数学的魅力

1第三节数学的魅力2你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；你可能喜欢图画，因为它从视觉上反映人和自然的美；那么，你应该更喜欢数学，因为它像音乐一样和谐，像图画一样美丽，而且它在更深的层次上，揭示自然界和人类社会内在的规律，用简洁的、漂亮的定理和公式描述世界的本质。数学，有无穷的魅力！3一、数学的美妙1．欧拉公式无论你用什么绳索织一片网，它的结点数(V)，网眼数(F)，边数(E)都必须适合公式:V+F–E=1(这是二维情况,三维情况是V+F–E=2,可以考虑一个正方体为例)42．“纯存在性证明”：南开区至少有两个人的头发根数一样多。(抽屉原理)53．陈省身：“三角形三内角之和为180º”这个命题不好。6三角形三内角之和=180度n边形n内角之和=？n边形n内角之和=180度×(n–2)7n边形n外角之和=360度不变量曲边形（向量组的秩；矩阵的秩）84．圆的魅力车轮，是历史上最伟大的发明之一圆，是平面图形中对称性最强的图形周长与直径之比是一个常数这个常数是无理数、超越数95．素数的魅力自然数的简单而基本的成员“人类探寻素数规律的历史，将等同于人类的整个文明史”梅森素数(1644年提出）Mn=2n﹣1M67的故事：267﹣1=193707721×761838257287（1903年，科尔）素数在加法方面的规律：哥德巴赫猜想素数在乘法方面的规律：整数的唯一分解定理造密码106．哥尼斯堡七桥问题(“抽象”的典型，图论的起源)1112137．庞加莱：地球上任何时候总有一处风速为0148．把5个重要常数和谐地统一在一个等式中10ie15二、数学的“用处”1．不应实用主义地理解“用处”数学有广泛的用途，但那不同于一般工具的“用处”；不像一把斧头，拿来便可砍柴。16数学对人类文明的贡献（一）万有引力定律。基于开普勒行星运动的三大定律，牛顿发现了万有引力定律。他把其最重要的著作命名为《自然哲学的数学原理》，是因为他发现新宇宙的思维方式是数学的思维方式。在这本书中，牛顿用了大量“微积分”的知识和非常复杂的几何知识与技巧。有兴趣的同学可以阅读这本书。17数学对人类文明的贡献（二）相对论。爱因斯坦分别于1905年和1915年提出狭义相对论，广义相对论，这是对物理学的重大变革，其核心内容是时空观的改变。爱因斯坦的时空观认为时间和空间是相互联系的。四维空间的洛仑兹变换是这种数学模型的表现形式。18数学对人类文明的贡献（三）电磁波的发现。英国物理学家麦克斯韦概括了由实验建立起来的电磁现象规律，把这些规律表述为“方程的形式”，用纯粹数学的方法推导出可能存在着电磁波并且这些电磁波应该以光速传播者。据此，他提出了光的电磁理论。此外，他的结论还推动了人们去寻找纯电起源的电磁波。19数学对人类文明的贡献（四）最近，两位美国数学家解开了一个困扰科学界长达50年的“简单”问题：啤酒泡和肥皂泡在膨胀、收缩及合并时的数学规律。该研究成果将对工程学的泡沫材料设计、生物学的组织结构研究以及物理学的晶体颗粒排列探测产生深远的影响，相关论文发表在2007年4月26日的《自然》杂志上。（气泡胀大、收缩或者合并，背后的驱动力都是表面张力，气泡的变化，取决于表面总曲率）20数学对人类文明的贡献（五）神州六号的升空，宣告了我国具有制造和发射航天飞机的能力。在神舟六号的研制过程中，数学起了不可替代了作用，尤其是在轨道测算，时间测算等方面。21数学对人类文明的贡献（六）1973年，美国芝加哥大学学者f·布莱克与m·肖莱斯提出了布莱克－肖莱斯期权定价模型（black-scholesoptionpricingmodel），对股票期权的定价作了详细的讨论。此后，不少学者（Merton）又对该模型进行了修正、发展与推广，极大地推动了期权定价理论的研究。该模型中用到很多数学知识。他们也因此获得了1997年的Nobel经济学奖。（上图为Merton，哈佛大学；下图为Scholes，芝加哥大学。）222．数学的应用常常是难以预料的1）素数在密码学中的应用2）圆锥曲线论在行星运动开普勒三定律中的应用3）黎曼几何在广义相对论中的应用4）陈省身的纤维丛理论在杨振宁的规范场理论中的应用5）正电子、黑洞与电磁场的发现诺贝尔物理学奖获得者温伯格(S•Weinberg)曾无可奈何地感叹：“当一个物理学家得到一个思想时，却发现在他之前数学家已经得到了。”23三、数学的语言1．自然语言与数学语言1）自然语言——具体的语言；数学语言——形式化的语言2)科学工作者用数学语言使自己的工作精确化如：牛顿——运动第二定律；爱因斯坦——广义相对论“数学进入一门学科的程度，反映了这门学科成熟的程度。”242.数学语言是人类文明、宇宙文明的共同语言1）当你写下c2=a2+b2，S=v0t+0.5gt2，不同的民族虽然有不同的自然语言，但对此数学语言描述的内容，不同的人种都能明白。2）20世纪70年代，为与外星人取得联系，美国曾发射过一艘宇宙飞船。飞船上带去了地球人类最具有代表性的物件，其中包括一件用黄金制作的、体现勾股定理的图案。253．数学语言的特点1）明晰；2）严谨；3）简洁；4）规范4．重视数学语言的学习口头表达和书面表达，是数学能力、数学素养的重要方面。26四、数学的发展1．数学的分支越来越细以至不可能再有一位数学家熟习数学的所有分支2．数学对自然科学和社会科学的渗透越来越广“一门科学应用数学的程度，标志着这门科学成熟的程度”3．历史遗留许多难题，数学永远充满魅力“费尔马大定理”上世纪末刚被证明“哥德巴赫猜想”等难题仍未解决272829趣味题：抓堆和抓三堆1.抓堆：有一堆谷粒（例如100粒），甲、乙轮流抓，每次可抓1－5粒，甲先抓，规定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？30数学思想：问题一般化；问题特殊化；归纳总结，找出规律；证明规律，得到结论。反面说法：“把6的倍数留给对方”，自己可以取胜。312.抓三堆：有三堆谷粒（例如100粒、200粒、300粒），甲、乙轮流抓，每次只能从一堆中抓，最少抓1粒，可抓任意多粒；甲先抓，规定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？32抓三堆：有三堆谷粒（例如100粒、200粒、300粒），甲、乙轮流抓，每次只能从一堆中抓，最少抓1粒，可抓任意多粒；甲先抓，规定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？解：问题一般化记号：将三堆谷粒的状况记为（a,b,c）,例如（100,200,300）。这样，谁抓为（0,0,0），谁赢。33分析：问题特殊化1）只有一堆时，即状况为（a,0,0）,此时先抓者必胜。342）只有两堆时，即状况为（a,b,0）（1）若b=a,即状况为（a,a,0）,此时后抓者必胜。因为对方先抓后，结果或剩一堆，成为（a,0,0）的状况，一把可抓完；或剩两堆，你抓后，又成为新的（d,d,0）的状况，且da,继续由对方抓。（2）若b≠a,不妨设ba,即状况为（a,b,0）,此时先抓者必胜。因为先抓者可以把第二堆抓掉b–a个，使状况转化为（a,a,0）,成为新的“状况（1）”。353）三堆都有，且其中两堆相等，即状况为（a,a,c）,此时先抓者必胜。因为先抓者可以把第三堆全抓完，使状况转化为（a,a,0）,成为新的“状况2)（1）”。4）三堆都有，且其中任意两堆都不相等，即状况为（a,b,c）,且不妨设abc,此时情况比较复杂。36为了下面表述得清楚，我们把前面的一个结论用“反面说法”，总结为“把两堆相等的状况留给对方，自己可以取胜。”然后再讨论a、b、c的不同情况。以其中最小的a为“主要线索”分情况讨论。37（1）a＝1时，即状况为（1,b,c）。下面再对b分情况。由于abc,即a、b、c“前小后大”，因此b最小为2，于是起始情况是（1,2,3）。经用“穷举法”分析，该情况下后抓者胜；或用“反面说法”说成，“把（1,2,3）的状况留给对方，自己可以取胜”。38下一个情况是（1,2,c）,c3。此时必先抓者胜。因为先抓者只要把第三堆抓剩3个，就转化成（1,2,3）的状况，从而必胜。下一个情况是（1,3,c）,c3。此时必先抓者胜。因为先抓者只要把第三堆抓剩2个，就转化成（1,3,2）的状况，也即（1,2,3）的状况，从而必胜。39下一个情况是（1,4,c）,c4。起始情况是（1,4,5）。经用“穷举法”分析，该情况下后抓者胜；或用“反面说法”说成，“把（1,4,5）的状况留给对方，自己可以取胜”。40这样类似地分析下去，逐渐可以得到结论：把（1,2,3）的状况留给对方，自己可以取胜。把（1,4,5）的状况留给对方，自己可以取胜。把（1,6,7）的状况留给对方，自己可以取胜。把（1,8,9）的状况留给对方，自己可以取胜。41于是归纳、猜测：把（1,2m,2m+1）的状况留给对方，自己可以取胜。然后用数学归纳法可以证明，这一结论是正确的。这样，就把a＝1时的情况，全搞清楚了。42（2）a＝2时，即状况为（2,b,c）。下面再对b分情况。由于abc,即a、b、c“前小后大”，因此b最小为3，于是起始情况是（2,3,c）。c3。此时必先抓者胜。因为先抓者只要把第三堆抓剩1个，就转化成（2,3,1）的状况，也即（1,2,3）的状况，从而必胜。43下一个情况是（2,4,c）,c4。起始情况是（2,4,5）。此时必先抓者胜。因为先抓者只要把第一堆抓剩1个，就转化成（1,4,5）的状况，从而必胜。下一个情况是（2,4,6）。经用“穷举法”分析，该情况下后抓者胜；或用“反面说法”说成，“把（2,4,6）的状况留给对方，自己可以取胜”。44这样类似地分析下去，逐渐可以得到结论：把（2,4,6）的状况留给对方，自己可以取胜。把（2,5,7）的状况留给对方，自己可以取胜。把（2,8,10）的状况留给对方，自己可以取胜。把（2,9,11）的状况留给对方，自己可以取胜。45于是归纳、猜测：把（2,4m,4m+2）或（2,4m+1,4m+3）的状况留给对方，自己可以取胜。然后用数学归纳法可以证明，这一结论是正确的。这样，就把a=2时的情况，全搞清楚了。46（3）a＝3时，即状况为（3,b,c）。下面再对b分情况。类似地分析下去，逐渐可以得到结论：把（3,4,7）的状况留给对方，自己可以取胜。把（3,5,6）的状况留给对方，自己可以取胜。把（3,8,11）的状况留给对方，自己可以取胜。把（3,9,10）的状况留给对方，自己可以取胜。47于是归纳、猜测：把（3,4m,4m+3）或（3,4m+1,4m+2）的状况留给对方，自己可以取胜。然后用数学归纳法可以证明，这一结论是正确的。这样，就把a=3时的情况，全搞清楚了。48上面的方法，本质上是“数列通项公式”的方法。知道上面这些结论以后，对一般没有研究的人，你的赢律应该是很大的了。只要先把最少的那堆抓剩3个，对方迟早会进入你的圈套的。但是，这并无必胜的把握。为了赢律更大，还需研究a=4时的情况，a=5时的情况，等等。49例如a＝4时的情况，经过研究可以得到结论：把（4,8,12）的状况留给对方，自己可以取胜。把（4,9,13）的状况留给对方，自己可以取胜。把（4,10,14）的状况留给对方，自己可以取胜。把（4,11,15）的状况留给对方，自己可以取胜。50把（4,16,20）的状况留给对方，自己可以取胜。把（4,17,21）的状况留给对方，自己可以取胜。把（4,18,22）的状况留给对方，自己可以取胜。把（4,19,23）的状况留给对方，自己可以取胜。51于是归纳、猜测：把（4,8m,8m+4）或（4,8m+1,8m+5）或（4,8m+2,8m+6）或（4,8m+3,8m+7）的状况留给对方，自己可以取胜。然后用数学归纳法可以证明，这一结论是正确的。这样，用“数列通项公式”的方法，继续研究下去，也能得出取胜的策略，但表达起来会很繁琐。52归纳总结，找出规律因为已经看到，在（a,b,c），abc的规定下，a＝1时，有一种表达式（1,2m,2m+1）的状况留给对方，自己可以取