向量组及线性组合-大连海事大学本科教学质量与教学改革工程

§1向量组及其线性组合主要内容：一、n维向量的定义二、向量组的定义三、向量组的线性组合四、向量组等价五、向量组的相关定理§1向量组及其线性组合定义:n个有次序的数a1,a2,…,an所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数称为第i个分量.定义:分量全为实数的向量称为实向量,分量全为复数的向量称为复向量.§1向量组及其线性组合例n维向量(1,2,,)iini　　　　　　　　　　　　　　　　　　第１个分量第１个分量第１个分量(1,2,3)bii例三维实向量例三维复向量(1,2,3)a§1向量组及其线性组合定义:给定向量组A:a1,a2,…,am,对于任何一组实数k1,k2,…,km,表达式k1a1+k2a2+…+kmam称为向量组的一个线性组合,k1,k2,…,km称为这个线性组合的系数.123412341110:,,,1201111023231201AaaaaAaaaa向量组向量组的一个线性组合：例§1向量组及其线性组合定义:给定向量组A:a1,a2,…,am,和向量b,如果存在一组数λ1,λ2,…,λm,使b=λ1a1+λ2a2+…+λmam,则向量b是向量组A的线性组合,这时称向量b能由向量组A线性表示.注意:向量b能由向量组A线性表示,也就是方程组b=x1a1+x2a2+…+xmam有解.§1向量组及其线性组合向量b能由向量组A线性表示.1234123411106:,,,,1201723Aaaaabaaaab123124627xxxxxx方程组有解.例11223344bxaxaxaxa§1向量组及其线性组合定理向量b能由向量组A:a1,a2,…,am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于矩阵B=(a1,a2,…,am,b)的秩.§1向量组及其线性组合例123412341234123411106,,,,1201723()(,,,)2,()(,,,,)2.aaaabaaaabRARaaaaRBRaaaab§1向量组及其线性组合定义:设有两个向量组A:a1,a2,…,am及B:b1,b2,…,bm,若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示.定义:若向量组A与向量组B能相互线性表示,则称这两个向量组等价.§1向量组及其线性组合例设有两个向量组A:及B:则称向量组B能由向量组A线性表示.112212,2,,2,baabaa1210,,01aa1211,,12bb§1向量组及其线性组合例设有两个向量组A:及B:112212112212,2,2,,,2,2,,baabaaabbabb1210,,01aa1211,,12bb则称向量组A与向量组B等价.§1向量组及其线性组合定理向量组B:b1,b2,…,bl,能由向量组A:a1,a2,…,am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于矩阵(A,B)=(a1,a2,…,am,b1,b2,…,bl)的秩,即R(A)=R(A,B).§1向量组及其线性组合112212,2,10()2,011011(,)2,0112()(,)baabaaRARRABRRARAB1210,,01aa例设有两个向量组A:及B:向量组B能由向量组A线性表示.1211,,12bb§1向量组及其线性组合推论向量组A:a1,a2,…,am与向量组B:b1,b2,…,bl等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A,B),其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵.§1向量组及其线性组合例设有两个向量组A:及B:向量组B能由向量组A等价.1210,,01aa1211,,12bb1011()2,()2,01121011(,)2,0112()()(,)RARRBRRABRRARBRAB§1向量组及其线性组合定理设向量组B:b1,b2,…,bl,能由向量组A:a1,a2,…,am线性表示,则R(b1,b2,…,bl)≤R(a1,a2,…,am).§1向量组及其线性组合例设有两个向量组A:及B:向量组B能由向量组A线性表示.1210,,01aa1211,,12bb1011()2,()2,0112()()(,)RARRBRRARBRAB§1向量组及其线性组合例设有两个向量组A:及B:向量组B能由向量组A线性表示.10012()0103,()132,00114()()RARRBRRARB1231000,1,0,001aaa12121,3,14bb§1向量组及其线性组合例设证明向量b能由向量组a1,a2,a3线性表示,并求出表示式.解先证R(A)=R(a1,a2,a3)=R(B)=R(A,b)12311111210,,,,21432301aaab11231111103212100121,2143000023010000()()2,rBAbBRARBbaaa向量能由向量组,,线性表示。§1向量组及其线性组合11032012100000000BB1所对应的线性方程组为13233123322132,21,(32)(21)xxxxcxcxccbcacaca令§1向量组及其线性组合例证明向量组a1,a2与向量组b1,b2,b3等价.证13213132131101102111,,()(,)2,11102000001312000000rABRARAB121231321311011,,,,,1110213120aabbb§1向量组及其线性组合向量组a1,a2与向量组b1,b2,b3等价.213111111011,()2,000000000000()()(,)rRBRBRARAB§1向量组及其线性组合总结1.n维向量的概念，实向量、复向量；2.向量的表示方法：行向量与列向量3.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；