限2)1(321(21lim2nnnn求数列的极限．lim()nnnn21求数列的极限．lim()nnnn2451．求数列的极限nnnnnn)1)(1(63lim34．其中．求数列的极限)1(2limaaannn．求数列的极限)11()311)(211(lim222nn求数列的极限．limnnn1000012求数列的极限．limnnnnn2243351求数列的极限．lim()nnn1求数列的极限．limnnnn123)200(2122limbbanbnnann且，．求数列的极限求数列的极限．lim()nnnn1212求数列的极限．　lim()nnnn1213求极限．limnnnnn2103103102102121．，，且的某邻域内若在BxgAxfxgxfxxxxx)(lim)(lim)()(000．试判定是否可得：BA是否成立？为什么？，则，若0)()(lim0)(1lim0)(lim000xxbxxxxxxxx确定，之值，使，并在确定好，后求极限abxxaxbabxxxaxbxxlim()lim()347034722求极限．lim()xxxxx11求极限．limcossinxxxxx23求极限lim()()()()()()xxxxxxx121311011011112222求极限．lim()xxxxx2251求极限．lim()xxxx485212讨论极限．limxxxxxeeee2343232求极限．lim()()()()()()()xxxxxxxx121314151233232求极限．lim()()()()()()xxxxxxx12131415153222222222335求极限．lim()()()xxxx43326723425求极限　，．lim()xxxaaaa1012求极限．limtantan()xxx424为无穷小．时，之值，使当，确定)(54)(2baxxxxfxba求极限．limxxxxx1343243求极限．limxxxx222564求极限．limxxx233222求极限．limxxxx2251254求极限．limxxx0255求极限lim()()()()xxxxx0352312114132求极限．lim()()xxxx02324211．为自然数，求极限)()2(limnmaxaaxnnmmax求极限lim()()xxxx0531214求极限．lim()xxx04131设fxaxaxaxaxa()()()2211222问：当为何值时，；　　当为何值时，；　　当为何值时，，并求出此极限值。()lim()()lim()()lim()1212301112afxafxafxxxx求极限．limcsccotxxxx0求极限．limcosxaxx021求极限．limtansinxxxx0311)20(tantanlim　求极限xxx求极限　为常数，．limsincossincos()xxxpxpxpp0110讨论极限．limcosxxx022．求极限xxxxxxtancossin1lim0求极限．limln()xxx013．求数列的极限1)41(arctanlim2nnnn求数列的极限．limsinnnen．求数列的极限12sin2limnnn求数列的极限．lim(cos)nnn21　答（　　）　　　　　　　　　　存在不一定存在都存在，而，不一定存在存在，但不一定存在存在，但，则，上的单调增函数，，是定义在设)(lim)()(lim)0()0()()0()0()()0()0()()()(000000000xfDxfxfxfCxfxfBxfxfAbaxbaxfxxxx．存在，并求出此极限值，证明：，且设nnnnxaxxaxlim011。存在，并求出此极限值，证明，且设nnnnxxxxlim2211设，且其中，证明极限存在，并求出此极限值．xxxaxaxnnnnn110120()()lim设，，，．证明极限存在，并求出此极限值。xxxxxxxxnnnnn0100111111lim存在．求证：为正整数，设nnnxnnxlim)(131211222.lim1311311311112存在，求证：设nnnnxx设，，，，证明：；求极限．xxxnnxnxnnnn1212132413521246211212()()()()lim求极限．lim...xxxxxx100101010010001232．为定数）证明：适合设数列0lim(,11nnnnnxrrxxx求极限．limtantancos()xxxx3336求数列的极限．lim!nnn2．则＂证明数列的极限用极限存在的＂夹逼准02limnnn．求数列的极限)12111(lim222nnnnn．求数列的极限1!sinlim32nnnn．求数列的极限222)2(1)2(1)1(1limnnnn求极限．limln()ln()xxxee233223求极限．limln()ln()xxxxx6325734求极限．limxxxxxx设，，当，当讨论及．fxxgxxxxxgxfgxxx()sin()lim()lim()2202000)()(lim,)()(lim)(lim000000ufxfufufuxxxuuxx证明：，设。求极限　、为正整数．lim()xmnmnxxxxmn12　）　　　　　　　答（　无限接近等于小于不确定的值无限循环小数1)(1)(1)()(9.0DCBA．求证：适合若数列rraaaraaraaannnnnnn1lim)10()(1211nnnnnnxxnannax1lim,0!＋求极限为正整数是常数，　其中设求数列的极限．lim(sec)nnn2设时，与是等价无穷小且证明：xxxxxfxAxfxAxxxx000()()lim()()lim()()设，且，试证明必有的某个去心邻域存在，使得在该邻域内有界lim()().xxfxAAxfx0010下述结论：＂若当时，与是等价无穷小，则当时，与也是等价无穷小＂是否正确？为什么？xxxxxxxx0011()()ln()ln()．求极限应用等阶无穷小性质，xxxx)1arctan()1arctan(lim0求极限．limxxxxx0215132求极限．lim()()xxxx012131416求极限　为自然数．．lim()()xnaxxna01110求极限．lim()xxxx3135223设当时，与是等价无穷小，且，，证明：．xxxxfxxafxxgxAfxxgxAxxxxxx00001()()lim()()lim()()()lim()()()设当时，，是无穷小且证明：．xxxxxxeexxxx00()()()()~()()()()若当时，与是等价无穷小，是比高阶的无穷小．则当时，与是否也是等价无穷小？为什么？xxxxxxxxxxxx0101()()()()()()()()设当时，、是无穷小，且证明：　　　与是等价无穷小．xxxxxxxxxx0011()()()().ln()ln()()()设当时，是比高阶的无穷小．证明：当时，与是等价无穷小．xxfxgxxxfxgxgx00()()()()()吗？为什么？也是等价无穷